专题07 宇宙航行 【十三大题型】-【压轴题】2024-2025 学年高中物理同步培优训练（人教版2019必修第二册）

专题07 宇宙航行 【十三大题型】 一．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共5小题） 二．宇宙速度的计算（共6小题） 三．同步卫星的特点及相关计算（共5小题） 四．近地卫星（共6小题） 五．卫星或行星运行参数的计算（共4小题） 六．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共5小题） 七．卫星的发射及变轨问题（共4小题） 八．卫星的追及相遇问题（共2小题） 九．双星系统及相关计算（共6小题） 十．多星系统及相关计算（共4小题） 十一．潮汐问题（共4小题） 十二．中子星与黑洞（共4小题） 十三．拉格朗日点（共3小题） 一．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共5小题） 1．科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然•天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞。科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙速度的倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k。地球的半径为R，地球卫星的环绕速度（即第一宇宙速度）为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（　　） A． B． C． D． 2．人类利用太空望远镜在太阳系外发现了一颗未知天体X，该未知天体环绕中心天体Y运行。已知未知天体X的质量是地球质量的a倍，半径为地球半径的b倍，其公转周期为地球公转周期的c倍，中心天体Y的质量是太阳质量的d倍。假设未知天体X和地球均可视为质量分布均匀的球体，且均环绕各自的中心天体做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（　　） A．未知天体X的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为a：b B．同一物体在未知天体X表面的重力与在地球表面的重力之比为a：b C．天体X、Y之间的距离与日地之间的距离之比：1 D．中心天体Y的密度与地球的密度之比为c2：1 3．（多选）使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2v1，已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则（　　） A．该星球上的第一宇宙速度为 B．该星球上的第二宇宙速度为 C．该星球的平均密度为 D．该星球的质量为 4．已知地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度g＝10m/s2．现测得某未知星球的质量是地球的4倍，半径与地球的半径相等．忽略地球及该星球的自转，则： （1）该星球表面的重力加速度g′多大？ （2）已知地球的第一宇宙速度v＝7.9km/s，则该星的第一宇宙速度v′多大？ 5．第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度．理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍．这个关系对于其他天体也是正确的．当天体的逃逸速度大于光速c时，即使它在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它．这种天体称为黑洞．对于一个质量为M的球状天体，当其半径R满足是什么条件时会成为一个黑洞？已知万有引力常量为G． 二．宇宙速度的计算（共6小题） 6．在一颗半径为地球半径0.8倍的行星表面，将一个物体竖直向上抛出，不计空气阻力。从抛出开始计时，物体运动的位移随时间关系如图（可能用到的数据：地球的半径为6400km，地球的第一宇宙速度取8km/s，地球表面的重力加速度为10m/s2），则（　　） A．该行星的质量比地球的质量大 B．该行星表面的重力加速度为16m/s2 C．该行星的第一宇宙速度为6.4km/s D．该物体落到行星表面时的速率为30m/s 7．若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球从抛出到落地的位移为L．已知月球半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度g月 B．月球的质量m月 C．月球的第一宇宙速度v＝v0 D．月球的平均密度ρ 8．（多选）在星球A上将一小物块P竖直向上抛出，P的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中实线所示；在另一星球B上用另一小物块Q完成同样的过程，Q的v2﹣x关系如图中虚线所示。已知星球A、B的半径相等，若两星球均为质量均匀分布的球体，两星球上均没有空气，不考虑两星球的自转，则下列说法正确的是（　　） A．星球A表面的重力加速度是星球B表面的重力加速度的 B．A的密度是B的密度的3倍 C．P抛出后落回原处的时间是Q抛出后落回原处的时间的 D．A的第一宇宙速度是B的第一宇宙速度的倍 9．某天文爱好者在观测某行星时，测得绕该行星的卫星做圆周运动的半径r的三次方与运动周期T的平方满足如图所示的关系，图中a、b、R已知，且R为该行星的半径。 （1）求该行星的第一宇宙速度； （2）若在该行星上以v0竖直向上抛出一个小球，则能上升的最大高度为多大； 10．设想在未来的某一天，有一位航天员到达了宇宙中的某一行星表面，航天员利用携带的实验仪器做如下的实验：把一个光滑的“过山车”轨道固定在一个台式电子测力计上，调节测力计示数为零，然后将一个质量为m的小球从倾斜轨道上释放，如图所示。实验过程中发现当把小球从与圆周最高点等高处静止释放时，小球运动到轨道最低点，电子测力计的读数为F，已知行星半径为R，引力常量为G，忽略星球的自转，求： （1）该行星表面附近的重力加速度大小g； （2）该行星的平均密度ρ。 （3）在该星球上发射卫星的最小发射速度v。 11．阋（xi）神星（小行星序号：136199 Eris）是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被传为第十大行星“齐娜”．阋神星有一颗卫星，在国际天文联合会议上该卫星被正式命名为Erisl（Dysnomis，戴丝诺米娅）．若已知该卫星绕阋神星的周期为T，轨道半径为r，阋神星的半径为R，求： （1）阋神星表面的重力加速度g； （2）阋神星的第一宇宙速度v． 三．同步卫星的特点及相关计算（共5小题） 12．地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，同步卫星距地面的距离为h，则同步卫星的线速度大小表示错误的为（　　） A．ω（R+h） B． C． D． 13．（多选）“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（　　） A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍 B．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转线速度的倍 C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍 D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍 14．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球半径为R，引力常数为G，则（　　） A．地球的质量为 B．地球密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球同步卫星距地表的高度为（1）R 15．如图，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球质量为M，O为地球中心． （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即k是一个对所有行星都相同的常量．开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．请你推导出地月系中该常量k的表达式．已知引力常量为G． （2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们还能相距最近？ 16．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，一天时间记为T，卫星质量为m。已知万有引力势能公式F，其中M为地球质量，r为卫星到地心距离。求： （1）同步轨道卫星环绕地球的飞行速度； （2）从地球表面发射同步轨道卫星时的最小初速度（考虑地球自转的影响）。 四．近地卫星（共6小题） 17．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．人造卫星的最小周期为2π B．卫星在距地面高度R处的绕行速度为 C．卫星在距地面高度为R处的重力加速度为 D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少 18．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。质量为m的宇宙飞船在半径为2R的轨道1上绕地球中心O做圆周运动。现飞船在轨道1的A点加速到椭圆轨道2上，再在远地点B点加速，从而移飞船转移到半径为4R的轨道3上，如图所示。若相距r的两物体间引力势能为，求： （1）飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比（vA：vB）。 （2）飞船在轨道2上从A点到B点飞行的时间。 （3）若要实现由A点从轨道1转移到轨道2，需要在轨道1上对飞船做多少功？ 19．一艘宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α，已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，求： （1）宇宙飞船距离地面的高度。 （2）宇宙飞船的周期T。 20．宇航员乘坐宇宙飞船来到某行星附近，关闭发动机让飞船绕星球做半径为r的匀速圆周运动，周期为T．已知万有引力常量为G，忽略其他天体对飞船的影响， （1）试求该行星的质量； （2）将行星用图的圆1表示，用圆2表示飞船运动轨迹，宇航员发现该行星的视角为2α，α即图中的∠ABO，试估计在该星球表面发射该星球的卫星所需要获得的最小发射速度； （3）如果宇航员操纵发动机使飞船在B点进行了一次恰当的瞬间减速，然后关闭发动机，使飞船绕该行星做椭圆轨道运动，且椭圆轨道的离行星最近处到行星表面距离可以忽略，求飞船在此椭圆轨道上运行的周期。 21．2005年10月12日上午9时，“神舟”六号载人飞船发射升空．火箭点火起飞，588秒后，飞船与火箭分离，准确入轨，进入椭圆轨道运行．飞船飞行到第5圈实施变轨，进入圆形轨道绕地球飞行．设“神舟”六号飞船质量为m，当它在椭圆轨道上运行时，其近地点距地面高度为h1，飞船速度为v1，加速度为a1；在远地点距地面高度为h2，飞船速度为v2．已知地球半径为R（如图所示）．求飞船 （1）由远地点到近地点万有引力所做的功 （2）在远地点的加速度a2． 22．为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天 文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，在不考虑自转的情况，求解以下问题：（以下结果均用字母表达即可） （1）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度； （2）假设“高锟星”为一均匀球体，试求“高锟星”的平均密度；（球体积VπR3） （3）假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距地面的高度． 