第03讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第03讲 平行四边形的性质和判定 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求面积】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 考点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【典例1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 【答案】/2厘米 【分析】根据平行四边形的性质证明出，得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：在中，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据题意先证明，，再由平行四边形的判定，即可得出结论． 【详解】解：∵要使四边形为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为，，，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 【变式2-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出是解题的关键．由平行四边形的性质可得出，进而得出，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出，此题得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由翻折可知：，． ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型3根据平行四边形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行四边形的面积公式以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据图形的特点，连接，通过证明和全等可知阴影部分的面积正好等于平行四边形面积的一半，即可求出四边形的面积． 【详解】如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 且为对角线， ， 在于中， ， ≌， 四边形的面积等于面积的一半， ，作于， ， 边上的高， 四边形的面积为． 考点2：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型4 平行四边形的判定】 【典例4】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A，B中的条件都只能证得，不能判定四边形是平行四边形．选项C中的条件，不能判定四边形是平行四边形．对于选项D提供两组对边分别平行，能判定四边形为平行四边形，本题考查了平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形． ∵ ∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形． 选项C不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 故选：D 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【典例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式5-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式5-3】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定， （1）根据题意可得和即可判定即可； （2）由（1），则即可证明平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ． ． （2）证明：如图， ∵， ， 四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【典例6】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 【变式6-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 【变式6-2】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点． （1）由平行四边形的性质得出，且，由中点的定义得出，结合已知条件即可得出，进一步证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出． （2）过点C作于点H．由平行线的性质得出，则，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图，过点C作于点H． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得： ． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意； C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 4．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形不具有的特点是对角线相等， 故选：． 5．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质．由题意得，结合可得是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 故选：C． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等积法，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解 【详解】解：在平行四边形中，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故选D． 7．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C． 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A．6 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 故选：A． 9．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可 【详解】解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到；再根据中点的定义可得；然后说明，易得；再运用勾股定理求得，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形, ∴, ∴, ∵E是的中点, ∴, ∵, ∴, ∴， ， ∴， ． 故选 B． 二、填空题 11．（24-25八年级上·山东淄博·期末）在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的有关计算， 由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，，由角平分线的定义可得出，即可求出 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：40． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为 ． 【答案】13 【分析】结合平行四边形的性质和角平分线的定义证明和均为等腰三角形，易得，，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】108°/度 【分析】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵是平行四边形， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F，若，，，求的长和的面积． 【答案】，的面积为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到，根据线段的和差得到，过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】解：在中， ， ， 平分， ， ， ∴， ； 过D作交的延长线于H， ， ， ， ， ， 的面积． 16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E，F分别为边，的中点，是对角线． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据“”及平行四边形的性质证明； （2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解． 【详解】（1）证明：在中，有，，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，有，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 18．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)平行四边形面积为． 【分析】（）根据线段中点的定义得到，根据平行四边形的性质得到 ，，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （）由（）知，根据等腰三角形的性质得到 ，过点作于，求得，根据勾股定理和平行四边形的面积公式即可得到结论； 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为线段的中点； （2）解：由（）知， ∵， ∴， 过点作于， ∴， 在和中，， 即 解得， ∴ ∴， ∴平行四边形面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平行四边形的性质和判定 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求面积】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 考点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【典例1】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【题型3根据平行四边形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 考点2：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型4 平行四边形的判定】 【典例4】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【典例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式5-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式5-3】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【典例6】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【变式6-2】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 一、单选题 1．（2025八年级下·全国·专题练习）依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 4．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 5．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 7．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A．6 B．9 C．10 D．11 9．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，，过的中点E作 于点 F，延长交的延长线于点 G，则的长为（     ）． A． B． C．8 D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·山东淄博·期末）在平行四边形中，若，则的度数为 ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为 ． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ． 三、解答题 15．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F，若，，，求的长和的面积． 16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E，F分别为边，的中点，是对角线． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 18．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$