第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 2．若非零向量、满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将模的关系和垂直关系转化为数量积，建立方程组求解即可. 【详解】∵，∴，∴， ∴①， 又∵，∴，∴②， ②式代入①式，得，即，∴，∴， 设与的夹角为，且，则， 又∵，∴，即与的夹角为. 故选：A. 3．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 4．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案. 【详解】，， 由，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①② ，故. 故选：B. 5．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 6．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间. 【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，且，， 由勾股定理可得， 因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间， 则. 故选：B. 7．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模. 【详解】因为，又， 所以. 所以：， 所以. 故选：A 8．设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到范围. 【详解】 因为△为锐角三角形，所以，，， 即，，，所以，； 又因为，所以，又因为和正弦定理得， 由，即 ， 所以，令，则， 又因为函数在上单调递增，所以函数值域为， 则的周长的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据已知条件结合余弦定理可得，为三角形内角有，即可求B的值. 【详解】根据余弦定理可知，代入， 可得，即，因为， 所以或. 故选：BD. 10．已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 11．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 【答案】AB 【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D. 【详解】对A，由正弦定理角化边得， 由余弦定理有， ， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，所以，A正确； 对B，由上知，， 因为为锐角三角形，，解得， 所以，B正确； 对C， ， 当时，得， 因为，，所以等号不成立，C错误； 对D， ， 因为，所以， 所以，所以， 即，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：根据在于利用正弦定理角化边，代入余弦定理表示出，结合二倍角公式求得. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用向量平行列方程即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 13．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【详解】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 14．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 【答案】 【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得. 【详解】在三角形中由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 在中由余弦定理得 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，满足，，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∴； 16．已知向量，． (1)求的坐标及； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解. （2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解. 【详解】（1）由题意，，所以， 所以. （2）由题意与平行， 所以当且仅当，化简得， 解得，即实数的值为1或-1. 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18．在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 19．在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【答案】(1) (2)（i）的最大值为；（ii）或 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小； （2）（i）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可； （ii）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小. 【详解】（1）在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． （2） （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把用表示，再结合基本不等式求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．若非零向量、满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 6．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 8．设锐角的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则 . 13．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ． 14．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，满足，，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求. 16．已知向量，． (1)求的坐标及； (2)若与共线，求实数的值． 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 18．在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 19．在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$