五．卫星或行星运行参数的计算（共4小题） 23．（多选）2021年12月26日，我国在太原卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十九运载火箭成功发射“资源一号”06星，该卫星将进一步推进我国陆地资源调查监测卫星业务系统化应用。若该卫星在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动的周期为T，地球的半径为R，引力常量为G，忽略地球的自转，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度大小为 B．地球表面的重力加速度大小为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的平均密度为 24．继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t． （1）试计算土星的质量和平均密度． （2）若离土星表面高H的圆形轨道上有一土星的卫星，求其公转周期． 25．天文工作者观测到某行星的半径为R1，自转周期为T1，它有一颗卫星，轨道半径为R2，绕行星公转周期为T2．若万有引力常量为G． （1）求该行星的质量和平均密度； （2）要在此行星的赤道上发射一颗的近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，求该卫星相对于地心的速度是多少？ （3）若（2）中近地人造卫星稳定飞行后的转动方向与行星的自转方向相同，某时刻卫星经过地面上某标记A，需要多少时间卫星会再次经过标记A． 26．我国执行首次载人航天飞行的神舟五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征﹣2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为L1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求： （1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？ （2）远地点B距地面的高度L2为多少？ 六．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共5小题） 27．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（　　） A．a的向心加速度大于b的向心加速度 B．四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd C．在相同时间内d转过的弧长最长 D．d的运动周期可能是30h 28．如图所示，曲线I是一颗绕地球做圆周运动的卫星P轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星Q轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法错误的是（　　） A．椭圆轨道的长轴长度为2R B．卫星P在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星Q在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0＞vB C．卫星P在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星Q在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0＜aA D．卫星P在Ⅰ轨道上受到的地球引力与卫星Q在Ⅱ轨道上经过两轨道交点时受到的地球引力大小相等 29．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则（　　） A．行星A的质量小于行星B的质量 B．行星A的密度小于行星B的密度 C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度 D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度小于行星B的卫星的向心加速度 30．（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 B．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 31．（多选）我国发射的“神舟六号”载人飞船，与“神舟五号”飞船相比，它在更高的轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图做示，下列说法中正确的是（　　） A．“神舟六号”的线速度较小 B．“神舟六号”的角速度与“神舟五号”的相同 C．“神舟六号”的周期更短 D．“神舟五号”的向心加速度较大 七．卫星的发射及变轨问题（共4小题） 32．（多选）如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是（　　） A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量无关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 33．（多选）我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示．关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站绕月运行的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列描述或结论正确的是（　　） A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B．图中的航天飞机正在加速地飞向B处 C．月球的质量为M D．月球的第一宇宙速度为v 34．建立物理模型是解决实际问题的重要方法。 （1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 ①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为v1，在远地点D的速度为v2，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算的数值； ②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？ （2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。 ①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m1和m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚； ②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据：，） 35．“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行五圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示．在预定圆轨道上飞行N圈所用时间为t，于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求： （1）飞船在A点的加速度大小． （2）远地点B距地面的高度． （3）沿着椭圆轨道从A到B的时间． 八．卫星的追及相遇问题（共2小题） 36．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功对接空间站“天和”核心舱，六名航天员进行了太空会师，开启了中国空间站长期有人驻留的新时代。已知中国空间站运行轨道面与地球赤道面的夹角约为41.5°，运行周期为1.5h，地球自转周期为24h，一颗地球同步静止卫星位于地球赤道上空，示意图如图所示。某时刻，中国空间站和这颗同步卫星相距最近，从此时刻开始计时，再次相距最近所需时间为（　　） A．24h B．12h C．1.6h D．0.8h 37．无地面网络时，华为Mate60Pro可连接天通一号进行卫星通话。天通一号目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成，分别定位于东经101.4度、东经125度、东经81.6度。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．若03星加速，则一定可以追上01星 B．三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度小 C．三颗卫星的轨道半径一定都是 D．三颗卫星的线速度大小一定都是 九．双星系统及相关计算（共6小题） 38．如图所示，假设在太空中有恒星A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．恒星B的质量为MB C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径也一定等于C的轨道半径 D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t 39．双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲所示，A、B两星相距为L，其中A星的半径为R；绕O点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员登上了A星，并在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为h。不计A星的自转和A星表面的空气阻力，引力常量为G，A星的体积VπR3。求： （1）A星表面的重力加速度大小g； （2）A星的平均密度ρ； （3）B星的质量mB。 40．如图是宇宙中由三颗星体构成的一个系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，正在绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内都顺时针做角速度相等的圆周运动。已知星体A的质量为m，星体B、C的质量均为，三角形边长为L（L远大于星体自身半径），万有引力常量为G。求： （1）若A星体可视为球体，且半径为R，求A星体的第一宇宙速度大小； （2）星体A所受到的万有引力合力的大小； （3）A、B、C三星体做圆周运动时向心加速度之比。 41．在天体运动中，把两颗相距较近的恒星称为双星，已知A、B两恒星质量分别为m1和m2，两恒星相距为L，两恒星分别绕共同的圆心做圆周运动，如图，求两恒星的轨道半径和角速度大小． 42．在研究天体运动时，常常将围绕两天体球心连线上某点做匀速圆周运动的两个天体称作双星系统．已知天体 A 和 B 组成双星系统，两天体球心之间的距离为 d，两天体的半径之比为 RA：RB＝5：4，两天体的表面重力加速度之比为 gA：gB＝2：5，天体 A 的质量为 m0，引力常量为 G．忽略天体的自转，求该双星系统的运行周期． 43．用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G． （1）计算该双星系统的运动周期T计算． （2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算＝1：（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度． 十．多星系统及相关计算（共4小题） 44．2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知mA＝m，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为1：1：1 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 45．