7.3 解一元一次不等式-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

7.3 解一元一次不等式 课程标准 学习目标 ①解一元一次不等式 ②一元一次不等式的应用 1. 掌握一元一次不等式的解法； 2. 掌握一元一次不等式的应用题的各种类型． 知识点01 解一元一次不等式 一元一次不等式的解法的步骤： 一、去分母 不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，从而去掉分母。 二、去括号 不等式两边同时乘括号前的数，如果括号前是负号，则括号里的每一项都要变号。 三、移项 将不等式两边的同类项进行合并，即将未知数项移到不等式的一边，常数项移到另一边。 四、合并同类项 将不等式两边的同类项合并，即将未知数项和常数项分别合并。 五、系数化为1 如果未知数的系数不为1，则需要将系数化为1。如果系数为负数，则不等号的方向要改变。 知识点02 一元一次不等式的应用 一元一次不等式的应用类型 一、分配不足或过剩问题 这类问题通常涉及到资源的分配，如人数、物品等的分配，需要根据给定的条件列出不等式。例如，若每组人数比预定人数多，则总人数会超过某个值；若每组人数比预定人数少，则总人数会少于某个值。通过列出并解不等式，可以找出预定的每组人数。 二、方案选择问题 在给定条件下，需要选择最优方案，这类问题也常用到一元一次不等式。例如，购买不同种类的物品，在总价或总数量等条件的限制下，需要找出满足条件的购买方案。通过设立未知数，根据条件列出不等式，解不等式后可以得到可行的购买方案范围，进而选择最优方案。 三、费用优化问题 这类问题通常涉及到如何在给定的费用限制下达到某种效果，或者如何最小化/最大化费用。例如，在给定的总费用下，如何购买一定数量的物品，使得总费用不超过限制且满足需求。通过设立未知数表示购买的物品数量，根据费用等条件列出不等式，解不等式后可以找到满足条件的购买方案，进而确定最优的费用组合。 四、利润问题 在销售、生产等场景中，经常需要考虑利润最大化或成本最小化的问题。这类问题也可以通过一元一次不等式来解决。例如，设定售价、销量等未知数，根据利润公式和给定条件列出不等式，解不等式后可以找到使得利润最大化的售价或销量等参数。 五、调配问题 调配问题通常涉及到不同资源的调配和平衡，如人员调配、物资调配等。这类问题也可以通过设立未知数，根据调配的条件和限制列出不等式组，通过解不等式组来找到满足条件的调配方案。 题型01 一元一次不等式的定义 【典例1】下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【变式2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式3】若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式4】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型02 列一元一次不等式 【典例1】用不等式表示“a大于b”，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为 ． 【变式3】用适当的不等式表示下列数量关系： （1）与的和大于： ； （2）的倍与的差是负数： ； （3）的与的和是非负数： ； （4）的倍与的差不大于： ． 【变式4】用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 题型03 解一元一次不等式——移项和合并同类项 【典例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集是 ． 【变式3】不等式的解集为 ． 【变式4】解不等式： 题型04 解一元一次不等式——系数化1 【典例1】下列各数中为不等式的解是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解是 ． 【变式3】不等式的解集是 ． 【变式4】解不等式，并在数轴上表示解集． 题型05 解一元一次不等式——去括号 【典例1】将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【变式3】关于x的一元一次不等式的解集为 ． 【变式4】解下列不等式： (1)； (2)． 题型06 解一元一次不等式——去分母 【典例1】若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若2与的和不大于3与的差，则x的取值范围是（　） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【变式3】不等式的解集是 ． 【变式4】下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 题型07 代数式和差构成一元一次不等式 【典例1】代数式的值不小于的值，则应满足（    ） A． B． C． D． 【变式1】能使代数式的值不小于代数式的值，x可以是（    ） A． B．4 C． D．2 【变式2】代数式的值不小于，则x的取值范围是 ． 【变式3】代数式与的和大于9，则的取值范围是 ． 【变式4】已知代数式的值不大于2，求x的取值范围． 题型08 一元一次不等式的应用——工程问题 【典例1】某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2 天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（    ） A．0.6 km B．0.8 km C．0.9 km D．1 km 【变式1】某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车x辆，则列出的不等式为(   ) A．15x>20(x+6) B．15(x+6)>20x C．15x>20(x-6) D．15(x-6)>20x 【变式2】去年某市空气质量良好的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要不低于80%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 天． 【变式3】在“村村通柏油路”建设中，甲工程队每天筑路200米，乙工程队每天筑路150米，两队共参加了10天建设，铺设路面不少于1850米，则甲队至少参加了 天建设 【变式4】某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 题型09 一元一次不等式的应用——扣分问题 【典例1】在“科学与艺术”知识竞赛中，有20道选择题，评分标准为：对1题得5分，错1题扣2分，不答不给分也不扣分，小明有2道题未答，问小明至少答对几道题，总分才不会低于60分（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 【变式3】随着第24届冬季奥林匹克运动会在北京召开，全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，一共有20道题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．在这次竞答中，敏敏有2道题未答，她要被评为优秀（总分80分或80分以上）至少要答对 道题． 【变式4】一次智力测验，有道选择题评分标准为：答对题给分．错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才会不低于分？ 题型10 一元一次不等式的应用——导火线燃烧速度问题 【典例1】燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．