精品解析：黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二下学期开学初考试数学试题

哈师大青冈实验中学2024—2025学年度高二下学期开学初考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 数列 {an}是递减数列 C. 数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D. 满足的最大正整数n=22 10. 已知和，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆相交，有两个公共点 B. 两圆的公共弦所在直线方程为 C. 两圆公共弦长度 D. 经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知正项等比数列的前n项和为，若，则______． 13 已知函数，则______________________. 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面矩形，，是PD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角． 18. 已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求λ的最大值． 19. 已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； （3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈师大青冈实验中学2024—2025学年度高二下学期开学初考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 2. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 4. 已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦点，即可得出抛物线的焦点，从而得解. 【详解】因为抛物线的焦点在轴的正半轴， 所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合， 又椭圆方程为，所以，所以 所以椭圆的右焦点为，所以抛物线焦点也是这个， 即 故选：C 5. “”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行建立方程，根据充分、必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，可得，则，解得或， 当时，，则. 综上所述，“”可推出两直线平行，但由两直线平行推不出“", 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C． 7. 若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 若直线被圆截得的弦长为2， 则，整理得，即， 又，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：C. 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 数列 {an}是递减数列 C. 数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D. 满足的最大正整数n=22 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可判断，对于B由求出即可判断，对于C由即可求出最小值，即可判断，对于D由求出即可判断. 【详解】由有，当时，，所以，故A正确 当时，，所以，当，所以为递增数列，；故B错误； 由可知二次函数开口向上，当时，函数取最小值，由 因为，所以的最小值为，故C错误； 由有，所以最大正整数为，故D正确， 故选：AD. 10. 已知和，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆相交，有两个公共点 B. 两圆的公共弦所在直线方程为 C. 两圆公共弦长度为 D. 经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假. 【详解】因为：，所以，. ：，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以. 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，，由题 面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化；对于B选项，作出过的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；对于C选项，以为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面的法向量，代入线面角公式即可求范围；对于D选项，取中点为，连接，设外接圆圆心为，外接球球心，由正弦定理可求得，由题可证 四点共圆，得，再构造直角三角形用勾股定理，即可解，最后代入球表面积公式. 【详解】对于A选项，，因为，因此面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，即为定值，故A选项正确；对于B选项，四边形为过的平面截正方体所得截面， 因为平面平面，且面平面， 面面，又因为为中点，所以为四等分点， 则，故B选项错误；对于C选项，以为坐标原点，建立坐标系如图， 则，，，设，， 所以，，，设面的法向量为，则 ，令，解得，所以 当时，，当时，，当且仅当时等号成立，因此，故C选项正确； 对于D选项，取中点为，连接，设外接圆圆心为，外接球球心，连接，则， 在中设外接圆半径为，由正弦定理， 所以，由题知，故， 所以弦所对的圆周角相等，故四点共圆，故， 设外接球半径为，过作，交于，则中，， 即，中，， 即，联立解得，因此,故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】立体几何中截面问题与外接球问题一直都是难点，解决于截面有关的问题，关键是利用平行、垂直、平面基本定理找到正确的交点，从而得到正确的截面；解决外接球问题的突破点在于根据几何体的形状，正确的判断出球心的大概位置，然后构造两个直角三角形，利用勾股定理联立两方程，来解决有关问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知正项等比数列的前n项和为，若，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系求出公比即可. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得， 因此，，所以. 故答案为： 13. 已知函数，则______________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】， 故，故， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率. 【详解】 因为抛物线经过点，所以，所以， 圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入可得， 设、，则， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，即得 解得. 故答案为：或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，， 所以②， 由①②解得：，． 小问2详解】 由（1）知， 又因为，， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 16. 在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得通项公式，然后由题目条件结合等比数列知识可得通项公式； （2）由分组求和法可得答案. 【小问1详解】 易知 故求数列的通项公式分别为 . 【小问2详解】 由（1）知： 设数列的前项和为，数列的前项和为，则 则数列的前n项和 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面矩形，，是PD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得线线垂直，即可线线垂直求解，或者建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可求解； （2）求解平面法向量，利用法向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 方法一：因为平面，平面，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，M是PD的中点，所以． 因平面，所以平面． 法二：因为平面，且四边形为矩形，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为，，， 所以， 设平面的法向量为，且， 则，故，取，则， 因为，所以，所以，所以平面 【小问2详解】 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 由（1）知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角为． 18. 已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）λ的最大值为7 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式求得，从而求得数列的通项公式，由递推公式可得数列是等比数列，从而求出数的通项公式； （2）（ⅰ）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求出；（ⅱ）由，可得，构造数列，利用作差法判断数列的单调性，从而求得的最大值. 【小问1详解】 因为数列是公差为2的等差数列，且，所以， 所以，解得，所以， 因为，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以； （ⅱ）由，可得，令， 则， 所认单调递增，所以，所以λ的最大值为7． 19. 已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； （3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，进而可得； （2）设直线的方程为，则，联立椭圆可得，进而得，，由直线的方程为，得，进而可得； （3）设直线为，联立椭圆方程为，进而得，，进而得，再根据得，进而可得，故直线恒过，进而可得，换元后即得. 【小问1详解】 由，，,得，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 显然直线的的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 则点的坐标为，， 联立方程，消去整理， 则，且，， 又因为直线的方程为， 令，得Q的横坐标为 代入，，得 所以为定值. 【小问3详解】 依题意，，，设，，直线斜率， 若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意. 所以直线的斜率必不为0，设其方程为， 联立方程，消去得， 则，，， 因为是椭圆上一点，满足， 所以， 则，， 因为， 得， 得 得，得，此时 故直线恒过轴上一定点，，， 所以故， 得，令， 则， 故当，即时，取得最大值. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，注意到若斜率为0不合题意，可设为，联立椭圆方程为，进而得，，进而得，再根据得，进而可得，进而可确定恒过，故，进而换元后求最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$