（多选）以下三个天体运动模型中，星球转动半径均为R，质量及运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两个模型的运动周期之比为 B．乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比 C．甲的角速度大小大于丙的角速度大小 D．乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比 46．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的A、B、C三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的万有引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：第一种是三颗星位于同一直线上，A、C两颗星围绕中央星B在同一半径为R的圆轨道上运行；第二种形式是A、B、C三颗星在边长为R的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设在第一种和第二种情况下，A星体运动的线速度分别为v1和v2；周期分别为T1和T2．求：？和？． 47．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在这种形式：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．星体的运动周期T，则星体之间的距离应为多少？ 十一．潮汐问题（共4小题） 48．地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（　　） A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为 C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为 49．嫦娥四号登月探测器的登陆地点位于月球背对地球一面的艾特肯盆地。由于月球被地球潮汐锁定，它只能永远以同一面朝向地球，因此嫦娥四号与地球上的测控中心之间的通信信号无法穿透月球，这就需要“鹊桥”中继卫星的帮助来实现数据传输，完成地面测控任务。如图所示，L1、L2为地月系统中的两个拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，“鹊桥”中继卫星位于L2点上。结合以上信息，下列说法中正确的是（　　） A．“鹊桥”中继卫星的发射速度11.2km/s≤v＜16.7km/s B．地球同步卫星轨道应位于月球与L2点之间 C．同一颗卫星位于L1点所在轨道时的动能大于位于L2点所在轨道时的动能 D．“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度 50．已知地球质量为M，月球质量为m，地月之间距离L1引力常量为G： （1）月球环绕地球运动周期T1： （2）牛顿在解释潮汐现象时认为地球和月球共同绕二者连接上某点做圆周运动，此种情形下，地月系统运动周期为T2，求 51．假如潮汐最终将导致地球和月亮的距离减少，月球半径Rm约为地球半径Re的倍，估算月亮开始散裂时与地球的距离（假设月亮和地球密度相同，Re＝6400km） 十二．中子星与黑洞（共4小题） 52．脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为T（实际测量为1.83s，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度ρ与自转周期T的相关量为q星，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度ρ0与自转周期T0的相关量为q地，则（　　） A．q地＝7q星 B．q地＝q星 C．q地q星 D．q地q星 53．2019年4月10日晚9时许，人类史上首张黑洞照片面世，有望证实广义相对论在极端条件下仍然成立!某同学查阅资料发现黑洞的半径R和质量M满足关系式（其中G为引力常量，真空中的光速c＝3.0×108m/s），他借助太阳发出的光传播到地球需要大约8分钟和地球公转的周期1年，估算太阳“浓缩“为黑洞时，对应的半径约为（　　） A．3000m B．300m C．30m D．3m 54．中子星是恒星演变到最后的一种存在形式． （1）有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转．若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大？ （2）蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这颗中子星的最小密度． （3）若此中子星的质量约为太阳的质量（2×1030kg），试问它的最大可能半径是多大？ 55．宇宙中恒星的寿命不是无穷的，一部分恒星最后会弧形成密度非常大的“中子星”．设某一中子星的密度是ρ，若要使探测器绕该中子星做匀速圆周运动以探测中子星，探测器的运转周期最小值为多少？（万有引力常量为G）． 十三．拉格朗日点（共3小题） 56．如图，地月拉格朗日点L1位于地球和月球的连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量与月球质量之比为81：1，假设地球球心到点L1的距离为月球球心到点L1的距离的k倍，则最接近k的数值是（　　） A．6.5 B．8 C．9 D．10.5 57．2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月14日进入使命轨道地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的嫦娥四号与地球站之间提供通信链路。12月8日，我国成功发射嫦娥四号探测器，并于2019年1月3日成功着陆于与月球背面，通过中继卫星“鹊桥“传回了月背影像图，解开了古老月背的神秘面纱。如图所示，“鹊桥”中继星处于L2点上时，会和月、地两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为月球的k倍，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是（　　） A．“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊：v月： B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊：a月＝L：（L+d） C．k，L，d之间在关系为 D．k，L，d之间在关系为 58．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求： （1）处于L1点小物体的向心加速度； （2）处于L2点小物体运行的线速度； （3）若R2：L＝8：7，试求M：m的值（保留3位有效数字）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 宇宙航行 【十三大题型】 一．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共5小题） 二．宇宙速度的计算（共6小题） 三．同步卫星的特点及相关计算（共5小题） 四．近地卫星（共6小题） 五．卫星或行星运行参数的计算（共4小题） 六．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共5小题） 七．卫星的发射及变轨问题（共4小题） 八．卫星的追及相遇问题（共2小题） 九．双星系统及相关计算（共6小题） 十．多星系统及相关计算（共4小题） 十一．潮汐问题（共4小题） 十二．中子星与黑洞（共4小题） 十三．拉格朗日点（共3小题） 一．第一、第二和第三宇宙速度的物理意义（共5小题） 1．科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然•天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞。科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙速度的倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k。地球的半径为R，地球卫星的环绕速度（即第一宇宙速度）为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：地球的第一宇宙速度为：m； 该天体成为黑洞时其轨道半径为r，第一宇宙速度为v2，为：； 而cv2； 联立解得：r，故B正确，ACD错误； 故选：B。 2．人类利用太空望远镜在太阳系外发现了一颗未知天体X，该未知天体环绕中心天体Y运行。已知未知天体X的质量是地球质量的a倍，半径为地球半径的b倍，其公转周期为地球公转周期的c倍，中心天体Y的质量是太阳质量的d倍。假设未知天体X和地球均可视为质量分布均匀的球体，且均环绕各自的中心天体做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（　　） A．未知天体X的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为a：b B．同一物体在未知天体X表面的重力与在地球表面的重力之比为a：b C．天体X、Y之间的距离与日地之间的距离之比：1 D．中心天体Y的密度与地球的密度之比为c2：1 【答案】C 【解答】解：A、卫星绕任一行星表面做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力可知，，解得v，则未知天体X的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为：，故A错误； B、对于天体表面的物体，万有引力近似等于重力，即有mg，解得g，则同一物体在未知天体X表面的重力与在地球表面的重力之比为a：b2，故B错误； C、环绕天体环绕中心天体做圆周运动时，由万有引力提供向心力得，解得r，则天体X、Y之间的距离与日地之间的距离之比为：1，故C正确； D、由于中心天体Y的半径未知，不能确定其密度与地球密度的关系，故D错误。 故选：C。 3．（多选）使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2v1，已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则（　　） A．该星球上的第一宇宙速度为 B．该星球上的第二宇宙速度为 C．该星球的平均密度为 D．该星球的质量为 【答案】BC 【解答】解：AB、该星球表面的重力加速度g'，由mg' 可得星球的第一宇宙速度v1， 该星球的第二宇宙速度v2v1，故A错误，B正确； CD、地球表面上物体的重力等于万有引力，即Gmg，地球的质量为Mρ•πR3； 同理，星球的质量为M′ρ′•πR′3； 联立解得：ρ′， M′，故C正确，D错误。 故选：BC。 4．已知地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度g＝10m/s2．现测得某未知星球的质量是地球的4倍，半径与地球的半径相等．忽略地球及该星球的自转，则： （1）该星球表面的重力加速度g′多大？ （2）已知地球的第一宇宙速度v＝7.9km/s，则该星的第一宇宙速度v′多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在地球表面：① 在未知星球表面：② 联立解得g'＝4g＝40m/s2 （2）对地球的近地卫星：③ 对未知星球的近地卫星：④ 联立解得v'＝2v＝15.8km/s 答：（1）该星球表面的重力加速度g′为 （2）已知地球的第一宇宙速度v＝7.9km/s，则该星的第一宇宙速度v′为15.8km/s 5．第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度．理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍．这个关系对于其他天体也是正确的．