设导火线的长度为厘米，问导火线必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，导火线的长度应满足的不等关系为 ． 【变式3】在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，操作人员跑步的速度是，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 ． 【变式4】（情境应用）请根据题意列不等式： (1)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为．设导火线的长为； (2)一艘轮船从某江上游的地匀速航行到下游的地用了，从地匀速航行返回地用了不到，这段江水的流速为．设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变． 1．下列不等式的解集中，不包括这个解的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．如图，该数轴表示的不等式的解集为 ． 5．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米． 6．某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 7．在数轴上表示下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 8．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 9．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 10．购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示： 款式 能效等级 平均每年耗电量 售价/元 A款 1级 200 2236 B款 3级 280 1900 若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元电费计算，请帮小明回答下列问题： (1)若选A款冰箱，每年花费的电费是________元． (2)若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 解一元一次不等式 课程标准 学习目标 ①解一元一次不等式 ②一元一次不等式的应用 1. 掌握一元一次不等式的解法； 2. 掌握一元一次不等式的应用题的各种类型． 知识点01 解一元一次不等式 一元一次不等式的解法的步骤： 一、去分母 不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，从而去掉分母。 二、去括号 不等式两边同时乘括号前的数，如果括号前是负号，则括号里的每一项都要变号。 三、移项 将不等式两边的同类项进行合并，即将未知数项移到不等式的一边，常数项移到另一边。 四、合并同类项 将不等式两边的同类项合并，即将未知数项和常数项分别合并。 五、系数化为1 如果未知数的系数不为1，则需要将系数化为1。如果系数为负数，则不等号的方向要改变。 知识点02 一元一次不等式的应用 一元一次不等式的应用类型 一、分配不足或过剩问题 这类问题通常涉及到资源的分配，如人数、物品等的分配，需要根据给定的条件列出不等式。例如，若每组人数比预定人数多，则总人数会超过某个值；若每组人数比预定人数少，则总人数会少于某个值。通过列出并解不等式，可以找出预定的每组人数。 二、方案选择问题 在给定条件下，需要选择最优方案，这类问题也常用到一元一次不等式。例如，购买不同种类的物品，在总价或总数量等条件的限制下，需要找出满足条件的购买方案。通过设立未知数，根据条件列出不等式，解不等式后可以得到可行的购买方案范围，进而选择最优方案。 三、费用优化问题 这类问题通常涉及到如何在给定的费用限制下达到某种效果，或者如何最小化/最大化费用。例如，在给定的总费用下，如何购买一定数量的物品，使得总费用不超过限制且满足需求。通过设立未知数表示购买的物品数量，根据费用等条件列出不等式，解不等式后可以找到满足条件的购买方案，进而确定最优的费用组合。 四、利润问题 在销售、生产等场景中，经常需要考虑利润最大化或成本最小化的问题。这类问题也可以通过一元一次不等式来解决。例如，设定售价、销量等未知数，根据利润公式和给定条件列出不等式，解不等式后可以找到使得利润最大化的售价或销量等参数。 五、调配问题 调配问题通常涉及到不同资源的调配和平衡，如人员调配、物资调配等。这类问题也可以通过设立未知数，根据调配的条件和限制列出不等式组，通过解不等式组来找到满足条件的调配方案。 题型01 一元一次不等式的定义 【典例1】下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义．用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式． 【详解】解：①，含有两个未知数，不是一元一次不等式， ②，是一元一次不等式， ③，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式， ④，不含未知数，不是一元一次不等式， ⑤，是一元一次不等式， 则②⑤是一元一次不等式， 故选：B 【变式1】已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 【变式2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 【变式3】若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 【变式4】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【分析】根据不等式的定义即可依次判断． 【详解】解：（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式． 故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【点睛】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点． 题型02 列一元一次不等式 【典例1】用不等式表示“a大于b”，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据“a大于b”，即可得出． 【详解】解：根据题意得，， 故选：B． 【变式1】小明拿40元购买雪糕和矿泉水．已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕3元，他买了5瓶矿泉水，支雪糕．下面关于的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据雪糕的费用和矿泉水的费用之和不超过40元列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 【变式2】根据“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为， 故答案为：． 【变式3】用适当的不等式表示下列数量关系： （1）与的和大于： ； （2）的倍与的差是负数： ； （3）的与的和是非负数： ； （4）的倍与的差不大于： ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式； （1）根据与的和得出，再根据与的和大于得出； （2）先表示出的倍为，再表示出与的差为﹣，再根据关键词“是负数”，列出不等式即可； （3）先表示出的是，与的和为，是非负数得出； （4）先表示出的倍是，再表示出与的差，然后根据不大于即为小于等于，列出不等式即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：． （2）由题意得：； 故答案为：． （3）根据题意得：； 故答案为：． （4）根据题意得：． 