精品解析：内蒙古呼和浩特市和林格尔县第一中学2024-2025学年高三一模热身数学试卷

和林格尔第一中学2024—2025学年第二学期一模热身 数学 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集定义求解即可. 【详解】全集，集合， . 故选：C. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 3. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题，分别取、即可判断. 【详解】对于命题，当时，，故为假命题，为真命题； 对于命题，当时，，故为真命题，为假命题. 所以和q都是真命题. 故选：B. 4. 已知中，点，满足，，设，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件和向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】如图，由得，则，， 又，所以， 则， 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得. 【详解】，，，，， 又，，. 故选：B. 6. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】解：设正方体的棱长为，则， 由于三棱锥的表面积为， 所以 所以 所以正方体的外接球的半径为， 所以正方体的外接球的体积为 故选：． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 7. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 8. 已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断与的关系，然后建立等式，最后利用基本不等式求解即可. 详解】根据题意，， 所以，所以的图像关于点对称， 又因为，其中，当且仅当时等号成立， 而，所以，所以在上单调递增. 则由，可得， 记，则， 可得，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列命题中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 图象的对称中心为 D. 单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可． 【详解】由题知，函数， 对于A，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 对于C，图象的对称中心应满足，即 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，的单调递增区间应满足，即， 所以的单调递增区间为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. 当为奇数时， C. 当为偶数时， D. 数列的前项和等于 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到为奇数时，，可判定B正确；当为偶数时，，所以所以A错误，C正确；由，求得数列的前项和，可判定D正确． 【详解】由，可得，， 当为奇数且时，，其中符合， 所以当为奇数时，，所以B正确； 当为偶数时，，所以A错误，C正确； 又由，， 所以数列的前项和为 ，所以D正确． 故选：BCD. 11. 某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（ ） A. 点在曲线的内部 B. 曲线关于轴对称 C. 若点在上，则 D. 直线被曲线截得的线段长为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用距离公式列方程求曲线的构成，数形结合判断A、B；根据所得方程，讨论点的位置判断C；联立直线求交点坐标，两点距离公式判断D. 【详解】设点，因为点到定点距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得，两边平方得， 当时，得，两边平方得， A，如图，曲线由两段抛物线弧组成，在中， 令，得，故点不在曲线的内部，错误； B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，正确； C，若点在上，得，所以， 若点在上，同理得，正确； D，由，得或（舍）， 由，得或（舍）， 故与曲线交于， 可得，错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】代值计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：3. 13. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】90 【解析】 【分析】把五位同学按人数分3组，然后分配给3位专家． 【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生， 要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生， 则把五位同学分3组，且三组人数为，然后分配给3位专家， 所以不同的安排方法共有种. 故答案为：90. 14. 已知数列满足，且对于任意，都存在，使得，则的所有可能取值构成的集合______；若的各项均不相等，把半径为（单位：）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由代入运算即可求解第一空，由半径为9和5的球必须放在正方体体对角线的两个角出求解即可. 【详解】由题意：， ，或， 或，或当时，，当时，， 所以的所有可能取值构成的集合， 第二空：的各项均不相等，所以，，， 由题意要是正方体容器的棱长最小，必须将半径为9和5的球放在正方体体对角线的两角处， 设正方体的棱长为，画出体对角面如图： 则， 由相似成比例可得：，所以， ，所以， 又， 所以， 解得：，此时，（半径为1和5的球相切，两点间最远距离） 即正方体的棱长最小值为：. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：球的切、接问题的关键，几何模型的准确构造，一般通过构造截面并确定内切球球心位置是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 【答案】（1），有两个零点 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 【小问2详解】 证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 16. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为. （1）求角的值； （2）如果，求的面积； （3）求内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和及正弦的和角公式消角得，计算即可； （2）利用正弦定理先计算c，由正余弦定理得出关系式解方程得，再利用面积公式计算即可； （3）利用面积公式及三角形内切圆半径、周长及三角形面积的关系式得，结合余弦定理得，化简得，再利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得 又因为 所以，故， 由于，所以. 【小问2详解】 由已知， 由余弦定理可得① 又由可得② 由①②可解得， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以，即 由可知，即 从而 又因为，所以，因此 从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立 17. 已知是双曲线的一条渐近线，点在上. （1）求的方程. （2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 【答案】（1）. （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，解该方程组即可得解. （2）（i）设，联立得，则由韦达定理结合中点坐标公式可求出的中点坐标，接着由的中点在直线上即可求解得证. （ii）由（i）结合弦长公式以及点到直线距离公式依次求出和中点到直线的距离，再由即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以，故的斜率为定值. （ii）由（i）得的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． 【小问1详解】 取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为 ， 故平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 19. 在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 （1）从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； （2）已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. （3）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式可求概率； （2）设，，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，结合已知计算可求得结论； （3）由已知得，计算可得，再结合图表可求. 【小问1详解】 由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得； 【小问2详解】 分析r的向量意义，设，则， 分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为， 则， ，， ， 夹角余弦值最大值为； 【小问3详解】 都是的一个排列， 同理 . 结合图表 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 和林格尔第一中学2024—2025学年第二学期一模热身 数学 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知中，点，满足，，设，，则( ) A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若既是中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列命题中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 图象的对称中心为 D. 的单调递增区间为 10. 已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. 当奇数时， C. 当为偶数时， D. 数列的前项和等于 11. 某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（ ） A. 点在曲线内部 B. 曲线关于轴对称 C. 若点上，则 D. 直线被曲线截得的线段长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______. 13. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有__________种. 14. 已知数列满足，且对于任意，都存在，使得，则的所有可能取值构成的集合______；若的各项均不相等，把半径为（单位：）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 16. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为. （1）求角的值； （2）如果，求的面积； （3）求内切圆半径的最大值. 17. 已知是双曲线的一条渐近线，点在上. （1）求的方程. （2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 19. 在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 （1）从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； （2）已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. （3）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$