专题08 正方形的重难点题型归纳（九大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题08 正方形的重难点题型归纳（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是 ． 5．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（  ） A． B．4 C． D． 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 9．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 10．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 11．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（    ） A．14 B．10 C．44 D．100 15．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 17．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是一个边长大于的正方形，以距离正方形的四个顶点处沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积为 ．    【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·河南周口·期末）正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 21．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 22．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 23．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【题型5 正方形的判定证明】 24．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 27．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 28．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 29．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 正方形的重难点题型归纳（九大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的性质和多边形的内角和公式可求出，．再根据正方形的性质可得出，，，从而可证为等腰三角形，再结合三角形内角和公式可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．掌握正多边形的性质和多边形的内角和公式为是解题关键． 4．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 5．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（  ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，作，由边长为3的正方形，等腰三角形，．F为的中点，得．，，得，H是的中点，得，，，即可得． 【详解】解：作交于I， 边长为3的正方形，等腰三角形，．F为的中点， ．，， ， ，， H是的中点， ， ，，， ． 故选：C 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 根据正方形的性质可得，进而运用勾股定理得到，再证明得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 故选D． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 9．（24-25九年级上·江西鹰潭·期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 10．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 11．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 12．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据菱形的性质证明，，，再根据含30度角的直角三角形的性质求得,，进而，在根据正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，又， ∴，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 则正方形的面积为24， 故选：C． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设与交于点，与交于点，证明，则面积面积，由此可得四边形面积面积，据此解答即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 四边形，是正方形， ，．，， ，， ． ． ， ． ， 正方形的面积为， ，即两个正方形重叠部分的面积是 故选：C． 14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（    ） A．14 B．10 C．44 D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选D． 15．（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，全等图形等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据阴影部分的面积个大正方形的面积个小正方形的面积求解即可． 【详解】解：由平移变换的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积个大正方形的面积个小正方形的面积． 故选：D． 16．（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，掌握和运用平行线的知识是解题的关键． 连接，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 17．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是一个边长大于的正方形，以距离正方形的四个顶点处沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的应用．延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点处的点，构造直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可． 【详解】如图，作平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点． ∴为直角边长为的等腰直角三角形．   ， ∴阴影正方形的边长， 则中间阴影部分的面积为； 故答案为：． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形、正方形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，，，再根据旋转、点的坐标规律分别求出点的坐标，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴旋转1次得到正方形，此时点位于轴的正半轴上，且，则， 旋转2次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于轴对称，则， 旋转3次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的负半轴，且，则， 旋转4次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于原点对称，则， 旋转5次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的负半轴上，且，则， 旋转6次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于轴对称，则， 旋转7次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的正半轴，且，则， 旋转8次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点重合，则， 归纳类推得：旋转过程中，点的坐标是以点的坐标为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为， 故选：D． 20．（24-25九年级上·河南周口·期末）正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，把握旋转的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，确定点在或延长线上，根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：当顺时针旋转时，如图 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴； 当逆时针旋转，如图： 同理可得此时点的对应点在延长线上， ∴， ∴， 综上所述，对应点的坐标是或， 故选：C． 21．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，四边形是正方形，，，再由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】过C作轴于E，轴于H，根据矩形的性质得到，，，求得，，得到，过D作于F，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过C作轴于E，轴于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过D作于F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、含30度直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；作轴于，作轴于，作于，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求解即可； 【详解】解：作轴于，作轴于，作于，如图， 与轴的夹角为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【题型5 正方形的判定证明】 24．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． (1)判定四边形的形状，并证明你的结论； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的判定，菱形的判定： （1）先根据，证明四边形是平行四边形．根据角平分线、平行线的性质得出，根据等角对等边得出，可证四边形是菱形． （2）有一个角是直角的菱形为正方形，由此可解． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明： ，， 四边形是平行四边形． 又平分， ． 又 ， ， ， ． 四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形． 理由：由（1）得四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形．理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 27．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【详解】（1）如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 28．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2；② 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）①根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；②由（1）知，四边形是正方形，得出．由（2）（ⅰ）知，，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：（ⅰ）平分， ． 在和中， ， ， ， ． （ⅱ）由（1）知，四边形是正方形， ． 由（2）（ⅰ）知，， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 连接，，，，根据正方形的性质得，再两点之间线段最短得当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是，利用勾股定理求出的长，即可求得的最小值． 【详解】解：连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴点D和点B关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是， ∵四边形是正方形，，点E为的中点， ∴，， ∴ 故选：D． 31．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接，，交半圆于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆于点， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得 ，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键． 35．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ ， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点E关于的对称点，连接，交于M，此时，最小值是的长，进而可求得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，交于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 37．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 38．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 39．（23-24八年级下·江西抚州·期中）在四边形中，平分，并且． (1)如图1，当时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的判断； (3)如图3，若，，，求的面积 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质证明三角形全等是解题的关键． （1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明； （2）过D作，，证即可得到结果； （3）过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】（1）在四边形中， ，， ， ,， 平分， ； 故答案为： （2）成立，理由是： 如图，过D作,交于E，，交延长线于F， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．      (1)求证：； (2)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可证明； （2）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于，过点作于，如图,    ∵四边形是正方形，，， ∴． ∴，． ∵即， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （2）解：能，理由如下： ①若点在线段上，如图，    ∵，∴． ∵，∴． 若为等腰三角形，则． ∴， ∴，与矛盾， ∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形． ②若点在线段的延长线上，如图．      若是等腰三角形， 此时， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，注意分类在解题中的应用． 41．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 42．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，   四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 43．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则，，再证明，则，由即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵作的平分线交于 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；（2），证明见解析；（3）的长度为或 【分析】（1）①先证明，可得，推出，再运用勾股 即可证得结论；②延长交于，由正方形的性质可得，，再利用可证得； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）①猜想：，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，根据勾股定理列方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$