故答案为：． 【变式4】用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【答案】(1)x－3＞10； (2)3x-5＜0； (3)x+1≥0 ； (4)3y-(-9)≤-1． 【分析】本题主要考查了列不等式．解决本题的关键是读懂题目中各量之间的关系列出代数式，再根据题目中所列代数式表示的数的特征得出不等式． 【详解】（1）解：根据减去大于，可得：； （2）解：根据的倍与的差是负数，可得：； （3）解：根据的与的和是非负数，； （4）解：根据的倍与的差不大于，可得：． 题型03 解一元一次不等式——移项和合并同类项 【典例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．根据解一元一次不等式的方法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 故选：A． 【变式1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．根据不等式的性质求出的范围即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式2】不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟悉解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得： 合并同类项得． 即不等式的解集为：． 故答案为：． 【变式3】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据解不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式4】解不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项、再系数化为1即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 题型04 解一元一次不等式——系数化1 【典例1】下列各数中为不等式的解是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】主要考查解一元一次不等式的方法，根据不等式的性质解一元一次不等式，将不等式的解集与选项比较，即可求解． 【详解】解： ∵，其它选项均大于， 故选：A． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是直接利用解一元一次不等式的基本步骤：移项；合并同类项；化系数为1，求出答案． 【详解】解：， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．将不等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解：， ， 即不等式的解是， 故答案为：． 【变式3】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质，解不等式的方法即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质“不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”． 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， 故答案为： ． 【变式4】解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集． 【详解】解：， ， ， ． 解集在数轴上表示如图所示：      【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题关键是牢记不等式的性质，并会在数轴上表示解集． 题型05 解一元一次不等式——去括号 【典例1】将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可以求得不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 解集表示在数轴上如下所示： 故选：． 【变式1】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 ． 故答案为：． 【变式3】关于x的一元一次不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解得：． 故答案为：． 【变式4】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型06 解一元一次不等式——去分母 【典例1】若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 【变式1】若2与的和不大于3与的差，则x的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，掌握一元一次不等式解法的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：C． 【变式2】不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式3】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为：． 【变式4】下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______； （2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集． 任务二： 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可； 任务二：根据不等式的解法作答即可． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （2）去分母，得…第一步 去括号，得……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 在数轴上表示如图所示： 任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一） 题型07 代数式和差构成一元一次不等式 【典例1】代数式的值不小于的值，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是列一元一次不等式和解不等式，属于基础题型．根据题意列出不等式是解决这个问题的关键． 首先根据题意列出不等式，根据解不等式的方法得出答案． 【详解】根据题意可得：， ， ， 解得：， 故选B． 【变式1】能使代数式的值不小于代数式的值，x可以是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，解题的关键是能根据题意得出一元一次不等式．根据题意得出不等式，求出不等式的解集再判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得． ∴C符合题意 故选C． 【变式2】代数式的值不小于，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】代数式与的和大于9，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式．解题的关键是正确的列出不等式． 