专题07 菱形的重难点题型归纳（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题07 菱形的重难点题型归纳（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质等知识点，熟知菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角求出，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质可得，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求角度，根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，易得解． 【详解】解：根据菱形的对角相等得． ∵， ∴． 根据折叠得． ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24九年级上·江西·期末）如图，E是菱形的边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等边对等角得到，由菱形的性质推出，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即得． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：A． 9．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分． 【详解】解：如图． 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知菱形，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 先根据菱形的性质以及已知条件证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：3． 【题型3 利用等面积法求面积】 12．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，把握特殊四边形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，则由，求出，即可得到正方形的边长，继而即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴正方形的面积为9， 故答案为：9． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质；根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图所示， 解：∵在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键． 由菱形的，则在中根据勾股定理以及所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出的长，即可求出菱形的面积. 【详解】解：如图，连接与交于O，    ∵四边形为菱形 ∴，O为中点， ∵， ∴ 在中，， 设，根据勾股定理可得： 解得， ∴， ∴菱形的面积为 故答案为：． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，菱形的边长为，正方形的边长为，求菱形的面积． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，由正方形的性质可求的长，由勾股定理可求的值，可求的值，即可求菱形的面积． 【详解】解：如图， 正方形的边长为， ∴，，，， ， ∴， 四边形是菱形，边长为， ，，， ， ， 菱形的面积． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 17．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 18．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形的判定，根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题意； B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意； C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意. 故选D. 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（　　）． A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用． 【详解】 解：四边形是平行四边形， A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； C、当平分时，，在中，，可得，可得，则有，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； D、当时，是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 21．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对角分别相等，∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型5 菱形的判定-证明题】 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据，求得四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定、等腰三角形的判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，从而推出，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，，推出四边形平行四边形，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）过点K作于H，根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形， ∴，，，， ∴四边形平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点K作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 26．（14-15八年级下·辽宁营口·期末）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴，                                 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则． 在中，， ∴，                                  解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 27．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得 ，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得 ，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 28．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明为菱形； （2）先证明四边形是菱形，为等边三角形，则，再根据角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．（2018·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作于，交于，连接、，首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作于，交于，连接、． ∵已知菱形的周长为16，面积为， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴与重合， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴、关于对称， ∴当与重合时，的值最小，最小值为， 故选：B． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H，    ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，如图所示，取中点E，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则当三点共线，且时最小，即此时最小，由垂线段最短可知最小值即为线段的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点，    ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定与性质，根据运动状态画出图形，再结合特殊四边形的判定方法可得答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵为菱形的对称中心， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴四边形为平行四边形； 如图，当时， ∴平行四边形为矩形； 如图，    点继续运动， 同理可得：四边形为平行四边形； 如图，当重合，重合，    ∴四边形为菱形； 故选B． 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AO=CO，BC//AD， ∵， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°， ∴BO=AB=3， ∴CO=AO=， 设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得 ， 解得x=， 经检验x=符合题意． ①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3÷=3秒； ②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH． 在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°， ∴PH=t， ∴AH=t， ∴OH=3-t， ∵QH=（t-3）， ∴（t-3）=3-t， 解得t=， 综上所述，当t=3秒或秒时，OP=PQ． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 【答案】A 【分析】用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值． 【详解】∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30° ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， ∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由(1)得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即120−4t=2t， 解得：t=20， 即当t=20时，四边形AEFD是菱形； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 菱形的重难点题型归纳（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（    ）      A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江西·期末）如图，E是菱形的边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知菱形，，，则的长为 ． 【题型3 利用等面积法求面积】 12．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为 ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，菱形的边长为，正方形的边长为，求菱形的面积． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 17．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（　　）． A． B． C．平分 D． 21．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对角分别相等，然后小亮测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【题型5 菱形的判定-证明题】 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 24．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个全等的矩形和矩形交叉重叠，重叠部分为四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 26．（14-15八年级下·辽宁营口·期末）在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 27．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 28．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，交于点，若，，求的长． 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．（2018·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$