当天体的逃逸速度大于光速c时，即使它在发光，光也不能进入太空，我们也根本看不到它．这种天体称为黑洞．对于一个质量为M的球状天体，当其半径R满足是什么条件时会成为一个黑洞？已知万有引力常量为G． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设第一宇宙速度为v1，有 Gm 得到 v1 由题得第二宇宙速度v2v1 又由题：星体成为黑洞的条件为v2＞c 即•c 解得：R 答：对于一个质量为M的球状天体，当其半径R时会成为一个黑洞． 二．宇宙速度的计算（共6小题） 6．在一颗半径为地球半径0.8倍的行星表面，将一个物体竖直向上抛出，不计空气阻力。从抛出开始计时，物体运动的位移随时间关系如图（可能用到的数据：地球的半径为6400km，地球的第一宇宙速度取8km/s，地球表面的重力加速度为10m/s2），则（　　） A．该行星的质量比地球的质量大 B．该行星表面的重力加速度为16m/s2 C．该行星的第一宇宙速度为6.4km/s D．该物体落到行星表面时的速率为30m/s 【答案】C 【解答】解：B.由图可知，物体上升的最大高度为x＝64m，上升的时间为t＝4s，对于上升过程，有，所以初速度为v＝32m/s，物体的重力加速度大小为g′m/s2＝8m/s2＝0.8g，故B错误； A.物体在行星表面受到的重力等于万有引力，则Gmg′，而在地球表面上有Gmg，解得M＝0.512M地，故行星的质量小于地球的质量，故A错误； C.根据，可得v，则该行星的第一宇宙速度为0.8，而8km/s，得v＝6.4km/s，故C正确。 D.根据对称性可知，该物体落到行星表面时的速度大小与初速度大小相等，也为32m/s，故D错误。 故选：C。 7．若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球从抛出到落地的位移为L．已知月球半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度g月 B．月球的质量m月 C．月球的第一宇宙速度v＝v0 D．月球的平均密度ρ 【答案】C 【解答】解：A、小球做平抛运动，水平位移为：x，则平抛运动的时间为：t，竖直方向上，hgt2，得月球表面的重力加速度为：g月，故A错误； B、物体在月球表面，根据重力等于万有引力，有：mg月，解得月球的质量为：m月，故B错误； C、在月球表面，根据重力充当向心力可知：mg月＝m，解得月球的第一宇宙速度为：v＝v0，故C正确； D、月球的平均密度为：ρ，故D错误。 故选：C。 8．（多选）在星球A上将一小物块P竖直向上抛出，P的速度的二次方v2与位移x间的关系如图中实线所示；在另一星球B上用另一小物块Q完成同样的过程，Q的v2﹣x关系如图中虚线所示。已知星球A、B的半径相等，若两星球均为质量均匀分布的球体，两星球上均没有空气，不考虑两星球的自转，则下列说法正确的是（　　） A．星球A表面的重力加速度是星球B表面的重力加速度的 B．A的密度是B的密度的3倍 C．P抛出后落回原处的时间是Q抛出后落回原处的时间的 D．A的第一宇宙速度是B的第一宇宙速度的倍 【答案】BD 【解答】解：A、设重力加速度为g，根据速度—位移关系式可知：0﹣v2＝2gx，得：v2＝﹣2gx，图象的斜率代表﹣2g，两图象斜率比为3：1，所以A表面的重力加速度是B表面的重力加速度的3倍，故A错误； B、根据mg，结合密度公式M＝ρV解得：ρ，A的密度是B的密度的3倍，故B正确； C、根据竖直上抛运动对称性可知：t，根据图象可知，P的初速度为，Q的初速度为v0，所以P抛出后落回原处的时间是Q抛出后落回原处的时间的，故C错误； D、根据第一宇宙速度的公式v可知，A的第一宇宙速度是B的第一宇宙速度的倍，故D正确。 故选：BD。 9．某天文爱好者在观测某行星时，测得绕该行星的卫星做圆周运动的半径r的三次方与运动周期T的平方满足如图所示的关系，图中a、b、R已知，且R为该行星的半径。 （1）求该行星的第一宇宙速度； （2）若在该行星上以v0竖直向上抛出一个小球，则能上升的最大高度为多大； 【答案】（1）求该行星的第一宇宙速度为； （2）若在该行星上以v0竖直向上抛出一个小球，则能上升的最大高度为。 【解答】解：（1）设该天体的质量为M，根据万有引力提供向心力有 整理有 根据图像有 设第一宇宙速度大小为v，则有 联立以上各式可得 v （2）设该星球表面的重力加速度为g，在该星球表面有 小球上升的最大高度为 联立解得h。 答：（1）求该行星的第一宇宙速度为； （2）若在该行星上以v0竖直向上抛出一个小球，则能上升的最大高度为。 10．设想在未来的某一天，有一位航天员到达了宇宙中的某一行星表面，航天员利用携带的实验仪器做如下的实验：把一个光滑的“过山车”轨道固定在一个台式电子测力计上，调节测力计示数为零，然后将一个质量为m的小球从倾斜轨道上释放，如图所示。实验过程中发现当把小球从与圆周最高点等高处静止释放时，小球运动到轨道最低点，电子测力计的读数为F，已知行星半径为R，引力常量为G，忽略星球的自转，求： （1）该行星表面附近的重力加速度大小g； （2）该行星的平均密度ρ。 （3）在该星球上发射卫星的最小发射速度v。 【答案】（1）该行星表面附近的重力加速度大小为； （2）该行星的平均密度为； （3）在该星球上发射卫星的最小发射速度为。 【解答】解：（1）小球在最低点时，由牛顿第二定律可得： 小球从与圆周最高点等高处静止释放到小球运动到轨道最低点的过程中，由动能定理可得： 联立解得：； （2）在行星表面，小球受到的重力与万有引力相等，则有：，解得： 则该行星的平均密度为：； （3）由万有引力提供向心力可得：，又，联立解得：。 答：（1）该行星表面附近的重力加速度大小为； （2）该行星的平均密度为； （3）在该星球上发射卫星的最小发射速度为。 11．阋（xi）神星（小行星序号：136199 Eris）是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被传为第十大行星“齐娜”．阋神星有一颗卫星，在国际天文联合会议上该卫星被正式命名为Erisl（Dysnomis，戴丝诺米娅）．若已知该卫星绕阋神星的周期为T，轨道半径为r，阋神星的半径为R，求： （1）阋神星表面的重力加速度g； （2）阋神星的第一宇宙速度v． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设阋神星的质量为M，卫星的质量为m，星球表面物体的质量为m1 根据万有引力提供向心力有： 根据万有引力等于重力有： 解得 （2） 得． 答：（1）阋神星表面的重力加速度得； （2）阋神星的第一宇宙速度为． 三．同步卫星的特点及相关计算（共5小题） 12．地球的质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，同步卫星距地面的距离为h，则同步卫星的线速度大小表示错误的为（　　） A．ω（R+h） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、同步卫星的运转角速度等于地球自转角速度为ω，有线速度与角速度关系得：v＝（R+h）ω，故A正确； BC、由于地球的引力提供向心力，让同步卫星做匀速圆周运动，则有： 解之得：v 由黄金代换式：g 可得：v＝R，故BC正确； D、第一宇宙速度的表达式为：v，同步卫星线速度小于第一宇宙速度，故D错误。 本题选择错误的， 故选：D。 13．（多选）“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（　　） A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍 B．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转线速度的倍 C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍 D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍 【答案】CD 【解答】解：AC、根据Gm 得，v，则同步卫星的运动速度是第一宇宙速度的，故A错误，C正确； B、同步卫星与地球自转同步，故线速度v＝rω，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转线速度的n倍，故B错误； D、根据Gma，得a，则同步卫星的向心速度是地球表面重力加速度的倍，故D正确； 故选：CD。 14．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球半径为R，引力常数为G，则（　　） A．地球的质量为 B．地球密度为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球同步卫星距地表的高度为（1）R 【答案】BD 【解答】解：AD、质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，故有： mg0＝G 所以地球的质量为：M 在赤道，引力为重力和向心力的矢量和，故有： mg+mR＝G 联立解得：T＝2π 同步卫星受到的万有引力提供向心力，则有： 所以：h＝（1）R．故A错误，D正确； B、地球的密度为：ρ．故B正确。 C、近地卫星受到的万有引力提供向心力，所以有：G 联立得：v．故C错误； 故选：BD。 15．如图，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球质量为M，O为地球中心． （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即k是一个对所有行星都相同的常量．开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．请你推导出地月系中该常量k的表达式．已知引力常量为G． （2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们还能相距最近？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因卫星绕地球做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G 解得：kM （2）由万有引力定律和向心力公式得 GmωB2（ R+h ） 在地球表面有mg， 得ωB 由题意得（ωB﹣ω0）t＝2π 解得：t 答：（1）地月系中该常量k的表达式为kM； （2）至少经过时间，它们还能相距最近． 16．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，一天时间记为T，卫星质量为m。已知万有引力势能公式F，其中M为地球质量，r为卫星到地心距离。求： （1）同步轨道卫星环绕地球的飞行速度； （2）从地球表面发射同步轨道卫星时的最小初速度（考虑地球自转的影响）。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）卫星在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，列出等式： mω2r 根据在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，列出等式：mg ω， 解得：r， v＝ωr， （2）从地球表面发射同步轨道由能量守恒列出等式： mmv2 v0 考虑到地球的自转，最小发射速度v′＝v0﹣v自 答：（1）同步轨道卫星环绕地球的飞行速度是； （2）从地球表面发射同步轨道卫星时的最小初速度是。 四．近地卫星（共6小题） 17．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．人造卫星的最小周期为2π B．卫星在距地面高度R处的绕行速度为 C．卫星在距地面高度为R处的重力加速度为 D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少 【答案】D 【解答】解：A、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有 F＝F向 其中 F＝G F向＝mmω2r＝m（）2r＝ma 因而 Gmmω2r＝m（）2r＝ma 解得 v ① T2π ② a ③ 地球表面重力加速度公式 g ④ 根据②④式，卫星的公转周期为 T＝2π 当r＝R时，T最小，为 T＝2π2π，故A正确； B、由①④式得到 v＝R 当卫星距地面高度为R时，即r＝2R时，v，故B正确； C、由③④式得到 a 当卫星距地面高度为R时，a，故C正确； D、地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，但要将卫星发射到较高的轨道，需要克服引力做较多的功，故D错误； 故选：D。 