【变式4】已知代数式的值不大于2，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得． 故的取值范围为． 题型08 一元一次不等式的应用——工程问题 【典例1】某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2 天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（    ） A．0.6 km B．0.8 km C．0.9 km D．1 km 【答案】B 【分析】设以后几天内平均每天要修路xkm，根据题意可以列出不等式，1.2+（10-2-2）x≥6，解不等式即可． 【详解】解：设以后几天内平均每天要修路xkm， 1.2+（10-2-2）x≥6 解得，x≥0.8 即以后几天内平均每天至少要修路0.8km. 故选B. 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用—工程问题，解题的关键是明确工程问题的数量关系“工作量=工作效率×工作时间”，根据等量关系列出不等式． 【变式1】某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车x辆，则列出的不等式为(   ) A．15x>20(x+6) B．15(x+6)>20x C．15x>20(x-6) D．15(x-6)>20x 【答案】B 【分析】首先根据题意可得改进生产工艺后，每天生产汽车（x+6）辆，根据关键描述语：现在15天的产量就超过了原来20天的产量列出不等式即可． 【详解】设原来每天最多能生产x辆， 由题意得：15（x+6）＞20x， 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住关键描述语． 【变式2】去年某市空气质量良好的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要不低于80%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 天． 【答案】73 【分析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%且明年（365天）这样的比值要不低于80%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天， 依题意，得：365×60%+x≥365×80%， 解得：x≥73． ∵x为整数， ∴x的最小值为73． 故答案为：73． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．注意：不低于即是大于或等于． 【变式3】在“村村通柏油路”建设中，甲工程队每天筑路200米，乙工程队每天筑路150米，两队共参加了10天建设，铺设路面不少于1850米，则甲队至少参加了 天建设 【答案】7 【分析】设甲队参加了x天，则乙队参加了（10-x）天，根据铺设路面不少于1850米列出不等式进行求解即可得. 【详解】设甲队参加了x天，则乙队参加了（10-x）天，由题意得 200x+150(10-x)≥1850， 解得：x≥7， 即甲队至少参加了7天， 故答案为7. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意找准不等关系列出不等式是解题的关键. 【变式4】某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 题型09 一元一次不等式的应用——扣分问题 【典例1】在“科学与艺术”知识竞赛中，有20道选择题，评分标准为：对1题得5分，错1题扣2分，不答不给分也不扣分，小明有2道题未答，问小明至少答对几道题，总分才不会低于60分（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明答对道题，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设小明答对道题，根据题意，得： ， 解得：， ∴的最小整数为：14； 故选C． 【变式1】一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．李明有2道题未答，若他的总分不低于60分，则他至少要答对______道题（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设李明答对x道题，则答错道题，根据总分不低于60分列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：设李明答对x道题， 根据题意可得：， 解得， 因为x是整数，所以x所取最小值为14， 即他至少要答对14道题， 故选B． 【变式2】八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 【变式3】随着第24届冬季奥林匹克运动会在北京召开，全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，一共有20道题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．在这次竞答中，敏敏有2道题未答，她要被评为优秀（总分80分或80分以上）至少要答对 道题． 【答案】17 【分析】设敏敏答对了道题，根据分数大于或等于80分建立不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设敏敏答对了道题， 得敏敏答错的题为， ∵， ∴， 解不等式得 ∵为整数， ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查一元一次不等式的相关知识，解题的关键是根据题意建立不等式． 【变式4】一次智力测验，有道选择题评分标准为：答对题给分．错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才会不低于分？ 【答案】他至少要答对17题，总分才会不低于分 【分析】设小明至少答对的题数是x道，答错的为(20-2-x)道，根据总分才不会低于80分，这个不等量关系可列出不等式求解． 【详解】解：设小明至少答对的题数是x道， 5x-2(20-2-x)≥80， x≥16， ∵x为整数， ∴x=17， 答：他至少要答对17题，总分才会不低于分． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是以得分做为不等量关系列不等式求解． 题型10 一元一次不等式的应用——导火线燃烧速度问题 【典例1】燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题目要求列出不等式即可． 【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域， ∴，即， 故选A． 【变式1】某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．设导火线的长度为厘米，问导火线必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式.根据题意可知：操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域，列出不等式即可． 【详解】解：设导火线的长度为厘米， 根据题意得，， 故选：B． 【变式2】燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，导火线的长度应满足的不等关系为 ． 【答案】． 【分析】根据利用人行走所用时间，应小于导火索燃烧所用时间，列出不等式即可． 