第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 2．如图，在中，，则（    ） A．9 B．18 C．6 D．12 3．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 4．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 5．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 7．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 10．点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 11．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，为中点，若，则实数的值为 . 13．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 14．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 16．已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 18．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 19．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 2．如图，在中，，则（    ） A．9 B．18 C．6 D．12 【答案】D 【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 所以，所以， ， 因为， 所以. 故选：D. 3．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 4．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，所以， 又三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 5．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 6．某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为，根据力的平衡可得，结合向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时， 他两只胳膊的夹角最大为 ， 设此时两只胳膊的拉力为 ,则N, 则，即有， 所以， 即， 故，故， 故选：B 7．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 8．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理知， 即，故A正确； ， ， ，故B正确； ，故C错误； ， 故，即，故D正确． 故选：ABD 10．点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解. 【详解】A.由，可知，点共线， 又可知，点在的角平分线上， 所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误； B.若，则点是的中点，点又是的外心， 所以，，故B正确； C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，    设，，， 因为，所以， 得，， ，， ，，则，故C正确； D.因为，所以， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则， ，即， 则， ，，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用. 11．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 【答案】ABC 【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，整理得， 由余弦定理知，，，． 对A， ， ，，， 的取值范围为，故A正确； 对B，为边的中点，， 则， ，当且仅当时，等号成立， ，故B正确； 对于C，， 是锐角三角形，， ，，故C正确； 对于D，由题意得， 即， 整理得，即， ， 当且仅当时，等号成立，故D错误． 故选：ABC. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，为中点，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由题知，，进而根据题意，结合向量数量积运算律得. 【详解】解：因为为中点， 所以，， ， 因为， 所以， 因为 所以，，解得. 故答案为： 13．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 【答案】. 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 14．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值. 【详解】因为，为的角平分线， 所以，又， 故由三角形面积公式可得， ， ， 又， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以面积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解. 【详解】（1）当时， 依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 16．已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【详解】（1）， 的最小正周期； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）依题意， 由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是； （3）由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，则，则． 【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围. 19．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可. （2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，即， ∴， 又∵， ∴. （2）由（1）知， ①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立； ②当时，因为，所以， 所以． 由，得． 所以， 故． 因为，所以，， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$