专题强化01：平面向量的题型归纳精讲与精练【10大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化01：平面向量的题型归纳精讲与精练 【考点归纳】 · 考点一：平行向量的基本概念 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的线性运动坐标表示 考点六：平面向量共线的坐标表示 · 考点七：平面向量的数量积 考点八：平面向量的数量积的坐标表示 · 考点九：平面向量的应用举例 考点十：平面向量的新定义 【题型探究】 题型一：平行向量的基本概念 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 2．（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 题型二：平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】D 【分析】运用余弦定理，向量平行四边形法则，数量积定义，投影向量概念公式分别计算即可. 【详解】由正八边形可知，， 对， ，故A错误； 对，由，可得， 由平行四边形法则，可得，故错误； 对C，因为，所以，故C错误； 对D，因为，所以在上的投影为，投影向量为，故D正确. 故选：D. 5．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，设分别是边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，所以是的中点， 则. 故选：A 6．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 题型三：平面向量的共线定理 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故，即. 从而，当且仅当等号成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于采用恰当的配凑以运用基本不等式，从而求得最值. 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【详解】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 9．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】依题意设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，整理得解. 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 又，且、不共线， 则，所以．    题型四：平面向量的线性运算坐标表示 10．（23-24高一下·北京·期末）已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得. 【详解】设，而，则，又且， 因此，解得， 所以. 故选：B 11．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算，结合平行，垂直的坐标结论可解. 【详解】设向量，则. 由，得 解得,故向量的坐标为. 故选：A. 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 题型五：平面向量共线的坐标表示 13．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且， 由可得，解得. 故选：B 14．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】先分别求出和的坐标，再由两向量平行列方程可求出的值. 【详解】因为， 所以，， 因为， 所以，得， 故选：A 15．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 【答案】C 【分析】对于A，根据与共线的单位向量的定义将两坐标除以模长，取两个方向即得；对于B，根据投影向量的定义计算即得；对于C，设出所求向量，由和联立方程组求解；对于D，由计算即得. 【详解】对于A，由可得，，故共线的单位向量的坐标为或，故A正确； 对于B，因在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，设与垂直的单位向量为，则有，解得，或， 即与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于D，由， 解得.故D正确. 故选：C. 题型六：平面向量的数量积 16．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 17．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 18．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 题型七：平面向量的数量积的坐标表示 19．（24-25高一上·北京房山·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量满足，求向量； (3)在（2）的条件下，若，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长； （2）利用向量坐标的运算解向量方程即得； （3）将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得. 【详解】（1）因为向量，， 所以. 所以. （2）因为， 所以. 所以. （3）因为，由（2）知，. 所以. 所以即 20．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得即可得答案； （3）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； 【详解】（1）因为与共线， 所以，所以. （2）因为，， 所以， 可得， （3）由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 21．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，，点为矩形内一点，且，设.    (1)当时，求的值. (2)求的最大值. 【答案】(1)5 (2)6 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解； （2）设，求出对应向量的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则, 当时，，则， 所以； （2）由三角函数的定义可设， 则，， 所以 所以 ， 因为，所以当时，取得最大值6.    题型八：平面向量的应用举例、 22．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】由题意可得，根据模长关系可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 23．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 24．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 题型九：平面向量在几何的应用 25．（23-24高一下·河北保定·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求外接圆半径，将置于圆中，利用图形线段关系得到，结合数量积的运算律及已知求得，进而求最值． 【详解】由题设，外接圆的半径，如下图， 由，则，令，且， 又，， 所以， 则， 当，即时，有最小值. 故选：D 26．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B    27．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值， 当时，有最大值，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故选：B 题型十：平面向量的新定义 28．（23-24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：D. 29．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（    ） A．－14 B．14 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算求得，利用叉乘模的定义即可得解. 【详解】，，， ，， 两个非零向量与的夹角为，， ，， . 故选：B. 30．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）对于非零向量，，定义．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定理可得，然后利用向量模的计算求出，代入即可求解. 【详解】∵，∴． 由可得， 两式相减得，∴． 故选：B. 【专题训练】 一、单选题 31．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 32．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 33．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 34．（2024·四川·一模）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 35．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】借助向量数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 36．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【详解】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 37．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 二、多选题 38．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 39．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 【答案】BCD 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 40．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】AC 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 41．（24-25高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 42．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 三、填空题 43．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 44．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 45．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 【答案】/ 【分析】先根据平面向量线性运算法则计算，再由数量积的定义求出， 为向量与的夹角，求出与，再由夹角公式计算可得. 【详解】为边上的中线，， ，可得. ． ， ， 则． 故答案为：. 46．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性以及单调性，即可根据求解. 【详解】由可知的对称轴为，则， 由于的图像为开口向下的抛物线，故在单调递增，在单调递减， 又，故得， 因此，解得， 故答案为： 四、解答题 47．（24-25高一上·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 48．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 49．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【详解】（1）  . （2）若，则， 因为，，， 则， 所以. （3））由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 50．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①；②. 【分析】（1）对两边平方化简可求出的值； （2）①结合已知条件利用向量的加减法法则将用表示，再结合，列方程组可用来表示与；②，将与代入化简，得，令，则，求出的范围，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以； （2）①因为， 所以 ， 因为， 所以，所以； ②因为，， 所以 ， 设，则， 因为，所以，所以， 即， 由，得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法，考查向量的数量积运算，考查同角三角函数关系，第（2）问解题的关键是利用平面向量基本定理结合题意用表示，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：平面向量的题型归纳精讲与精练 【考点归纳】 · 考点一：平行向量的基本概念 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的线性运动坐标表示 考点六：平面向量共线的坐标表示 · 考点七：平面向量的数量积 考点八：平面向量的数量积的坐标表示 · 考点九：平面向量的应用举例 考点十：平面向量的新定义 【题型探究】 题型一：平行向量的基本概念 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：平面向量的线性运算 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．在方向上的投影向量为 5．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，设分别是边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 题型三：平面向量的共线定理 7．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 题型四：平面向量的线性运算坐标表示 10．（23-24高一下·北京·期末）已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型五：平面向量共线的坐标表示 13．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 15．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 题型六：平面向量的数量积 16．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 17．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 18．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 题型七：平面向量的数量积的坐标表示 19．（24-25高一上·北京房山·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量满足，求向量； (3)在（2）的条件下，若，求实数的值. 20．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 21．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，，点为矩形内一点，且，设.    (1)当时，求的值. (2)求的最大值. 题型八：平面向量的应用举例、 22．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 23．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 24．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 题型九：平面向量在几何的应用 25．（23-24高一下·河北保定·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 27．（23-24高一下·辽宁）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十：平面向量的新定义 28．（23-24高一下·山东聊城·期中）设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（    ） A．－14 B．14 C．－2 D．2 30．（22-23高一下·河南南阳）对于非零向量，，定义．若，则（    ） A． B． C． D． 【专题训练】 一、单选题 31．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 34．（2024·四川·一模）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 35．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 36．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 37．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 38．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 39．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 40．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 41．（24-25高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 42．（2025高三·全国）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 三、填空题 43．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 44．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 45．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 46．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的的取值范围为 ． 四、解答题 47．（24-25高一上·北京西城·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 48．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 49．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 50．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. (1)求的值； (2)设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$