18．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。质量为m的宇宙飞船在半径为2R的轨道1上绕地球中心O做圆周运动。现飞船在轨道1的A点加速到椭圆轨道2上，再在远地点B点加速，从而移飞船转移到半径为4R的轨道3上，如图所示。若相距r的两物体间引力势能为，求： （1）飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比（vA：vB）。 （2）飞船在轨道2上从A点到B点飞行的时间。 （3）若要实现由A点从轨道1转移到轨道2，需要在轨道1上对飞船做多少功？ 【答案】（1）飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比为2：1 （2）从A到B的时间为3π （3）做功的数值为 【解答】解：（1）根据开普勒第二定律可知： vAΔt×2RvBΔt×4R，当Δt→0时，vA、vB可以表示在2轨道上近地点与远地点的瞬时速度 所以vA：vB＝2：1 （2）在1轨道上运转的卫星，根据万有引力提供向心力可得： m mg T 根据开普勒第三定律可得： 所以T0T66π 所以从A到B的时间为3π （3）飞船在轨道2上运行时，只有万有引力做功，系统的能量守恒，即A点的机械能和B的机械能相等 则有：m（）m（） 又因为vA：vB＝2：1 所以m 所以在2轨道上A点的动能为 m 飞船在轨道1上运动时候，根据万有引力提供向心力 m 所以此时的动能为 m 地表处万有引力提供重力可得： mg 因为相同位置，势能不变，动能的增加量即为做功的数值， 即W 答：（1）飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比为2：1 （2）从A到B的时间为3π （3）做功的数值为 19．一艘宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α，已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，求： （1）宇宙飞船距离地面的高度。 （2）宇宙飞船的周期T。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设飞船做圆周运动的半径为r，距离地面的高度为h。 由几何关系知 ① 距离地面的高度为 h＝r﹣R…② 由①②解得：③ （2）由万有引力提供做圆周运动所需的向心力得：④ 由①④解得：⑤ 答： （1）宇宙飞船离距地面的高度是。 （2）宇宙飞船的周期T为2π。 20．宇航员乘坐宇宙飞船来到某行星附近，关闭发动机让飞船绕星球做半径为r的匀速圆周运动，周期为T．已知万有引力常量为G，忽略其他天体对飞船的影响， （1）试求该行星的质量； （2）将行星用图的圆1表示，用圆2表示飞船运动轨迹，宇航员发现该行星的视角为2α，α即图中的∠ABO，试估计在该星球表面发射该星球的卫星所需要获得的最小发射速度； （3）如果宇航员操纵发动机使飞船在B点进行了一次恰当的瞬间减速，然后关闭发动机，使飞船绕该行星做椭圆轨道运动，且椭圆轨道的离行星最近处到行星表面距离可以忽略，求飞船在此椭圆轨道上运行的周期。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）飞船绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，得 Gmr 得：M （2）由几何关系可知，该行星的半径：R＝r•sinα 该星球的卫星所需要获得的最小发射速度即绕近地轨道的速度，则： 联立可得：v （3）由几何关系可知椭圆轨道的半长轴：a 由开普勒第三定律可得： 所以：T′ 答：（1）该行星的质量为； （2）在该星球表面发射该星球的卫星所需要获得的最小发射速度为； （3）飞船在此椭圆轨道上运行的周期为。 21．2005年10月12日上午9时，“神舟”六号载人飞船发射升空．火箭点火起飞，588秒后，飞船与火箭分离，准确入轨，进入椭圆轨道运行．飞船飞行到第5圈实施变轨，进入圆形轨道绕地球飞行．设“神舟”六号飞船质量为m，当它在椭圆轨道上运行时，其近地点距地面高度为h1，飞船速度为v1，加速度为a1；在远地点距地面高度为h2，飞船速度为v2．已知地球半径为R（如图所示）．求飞船 （1）由远地点到近地点万有引力所做的功 （2）在远地点的加速度a2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由动能定理得，由远地点到近地点万有引力所做的功，故做功 W （2）在近地点，由牛顿第二定律得： 所以：GM 在远地点有： 答：（1）由远地点到近地点万有引力所做的功为； （2）在远地点的加速度为． 22．为纪念“光纤之父”、诺贝尔物理学奖获得者高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天 文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，在不考虑自转的情况，求解以下问题：（以下结果均用字母表达即可） （1）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度； （2）假设“高锟星”为一均匀球体，试求“高锟星”的平均密度；（球体积VπR3） （3）假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距地面的高度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一宇宙速度时近地卫星的运行速度，满足万有引力提供圆周运动向心力，而在星球表面重力与万有引力相等有： 可得卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为：； （2）根据星球表面重力与万有引力相等有： 可得高锟星的质量为：M 根据密度公式有，该星的平均速度为：； （3）设高锟星质量为M，卫星质量为m，轨道半径r， 根据题意有： 由（2）得：M 所以可得卫星的轨道半径为：r 所以卫星距地面高度为：h＝r﹣RR 答：（1）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为； （2）假设“高锟星”为一均匀球体，“高锟星”的平均密度为； （3）假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，该卫星距地面的高度R． 五．卫星或行星运行参数的计算（共4小题） 23．（多选）2021年12月26日，我国在太原卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十九运载火箭成功发射“资源一号”06星，该卫星将进一步推进我国陆地资源调查监测卫星业务系统化应用。若该卫星在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动的周期为T，地球的半径为R，引力常量为G，忽略地球的自转，则下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度大小为 B．地球表面的重力加速度大小为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的平均密度为 【答案】BD 【解答】解：A、根据线速度公式可知，该卫星的线速度大小：v，故A错误； BC、根据万有引力提供向心力可知，m（R+h），根据黄金代换式可知，GM＝gR2，联立解得地球表面的重力加速度大小g，地球的第一宇宙速度v1，故B正确，C错误； D、地球的体积：V，根据黄金代换式，GM＝gR2，联立解得地球的平均密度：ρ，故D正确。 故选：BD。 24．继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t． （1）试计算土星的质量和平均密度． （2）若离土星表面高H的圆形轨道上有一土星的卫星，求其公转周期． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题，环绕n周飞行时间为t．则周期 T， 根据万有引力提供向心力为：Gm（R+h） 解得：M 土星可以看成球体，其体积为VπR3， 得：ρ （2）由公式知周期：T′ 答：（1）土星的质量为，平均密度为． （2）若离土星表面高H的圆形轨道上有一土星的卫星，其公转周期． 25．天文工作者观测到某行星的半径为R1，自转周期为T1，它有一颗卫星，轨道半径为R2，绕行星公转周期为T2．若万有引力常量为G． （1）求该行星的质量和平均密度； （2）要在此行星的赤道上发射一颗的近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，求该卫星相对于地心的速度是多少？ （3）若（2）中近地人造卫星稳定飞行后的转动方向与行星的自转方向相同，某时刻卫星经过地面上某标记A，需要多少时间卫星会再次经过标记A． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设行星的质量为M，卫星的质量为m． 行星对卫星的万有引力提供卫星绕行星做圆周运动的向心力，则有： Gm 得 M 则行星的密度为 ρ （2）发射质量为m′的人造卫星在该行星的近地轨道，可以认为其轨道半径为R1，万有引力提供向心力： Gm 解得 v （3）该近地卫星与地面线速度之差Δv＝v﹣v行星 设需要Δt时间卫星会再次经过标记A，则 Δt 解得Δt 答： （1）该行星的质量和平均密度分别为和． （2）该卫星相对于地心的速度是． （3）需要时间卫星会再次经过标记A． 26．我国执行首次载人航天飞行的神舟五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征﹣2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为L1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求： （1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？ （2）远地点B距地面的高度L2为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点受到的地球引力为 地球表面的重力加速度g＝G 又由牛顿第二定律F＝ma 联立以上三式得 飞船在近地点A的加速度aA为． （2）飞船在预定圆轨道飞行的周期T 由牛顿运动定律得 联立解得R 远地点B距地面的高度L2为R． 六．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共5小题） 27．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（　　） A．a的向心加速度大于b的向心加速度 B．四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd C．在相同时间内d转过的弧长最长 D．d的运动周期可能是30h 【答案】D 【解答】解：A、地球同步卫星的周期c必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大。由牛顿第二定律得：ma，解得：a，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，故知a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误。 B、根据v可知，vb＞vc＞vd，a、c同轴转动，角速度相等，由于c的半径大，则va＜vc，故B错误。 C、由B可知，卫星b的半径最小，速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C错误。 