第18章 平行四边形 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第18章 平行四边形 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．在中，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 2．如图，在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 4．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 5．如图，已知平行四边形，．用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 7．如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 8．在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．如图，在中，，则 ．    12．如图，的对角线交于点O，，，，则的周长为 ．    13．如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是 ．    14．如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．    15．在平面直角坐标系中，已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为 ． 16．在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，将直线向下平移后，恰好将平行四边形的面积平分，则平移后的直线解析式为 ． 17．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点、．若，则的值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 20．已知在中，，点D在上，以为腰作等腰三角形，且．连接，过E作交延长线于M，连接． (1)求证：； (2)求四边形的形状，并加以证明． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的． (2)画出绕原点顺时针旋转度的． (3)请直接写出：以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标． 22．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 23．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在点C上方的反比例函数 的图象上，的面积为9，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在反比例函数 的图象上，若以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 24．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 25．如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．在中，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 根据平行四边形的对边相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 故选：C． 2．如图，在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练地掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 3．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 【详解】解：∵平行四边形的性质为对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形， ∴不具备对角线相等， 故选C 4．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定，那么平行四边形的大小就确定． 确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】只有②③两块角的两边相互平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， 带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选C． 5．如图，已知平行四边形，．用尺规作图的方法在上取一点P，使得，则下列做法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，作图-线段垂直平分线等知识， 证明，则可知点P在线段的垂直平分线上，由此求解即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴只有选项D中的作图方法符合题意． 故答案为：D． 6．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等积法，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解 【详解】解：在平行四边形中，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故选D． 7．如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C． 8．在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形三边的关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．根据平行四边形的性质，可求得与的长，然后由三角形三边关系可求得x的取值范围． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ∴边的长度x的取值范围是：，即， 故选：． 9．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，证明得，，从而，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分交于点，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 10．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理：， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．如图，在中，，则 ．    【答案】/55度 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据补角定义即可得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，    故答案是： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握“平行四边形的对角相等”． 12．如图，的对角线交于点O，，，，则的周长为 ．    【答案】19 【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ∴，， 而， ∴的周长， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 13．如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，根据平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义得，从而有，再根据等角对等边的性质可得，根据线段和差，再求出的周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14．如图平行四边形中，线段长，这个平行四边形的面积是 ．    【答案】540 【分析】根据平行四边形的面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解：． 故答案为：540． 【点睛】此题考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质．根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移3个单位得到，即可求解． 【详解】解：点，，，是平行四边形， ，， 将点向右平移3个单位得到， 如图所示， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，将直线向下平移后，恰好将平行四边形的面积平分，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过平行四边形的中心是解题的关键． 设直线向下平移后的表达式为．利用中点坐标公式求出平行四边形中心的坐标为，根据平行四边形的性质结合题意得到必过平行四边形的中心，代入求解即可． 【详解】解：设直线向下平移后的表达式为 ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形中心的坐标为 ∵平分平行四边形的面积， ∴必过平行四边形的中心， ∴将代入得，， 解得：， ∴． 故答案为：． 17．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短，设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点、．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，则，由题意知，，则．即，由反比例函数的图象经过点、，可得，可求，进而可求． 【详解】解：设，则， 由题意知，， ，则， ∵反比例函数的图象经过点、， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对应边平行且相等得到 且即可得到证明． 【详解】证明：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 20．已知在中，，点D在上，以为腰作等腰三角形，且．连接，过E作交延长线于M，连接． (1)求证：； (2)求四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的形状是平行四边形，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的判定．掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由等边对等角可知，即得出．由题意可得，，即得出．由，可证明，从而可证明，即易证≌； （2）先证明，再根据两直线平行，内错角相等即可证明，即得出，从而可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ∵以为腰作等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在在中， ， ； （2）解：四边形的形状是平行四边形， 证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的． (2)画出绕原点顺时针旋转度的． (3)请直接写出：以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、作旋转图形、平行四边形的性质． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点的位置，再顺次连接，再写出点运动的路径长即可． （3）根据平行四边形的性质，结合坐标系，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标为：或或 22．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 【详解】（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 23．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在点C上方的反比例函数 的图象上，的面积为9，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在x轴上，点N在反比例函数 的图象上，若以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）把代入得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）求出，求出，过点作轴于点，轴于点，设，则，，根据三角形的面积公式列方程即可； （3）设，分三种情况，根据点坐标公式得到方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入，得到， 解得：， ， 在反比例函数解析式上， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：由得， 当时，， ， ， ， 过点作轴于点，轴于点， 设，则，， 的面积为， ， 解得：， ； （3）解：点在轴上，点在反比例函数的图像上， 设， 以点M，N，B，D为顶点的四边形是平行四边形，，， 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 综上所述，点的坐标为或或． 24．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 25．如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定； （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意，当，分别列出代数式，即可求解； （3）当点P从D向A运动时，得出，又，则四边形是平行四边形， （4）分两种情况讨论，当点从向运动时，则四边形是平行四边形，当点P从D向A运动时，当为平行四边形时，分别讨论，即可求解． 【详解】（1）在中， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度 ∴运动时间为秒， ∵，， 当时， 当时， ∴ （3）当点P从D向A运动时， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， （4）解：当点从向运动时， ∵ 又∵又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴经过的中点， 当点P从D向A运动时， 当为平行四边形时，如图所示， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，经过四边形其中一条对角线的中点 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$