2025年中考数学一轮复习之二次函数

2025年中考数学一轮复习之 二次函数 一、单选题 1．已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 3．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线，则过点 和点的直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．二次函数 与一次函数（）的图象在同一坐标系中的大致位置是（    ） A． B． C． D． 6．对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于．我们称为这个函数的不动点．若二次函数 （为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．已知二次函数开口向下，则 ． 10．将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为 ． 11．已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 12．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润(万元)与销售量(辆)之间分别满足、．若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 万元． 13．如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，点D是抛物线在x轴上方一动点，则面积的最大值为 ． 三、解答题 14．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 15．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式． (3)已知车棚的宽度为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围．工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请确定消防喷淋头N与点B的距离的取值范围，并说明理由． 16．如图1，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点，其对称轴为直线，顶点为D，将抛物线绕点O旋转后得到新抛物线，抛物线与y轴交于点E，对称轴为直线与x轴在对称轴左侧的交点为F． (1)试求抛物线和抛物线的解析式； (2)在图1中，点P的坐标为，动点M在直线上，过点M作轴与直线交于点N，连接，求的最小值； (3)如图2，将直线沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段上运动（包括端点），的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为 ． 17．某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足函数解析式：．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：）满足函数解析式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元） (1)求T的最大值． (2)若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度． (3)已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且，求W的最小值． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，，． (1)求抛物线解析式． (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，过D作轴于H，点M在上，连接并延长至点F，过F作轴于P（点P在点C的上方），设D的横坐标为t，长为d，当时，求d与t之间的函数关系式．（不要求写出t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，若M为中点，连接，点G在上，连接并延长交抛物线于点E，过B作x轴垂线交延长线于R，交延长线于N，连接交于K，，过G作轴于Q，若，求D点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A A B C B C 9． 10． 11． 12． 13．15 14．(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：由（）可得，抛物线，一次函数， 由，解得或， ∴， 由函数图象可知，当时，， ∴不等式的解集为． 15．(1) (2) (3)1米米，见解析 【详解】（1）解：如图1，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则点M； （2）解：由图1，可知抛物线顶点M的坐标为，且过点． 设抛物线的函数表达式为． 将代入，得，解得． 抛物线的函数表达式为； （3）解：如图2和图3，过点E作的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交于点Q，则点Q的坐标为， 令，解得或． 点P的坐标为． 记顶点为M的抛物线为，顶点为N的抛物线为 由题意，可知抛物线可看作由抛物线向右平移得到的． 解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线过点时，如图2，过点P作于点H，则． ． 如图3，当抛物线过点时，． 解法二：设抛物线的函数表达式为． 当抛物线经过点时，如图2，则，解得或（舍去）． ． ． 当抛物线经过点时，如图3，则，解得或（舍去）． ． ． ． 消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围为1米米． 16．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点， ∵将抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：连接， ∵，顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵轴，点在直线上，点在直线上， ∴，且点关于轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，可知最小，此时， ， ∴的最小值为； （3）解：把代入得，， 解得：， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为， 由得，， 当直线与抛物线交点的横，纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ， 或； 由得， 当直线与抛物线交点的横，纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∴或 6 ； 综上，， ∴点的坐标为， 当点的坐标为时，， ∵时，， ∴点在直线上， ，符合题意， 故答案为：． 17．(1) (2)隔热层修建时，总费用达到202万元 (3)隔热层修建时，总费用达到最小值万元 【详解】（1）解： ， ， 时，T随x的增大而减小， ， 当时，； （2）解： ， 由得，， ， 解得，或， ， （舍去）， 隔热层修建时，总费用达到202万元； （3）解： ， 对称轴为直线， ， 离对称轴越远，越小， ， 当时，， 隔热层修建时，总费用达到最小值万元． 18．(1)抛物线解析式为 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 把C点坐标代入抛物线解得，把A点坐标代入抛物线， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由抛物线解析式，可得，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作轴于T， ∴， ∴，， ∴，设， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴，即Q为中点， ∴为中位线， ∴， 延长交x轴于W， ∵， ∴设， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，代入抛物线可得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$