D、由开普勒第三定律k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，d的运行周期应大于24h，可能是30h，故D正确。 故选：D。 28．如图所示，曲线I是一颗绕地球做圆周运动的卫星P轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星Q轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法错误的是（　　） A．椭圆轨道的长轴长度为2R B．卫星P在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星Q在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0＞vB C．卫星P在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星Q在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0＜aA D．卫星P在Ⅰ轨道上受到的地球引力与卫星Q在Ⅱ轨道上经过两轨道交点时受到的地球引力大小相等 【答案】D 【解答】解：A、开普勒第三定律可得：，因为周期相等，所以半长轴相等，圆轨道可以看成长半轴、短半轴都为R椭圆，故a＝R，即椭圆轨道的长轴的长度为2R．故A正确； B、根据万有引力提供向心力可得：，故v，由此可知轨道半径越大，线速度越小；设卫星以OB为半径做圆周运动的速度为v'，那么v'＜v0；又卫星Ⅱ在B点做向心运动，所以有vB＜v′， 综上有vB＜v′＜v0．故B正确； C、卫星运动过程中只受到万有引力的作用，故有：G，所以加速度为a，又有OA＜R，所以a0＜aA．故C正确； D、由于不知道两卫星质量关系，故万有引力关系不确定。故D错误。 故选：D。 29．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则（　　） A．行星A的质量小于行星B的质量 B．行星A的密度小于行星B的密度 C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度 D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度小于行星B的卫星的向心加速度 【答案】C 【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，有：m，解得：T，对于环绕行星A表面运行的卫星，有：，对于环绕行星B表面运行的卫星，有：T0，联立解得：，由图知，RA＞RB，所以MA＞MB，故A错误； B、A行星质量为：MA＝ρA，B行星的质量为：MB，解得：，解得：ρA＝ρB，故B错误； C、行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：m，解得：v∝R，因为RA＞RB，所以vA＞vB，故C正确； D、根据ma可知，a，由于MA＞MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D错误。 故选：C。 30．（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 B．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 【答案】ACD 【解答】解：A、卫星绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力， T＝2， 轨道3半径比轨道1半径大，所以卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期， 根据公式： 所以：ω，所以卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。故A正确； B、根据万有引力提供向心力得： 所以v 所以卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率。故B错误； C、从轨道2到轨道3，卫星在P点是从做靠近圆心的运动到做匀速圆周运动，要实现这个运动必须使卫星所需向心力增大，所以应给卫星加速，增加所需的向心力。所以在轨道2上P点的速度小于轨道3上P点的速度，故C正确； D、卫星运行时只受万有引力，加速度a，所以卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，故D正确； 故选：ACD。 31．（多选）我国发射的“神舟六号”载人飞船，与“神舟五号”飞船相比，它在更高的轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图做示，下列说法中正确的是（　　） A．“神舟六号”的线速度较小 B．“神舟六号”的角速度与“神舟五号”的相同 C．“神舟六号”的周期更短 D．“神舟五号”的向心加速度较大 【答案】AD 【解答】解：据万有引力提供圆周运动向心力有： ，所以 A、线速度知轨道半径小的神舟五号线速度大，故A正确； B、角速度知轨道半径小的神舟五号角速度大，故B错误； C、周期知轨道半径小的神舟五号周期小，故C错误； D、向心加速度知轨道半径小的神舟五号向心加速度大，故D正确。 故选：AD。 七．卫星的发射及变轨问题（共4小题） 32．（多选）如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是（　　） A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量无关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 【答案】BC 【解答】解：A、绕月飞行仍在地球引力作用下运动，故卫星没有脱离地球束缚，其发射速度小于第二宇宙速度，故A错误； B、根据万有引力提供圆周运动向心力知等式两边将消去卫星质量m，故其周期大小与卫星质量无关，所以B正确； C、卫星受月球的引力为万有引力，根据万有引力定律知，其大小与卫星到月球中心距离的二次方成反比，故C正确。 D、卫星既受到地球的引力也受到月球的引力作用，其合力指向月球的中心，故卫星受到月球的引力大于受到地球的引力，故D错误。 故选：BC。 33．（多选）我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示．关闭发动机的航天飞机在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站绕月运行的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列描述或结论正确的是（　　） A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B．图中的航天飞机正在加速地飞向B处 C．月球的质量为M D．月球的第一宇宙速度为v 【答案】AB 【解答】解：A、要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在接近B点时减速。否则航天飞机将继续做椭圆运动。故A正确； B、根据开普勒定律可知，航天飞机向近月点B运动时速度越来越大。故B正确； C、设空间站的质量为m，由得，月球的质量M．故C错误； D、D、空间站绕月圆轨道的半径为r，周期为T，其运行速度为，其速度小于月球的第一宇宙速度，所以月球的第一宇宙速度大于．故D错误。 故选：AB。 34．建立物理模型是解决实际问题的重要方法。 （1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 ①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为v1，在远地点D的速度为v2，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算的数值； ②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？ （2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。 ①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m1和m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚； ②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据：，） 【答案】（1）①的数值为； ②k值表达式为，可知k值由地球质量决定； （2）①至少需要获得的速度，才能摆脱地球引力的束缚； ②当火星运行到E位置，此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。 【解答】解：（1）①卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时，在近地点和远地点的等效圆周运动的半径分别为r1和r2，设Δt时间内，由开普勒第二定律有 RΔtv2rΔt 解得 ②选择质量为m的卫星以r0的轨道半径绕地球做匀速圆周运动，运动周期为T0，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得 mr0 解得卫星绕地球运行的k值表达式 k 可知k值由地球质量决定。 （2）①由题意可知，地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线如图所示 探测器在地球表面的引力势能为Ep 可知静置于地面处的探测器，至少需要获得v0速度，才能摆脱地球引力的束缚。由能量守恒定律可得Ep＝0 解得v0 ②设地球绕太阳公转轨道半径为r，则火星轨道半径约为1.5r，可知霍曼转移轨道半长轴为（r+1.5r）＝1.25r 对地球和探测器，由开普勒第三定律可得 解得T探＝1.40T地 对地球和火星，由开普勒第三定律可得 解得T火＝1.84T地 则有T探T火 在地球公转轨道上H点的探测器开始发射，到Ⅰ点的时间为探测器的半个周期，即 tT探T火 可知当火星运行到E点附近时开始发射。 答：（1）①的数值为； ②k值表达式为，可知k值由地球质量决定； （2）①至少需要获得的速度，才能摆脱地球引力的束缚； ②当火星运行到E位置，此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。 35．“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行五圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示．在预定圆轨道上飞行N圈所用时间为t，于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求： （1）飞船在A点的加速度大小． （2）远地点B距地面的高度． （3）沿着椭圆轨道从A到B的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）飞船在A点所受的万有引力F． 由黄金代换式GM＝gR2，得F， 根据牛顿第二定律a． 故飞船在A点的加速度为． （2），T 所以r 由黄金代换式GM＝gR2，r，所以h 故远地点B距地面的高度为． （3）椭圆轨道的半长轴R′ 根据开普勒第三定律 T′2π 所以沿着椭圆轨道从A到B的时间 八．卫星的追及相遇问题（共2小题） 36．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功对接空间站“天和”核心舱，六名航天员进行了太空会师，开启了中国空间站长期有人驻留的新时代。已知中国空间站运行轨道面与地球赤道面的夹角约为41.5°，运行周期为1.5h，地球自转周期为24h，一颗地球同步静止卫星位于地球赤道上空，示意图如图所示。某时刻，中国空间站和这颗同步卫星相距最近，从此时刻开始计时，再次相距最近所需时间为（　　） A．24h B．12h C．1.6h D．