【详解】解：导火线的长度应满足的不等关系为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，解题的关键是找出题目中的不等关系． 【变式3】在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，操作人员跑步的速度是，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 ． 【答案】 【分析】根据炸药爆炸前跑到以外为安全区域，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设导火线的长度为， 由题意可得，， 解得， 导火线的长度要超过， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式． 【变式4】（情境应用）请根据题意列不等式： (1)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为．设导火线的长为； (2)一艘轮船从某江上游的地匀速航行到下游的地用了，从地匀速航行返回地用了不到，这段江水的流速为．设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． （1）根据题意，则导火线燃烧的时间为，根据路程等于速度乘以时间，列出一元一次不等式，即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，两地的距离，列出一元一次不等式，即可． 【详解】（1）解：由题意可得，设导火线的长为， ∴导火线燃烧的时间为， ∴不等式为：． （2）解：设轮船在静水里的往返速度为 ∴轮船从地到地的速度为，从地到地的速度为 ∵从地匀速航行返回地用了不到， ∴不等式为：． 1．下列不等式的解集中，不包括这个解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、包括这个解，故该选项不符合题意； B、包括这个解，故该选项不符合题意； C、不包括这个解，故该选项符合题意； D、包括这个解，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于明确：定大小，定空实，定方向．根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴1处为空心，且折线向左， 故选：C． 3．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 4．如图，该数轴表示的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴得表示方法． 根据不等式的解集在数轴上表示方法求解即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：向右画；向左画，在表示解集时要用实心圆点表示；要用空心圆点表示． 【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是， 故答案为：． 5．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米． 【答案】72 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建x米，根据“14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建x米，根据题意得 ， 解得． 即乙工程队平均每天至少要修建72米． 故答案为：72 ． 6．某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支，利用总价=单价×数量，结合总价大于26元但小于27元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出签字笔购买了9支． 【详解】解：设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支．根据题意，得 解得． 为正整数， ． 签字笔购买了9支． 故答案为：9． 7．在数轴上表示下列不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴上表示见解析 (2)，数轴上表示见解析 (3)，数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解不等式，以及在数轴上表示解集， （1）将解集在数轴上表示出来即可； （2）先解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可； （3）先解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：的解集在数轴上表示如下图： （2）解：的解集为，在数轴上表示如下图： （3）解：的解集为，在数轴上表示如下图： 8．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3)，数轴表示见解析 【详解】（1）去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）移项，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （3）去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 9．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元； (2)人物传记至多买33本． 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． （2）解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 10．购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格和耗电情况，通过对市场的了解，相同容量的冰箱单位时间内1级耗电量最低，但购买价格相对较贵．小明准备从当年生产的相同容量的A款与B款冰箱中选购一台，其中两款冰箱的部分基本信息如下表所示： 款式 能效等级 平均每年耗电量 售价/元 A款 1级 200 2236 B款 3级 280 1900 若冰箱投入使用后一直开着，并按0.6元电费计算，请帮小明回答下列问题： (1)若选A款冰箱，每年花费的电费是________元． (2)若冰箱使用t年，则A，B两款冰箱的综合费用分别是多少？（用含t的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你分析小明购买哪款冰箱比较合适？ 【答案】(1)120 (2)款冰箱的综合费用是元，款冰箱的综合费用是元； (3)当时，选、两款冰箱的综合费用相等；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适；当时，选款冰箱的综合费用少，比较合适 【分析】本题主要考查列代数式、一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式、方程或不等式． （1）每年耗电量乘以电费单价即可； （2）冰箱售价年的电费，据此列式即可； （3）将（2）中所列代数式比较大小即可． 【详解】（1）解：若选款冰箱，每年花费的电费是（元， 故答案为：120； （2）解：款冰箱的综合费用是元， 款冰箱的综合费用是元； （3）解：当，即时，选、两款冰箱的综合费用相等； 当，即时，选款冰箱的综合费用少，比较合适； 当，即时，选款冰箱的综合费用少，比较合适． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$