0.8h 【答案】A 【解答】解：已知中国空间站运行轨道面与地球赤道面的夹角约为41.5°，某时刻，中国空间站和这颗地球同步卫星相距最近，设为A点，则此时中国空间站刚好到达赤道平面上方，经12h＝8×1.5h后空间站再次到达A点，与地球同步卫星相距最远，所以再次相距最近所需时间为24h，此时空间站与同步卫星均回到A点，故A正确，BCD错误。 故选：A。 37．无地面网络时，华为Mate60Pro可连接天通一号进行卫星通话。天通一号目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成，分别定位于东经101.4度、东经125度、东经81.6度。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．若03星加速，则一定可以追上01星 B．三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度小 C．三颗卫星的轨道半径一定都是 D．三颗卫星的线速度大小一定都是 【答案】C 【解答】解：A.若03星加速，则轨道半径会增大，无法追上01星，故A错误； B.地球同步卫星与地球赤道上物体的角速度相等，由v＝ωr可知，三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度大，故B错误； C.由 可得三颗卫星的轨道半径一定都是，故C正确； D.由，得三颗卫星的线速度大小，故D错误。 故选：C。 九．双星系统及相关计算（共6小题） 38．如图所示，假设在太空中有恒星A、B组成的双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，以下说法正确的是（　　） A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．恒星B的质量为MB C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径也一定等于C的轨道半径 D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t 【答案】B 【解答】解：A．在知道C的轨道半径和周期的情况下，根据万有引力定律和牛顿第二定律列方程只能求解B的质量，无法求解C的质量，故A错误； B．在A、B组成的双星系统中，对A根据万有引力提供向心力有： 解得B的质量满足 故B正确； C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，则根据万有引力提供向心力有： 解得轨道半径 同理可得C的轨道半径为 对A、B组成的双星系统有 因为RA＜RB，所以质量满足MA＞MB，则轨道半径满足：r＞RC，故C错误； D．如图所示 A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则根据匀速圆周运动规律可得 解得再次共线的时间为 故D错误。 故选：B。 39．双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲所示，A、B两星相距为L，其中A星的半径为R；绕O点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员登上了A星，并在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为h。不计A星的自转和A星表面的空气阻力，引力常量为G，A星的体积VπR3。求： （1）A星表面的重力加速度大小g； （2）A星的平均密度ρ； （3）B星的质量mB。 【答案】（1）A星表面的重力加速度大小为； （2）A星的平均密度为； （3）B星的质量为（L）。 【解答】解：（1）在A星表面有 解得 g （2）在A星表面，根据万有引力与重力的关系有mg A星的平均密度ρ 解得 ρ （3）双星系统中，万有引力提供向心力有 MR1mBR2 又R1+R2＝L 解得 mB（L） 答：（1）A星表面的重力加速度大小为； （2）A星的平均密度为； （3）B星的质量为（L）。 40．如图是宇宙中由三颗星体构成的一个系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，正在绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内都顺时针做角速度相等的圆周运动。已知星体A的质量为m，星体B、C的质量均为，三角形边长为L（L远大于星体自身半径），万有引力常量为G。求： （1）若A星体可视为球体，且半径为R，求A星体的第一宇宙速度大小； （2）星体A所受到的万有引力合力的大小； （3）A、B、C三星体做圆周运动时向心加速度之比。 【答案】（1）A星体的第一宇宙速度大小为； （2）星体A所受到的万有引力合力的大小为； （3）A、B、C三星体做圆周运动时向心加速度之比为。 【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力有：m'，解得：v； （2）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：FBA＝FCA方向如图，则合力的大小为：FA＝2FBAcos30°； （3）同上，B星受到的引力分别为：FAB，FCB；FB沿x方向的分力：FBx＝FABcos60°+FCB，FB沿y方向的分力：FBy＝FABsin60°，FB，解得：FB， 同理解得C星受到的引力为：FC， 根据牛顿牛第二定律有：F＝ma，可知A、B、C三星体做圆周运动时向心加速度之比为 答：（1）A星体的第一宇宙速度大小为； （2）星体A所受到的万有引力合力的大小为； （3）A、B、C三星体做圆周运动时向心加速度之比为。 41．在天体运动中，把两颗相距较近的恒星称为双星，已知A、B两恒星质量分别为m1和m2，两恒星相距为L，两恒星分别绕共同的圆心做圆周运动，如图，求两恒星的轨道半径和角速度大小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设A、B两恒星的轨道半径分别为r1、r2，角速度为ω，根据牛顿第二定律得： 对m1有：m1ω2r1 对m2有：m2ω2（L﹣r1） 由以上二式有：r1L，r2＝（L﹣r1）L 将r1L 代入L＝m1ω2r1得： ω 答：A、B两恒星的轨道半径分别为L，L，角速度大小为． 42．在研究天体运动时，常常将围绕两天体球心连线上某点做匀速圆周运动的两个天体称作双星系统．已知天体 A 和 B 组成双星系统，两天体球心之间的距离为 d，两天体的半径之比为 RA：RB＝5：4，两天体的表面重力加速度之比为 gA：gB＝2：5，天体 A 的质量为 m0，引力常量为 G．忽略天体的自转，求该双星系统的运行周期． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设天体B的质量为mB，双星系统的周期为T．A天体做圆周运动的轨道为rA，B天体做圆周运动的轨道为rB． 对A天体，A、B之间的万有引力万有引力提供向心力： 同理，对B天体： 又有：rA+rB＝d 由以上几试可得：T 在A天体表面，万有引力等于重力：mgA 同理，在B天体表面，mgB，解得：T． 答：该双星系统的周期为T． 43．用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G． （1）计算该双星系统的运动周期T计算． （2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算＝1：（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得 ① 解得： ② 则周期为： T计算 ③ （2）根据观测结果，星体的运动周期： ④ 这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观测，则有 ⑤ 解得： ⑥ 因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得 ⑦ 把②⑥式代入⑦式得： 设所求暗物质的密度为ρ，则： 解得： ρ 答： （1）该双星系统的运动周期T计算； （2）该星系间这种暗物质的密度为． 十．多星系统及相关计算（共4小题） 44．2021年11月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持。科学家观测到有三颗星A、B、C保持相对静止，相互之间的距离均为l，且一起绕着某点做周期为T的匀速圆周运动。已知mA＝m，，不计其它星体对它们的影响。关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星A、B、C的半径之比为1：1：1 B．三颗星A、B、C的线速度大小之比为 C．若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为 D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为 【答案】B 【解答】解：A．三星角速度与周期相等，根据对称性，B、C轨道半径相等，如图所示 对A星体有 对B、C星体，两星体各自所受引力的合力大小相等，令为F，根据余弦定理有 B、C轨道半径相等，令为RB＝RC＝R0，则有 解得 则三颗星的半径大小之比为，故A错误； B．根据线速度与角速度的关系有 v＝ωR 三颗星的线速度之比等于，故B正确； C．距离l均不变，对A星体有 若A、B、C的质量均变为原来的2倍，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径不变，则有 解得 即若距离l均不变，A、B、C的质量均变为原来的2倍，则周期变为，故C错误； D．若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，根据对称性可知，三星圆周运动的圆心不变，即轨道半径均变为先前的2倍，则对A星有 解得 即若A、B、C的质量不变，距离均变为2l，则周期变为，故D错误。 故选：B。 45．（多选）以下三个天体运动模型中，星球转动半径均为R，质量及运动轨迹如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两个模型的运动周期之比为 B．乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比 C．甲的角速度大小大于丙的角速度大小 D．乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比 【答案】CD 【解答】解：A．根据万有引力定律，甲模型有mR 乙模型有mR 故甲、乙两个模型的运动周期之比为 故A错误； B．根据万有引力定律，乙模型有 可得 根据力的合成与分解及几何关系，根据万有引力定律，丙模型有 可得 乙模型中某星球的动能与丙模型中某星球的动能之比为 Ek乙：Ek丙 解得Ek乙：Ek丙 故B错误； C．根据万有引力定律，甲模型有 解得 根据线速度与角速度的关系，丙模型有 由于M≫m，所以甲的角速度大小大于丙的角速度大小，故C正确； D．根据加速度与线速度的关系，乙模型的加速为 丙模型的加速为 乙模型中某星球的加速度与丙模型中某星球的加速度之比为 故D正确。 故选：CD。 46．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的A、B、C三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的万有引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：第一种是三颗星位于同一直线上，A、C两颗星围绕中央星B在同一半径为R的圆轨道上运行；第二种形式是A、B、C三颗星在边长为R的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设在第一种和第二种情况下，A星体运动的线速度分别为v1和v2；周期分别为T1和T2．求：？和？． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：第一种情况下，星体A受星体B和星体C的万有引力，它们的合力提供向心力，线速度与周期方程： （） 第二种情况下，星体之间的距离为R，圆周的半径为； 星体A受的合力为： 解得：； 答：； 47．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在这种形式：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．星体的运动周期T，则星体之间的距离应为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行， 由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2Fcos30°＝mr•， 故m••， 故l； 答：星体之间的距离应为． 十一．潮汐问题（共4小题） 48．地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（　　） A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为 C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为 【答案】D 【解答】解：A、根据万有引力提供重力可得： 根据密度计算公式可得： 联立得地球的密度：，故A错误； B、根据万有引力提供向心力可得： 联立解得月球绕地球公转的角速度为：，地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，可知月球的公转和自转的角速度相同，故月球自转的角速度为，故B错误； C、根据几何关系可知，太阳光照射月球的时间为：，代入可得：，故C错误； D、因为月球永远以同一面朝向着地球，则月球上的P点被照亮的时间为：，代入数据可得：，故D正确。 故选：D。 49．嫦娥四号登月探测器的登陆地点位于月球背对地球一面的艾特肯盆地。由于月球被地球潮汐锁定，它只能永远以同一面朝向地球，因此嫦娥四号与地球上的测控中心之间的通信信号无法穿透月球，这就需要“鹊桥”中继卫星的帮助来实现数据传输，完成地面测控任务。如图所示，L1、L2为地月系统中的两个拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，“鹊桥”中继卫星位于L2点上。结合以上信息，下列说法中正确的是（　　） A．“鹊桥”中继卫星的发射速度11.2km/s≤v＜16.7km/s B．地球同步卫星轨道应位于月球与L2点之间 C．同一颗卫星位于L1点所在轨道时的动能大于位于L2点所在轨道时的动能 D．“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度 【答案】D 【解答】解：A、第一宇宙速度为7.9km/s，是卫星最小的发射速度。第二宇宙速度为11.2km/s，也叫脱离速度，“鹊桥”运行于地—月拉格朗日L2点，没有脱离地球，所以“鹊桥”中继卫星的发射速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s，故A错误； B、月球绕地球运行周期为27天，地球同步卫星运行周期为1天，根据开普勒第三定律可知月球轨道半径大于同步卫星轨道半径，则同步卫星轨道应该在地球与月球之间，故B错误； C、由题意可知，当卫星位于L1、L2点所在轨道围绕地球运动时的角速度相等，根据v＝ωr可知，当卫星位于L2点时的线速度要大于位于L1点时的线速度，也就是同一颗卫星位于L2点时的动能要大于位于L1点时的动能，故C错误； D、月球和“鹊桥”的周期相同，根据向心加速度表达式可知，“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正确。 故选：D。 50．已知地球质量为M，月球质量为m，地月之间距离L1引力常量为G： （1）月球环绕地球运动周期T1： （2）牛顿在解释潮汐现象时认为地球和月球共同绕二者连接上某点做圆周运动，此种情形下，地月系统运动周期为T2，求 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则： 可得： （2）若考虑地球和月球共同绕二者连接上某点做圆周运动，此种情形下，地月系统运动周期为T2，设地球与月球的轨道半径分别为R和r，则： 又：R+r＝L1 联立可得： 所以： 答：（1）月球环绕地球运动周期是； （2）牛顿在解释潮汐现象时认为地球和月球共同绕二者连接上某点做圆周运动，此种情形下，。 51．假如潮汐最终将导致地球和月亮的距离减少，月球半径Rm约为地球半径Re的倍，估算月亮开始散裂时与地球的距离（假设月亮和地球密度相同，Re＝6400km） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当地球对月球轨道上物体的万有引力等于月球对月球表面上物体的万有引力时，月球开始散裂 设两球心距离为Rx，则有： 由于Rx＞＞Rm，上试变为： 月亮和地球密度相同，m 联立即可解得：Rx＝2Re＝12800km 答：估算月亮开始散裂时与地球的距离为12800km 十二．中子星与黑洞（共4小题） 52．脉冲星是科学家不会放过的“天然太空实验室”，它是快速旋转的中子星，属于大质量恒星死亡后留下的残骸，也是宇宙中密度最高的天体之一。某颗星的自转周期为T（实际测量为1.83s，距离地球1.6万光年）。假设该星球恰好能维持自转不瓦解，令该星球的密度ρ与自转周期T的相关量为q星，同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍，地球的密度ρ0与自转周期T0的相关量为q地，则（　　） A．q地＝7q星 B．q地＝q星 C．q地q星 D．q地q星 【答案】D 【解答】解：根据向心力公式可知，F＝m，周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即： 根据密度公式可知，M＝ρ• 联立解得：q星 地球的同步卫星的轨道比较是地球的半径的7倍，对地球的同步卫星： m' 其中：M' 联立得：q地， 所以：，故D正确，ABC错误。 故选：D。 53．2019年4月10日晚9时许，人类史上首张黑洞照片面世，有望证实广义相对论在极端条件下仍然成立!某同学查阅资料发现黑洞的半径R和质量M满足关系式（其中G为引力常量，真空中的光速c＝3.0×108m/s），他借助太阳发出的光传播到地球需要大约8分钟和地球公转的周期1年，估算太阳“浓缩“为黑洞时，对应的半径约为（） A．3000m B．300m C．30m D．3m 【答案】A 【解答】解：t＝8min＝480s，T＝1年＝365×24×3600s＝31536000s 地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，m， 解得太阳质量：M 其中r＝ct＝1.44×1011m 黑洞的半径R和质量M满足： 联立解得：R＝2669m≈3000m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 54．中子星是恒星演变到最后的一种存在形式． （1）有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转．若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大？ （2）蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这颗中子星的最小密度． （3）若此中子星的质量约为太阳的质量（2×1030kg），试问它的最大可能半径是多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由mRω2得该星球的质量为：M 由M＝ρπR3代入得：ρ （2）这颗中子星的最小密度为：ρkg/m3＝1.27×1014 kg/m3 （3）因为M＝ρπR3，所以有：Rm＝1.56×105 m 答：（1）该星球的密度至少要为． （2）这颗中子星的最小密度为1.27×1014 kg/m3． （3）它的最大可能半径是1.56×105 m． 55．宇宙中恒星的寿命不是无穷的，一部分恒星最后会弧形成密度非常大的“中子星”．设某一中子星的密度是ρ，若要使探测器绕该中子星做匀速圆周运动以探测中子星，探测器的运转周期最小值为多少？（万有引力常量为G）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设中子星的半径为R，质量为M． 探测器绕中子星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有： GmR 则该中子星的质量为：M 所以该中子行的密度为：ρ 所以探测器的运转周期最小值：T 答：探测器的运转周期最小值为． 十三．拉格朗日点（共3小题） 56．如图，地月拉格朗日点L1位于地球和月球的连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量与月球质量之比为81：1，假设地球球心到点L1的距离为月球球心到点L1的距离的k倍，则最接近k的数值是（　　） A．6.5 B．8 C．9 D．10.5 【答案】A 【解答】解：设位于拉格朗日点的物体质量为m，地球质量为M，月球质量为M′ 物体到月球的距离为x，则物体到地心的距离为kx，月球到地心距离为（k+1）x 由万有引力等于向心力，对物体：mkxω2 物体质量小，对月球的引力产生加速度可略去即只考虑地球对月球的吸引力得：M'（k+1）xω2 其中M＝81M' 联立解得：k＝6.5，故A正确，BCD错误。 故选：A。 57．2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月14日进入使命轨道地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的嫦娥四号与地球站之间提供通信链路。12月8日，我国成功发射嫦娥四号探测器，并于2019年1月3日成功着陆于与月球背面，通过中继卫星“鹊桥“传回了月背影像图，解开了古老月背的神秘面纱。如图所示，“鹊桥”中继星处于L2点上时，会和月、地两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为月球的k倍，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是（　　） A．“鹊桥”与月球的线速度之比为v鹊：v月： B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为a鹊：a月＝L：（L+d） C．k，L，d之间在关系为 D．k，L，d之间在关系为 【答案】C 【解答】解：A、“鹊桥”与月球的角速度相等，根据v＝rω，线速度之比为v鹊：v月＝r鹊：r月＝（L+d）：L，故A错误； B、“鹊桥”与月球的角速度相等，根据a＝ω2r，向心加速度之比为a鹊：a月＝r鹊：r月＝（L+d）：L，故B错误； CD、对月球，万有引力提供向心力，故：mω2L，对“鹊桥”中继卫星，地球引力和月球引力的合力提供向心力，故：，联立解得：，故C正确，D错误； 故选：C。 58．拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求： （1）处于L1点小物体的向心加速度； （2）处于L2点小物体运行的线速度； （3）若R2：L＝8：7，试求M：m的值（保留3位有效数字）。 【答案】（1）处于L1点小物体的向心加速度为： （2）处在L2点小物体线速度为： （3）若R2：L＝8：7，M：m的值约等于130。 【解答】解：（1）L1上的卫星处在地月系统的拉格朗日点上，同时受地球和月球的万有引力作用，合力提供向心力，设L1上的卫星质量为m1，则有： F1m1a1 则处于L1点小物体的向心加速度：a1 （2）处在L2点小物体，同理， 合力提供向心力：F2，则处在L2点小物体线速度：v2 （3）当处在L2点有卫星时，环绕天体受卫星和中心天体共同的万有引力，合力提供向心力，但由于卫星的质量远小于中心天体的质量，则环绕天体可近似认为只有中心天体的万有引力提供向心力： F3mω2L 处在L2点有卫星合力提供向心力：F2 根据拉格朗日点上卫星的特点，和两个大天体每时每刻都处在同一条直线上，即角速度相等。上面两式子相除，化简并将R2：L＝8：7代入计算，可得：M：m≈130 答：（1）处于L1点小物体的向心加速度为： （2）处在L2点小物体线速度为： （3）若R2：L＝8：7，M：m的值约等于130。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$