5.2.1基本初等函数的导数-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

5.2.1 基本初等函数的导数 第1页 1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 学习目标 第1页 同学们，前面我们已经学习了如何求简单函数的导函数。那么，当我们回顾之前学过的幂函数、指数函数、对数函数和三角函数这四类基本初等函数时，不禁会问：它们的导函数是否存在呢？今天，我们来一起探索这个问题。 导 语 第1页 课内导航 基本初等函数的求导公式 利用导数研究曲线的切线方程 1 2 利用导数研究不等式 3 书读百遍 其义自现 4 第1页 一 基本初等函数的求导公式 第1页 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 问题1 提示　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数. 第页 第1页 如何求常函数y=f(x)=c的导数？ 问题2 提示　因为===0， 所以f'(x)== 0=0，即(c)'=0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)=x⇒f'(x)=1=1x1-1； f(x)=x2⇒f'(x)=2x=2x2-1； 第页 第1页 f(x)=x3⇒f'(x)=3x2=3x3-1； f(x)==x-1⇒f'(x)=-x-2=-x-1-1； f(x)== ⇒f'(x)==.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)'=αxα-1. 第页 第1页 基本初等函数的导数公式 0 cos x -sin x axln a 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=___ f(x)=xα，(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=_____ f(x)=cos x f'(x)=_____ f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=_____ 第页 第1页 9 ex 原函数 导函数 f(x)=ex f'(x)=____ f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 注意：对于根式f(x)=，要先转化为f(x)=，所以f'(x)=. 第页 第1页 10 题型一　简单函数的求导 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 二 利用导数研究曲线的切线方程 第1页 题型二　利用导数研究曲线的切线问题 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 (e，1) 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 利用导数研究不等式 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 0 cos x －sin x axln a ex 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x12； 【思路分析】　对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)＝xeq \f(3,5)等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误． 【解析】　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (4)y＝log2x； 【解析】　(4)y′＝(log2x)′＝eq \f(1,xln 2). (2)y＝eq \f(1,\r(x))； 【解析】　(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝(xeq \s\up12(－\f(1,2)))′＝－eq \f(1,2)xeq \s\up12(－\f(3,2)). (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)； 【解析】　(3)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up22(x)·ln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up22(x)·ln 3. (5)y＝2sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2). 【解析】　(5)∵y＝sin x，∴y′＝cos x. 【讲评】　准确的运算是体现数学能力的重要标志，也是得分的保证，要从思想上提高认识，要养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，步子不要太大！ 利用导数公式求函数的导数的解题策略： (1)若所给函数符合导数公式，则直接利用公式求导． (2)合理转化函数关系式后直接应用公式求导，如本例(2)． (3)先化简函数解析式，再选择公式求导，如本例(5)． (3)y＝log5x； 【解析】　(3)y′＝(log5x)′＝eq \f(1,xln 5). 思考题1　求下列函数的导数： (1)y＝－3； 【解析】　(1)y′＝(－3)′＝0. (2)y＝2x； 【解析】　(2)y′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))； (5)y＝eq \f(1,x4). 【解析】　(4)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))) eq \s\up12(′)＝(sin x)′＝cos x. 【解析】　(5)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5. 例2　(1)曲线y＝cos x在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线方程为_________________． y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(\r(3)π,6)＋eq \f(1,2) 【解析】　∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴点P处的切线的斜率k＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)， ∴切线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(\r(3)π,6)＋eq \f(1,2). (2)已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离． 【解析】　由图形的直观性可知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，抛物线在点P处的切线与直线l是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率为－1. 设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0＝－1，∴x0＝－eq \f(1,2)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))). 由点到直线的距离公式知点P到l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2)),\r(2))＝eq \f(7,8) eq \r(2). 利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路： (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． 思考题2　(1)曲线y＝ln x在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点为________． 【解析】　y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，设切点为P(x0，y0)， 则切线的斜率为eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，∴x0＝e. ∴y0＝ln x0＝ln e＝1.∴切点为(e，1)． (2)已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP面积最大． 【思路分析】　依题意可知，|AB|为定值，只要点P到AB的距离最大，S△ABP就最大，问题转化为在抛物线的弧AOB上求一点P到直线AB的距离最大，由导数的几何意义知，P为抛物线上与直线AB平行的切线的切点，求出点P的坐标即可． 【解析】　由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP面积最大，只要点P到直线AB的距离最大， ∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点． 设P(x0，y0)，易知点P在x轴下方的抛物线上， ∴y＝－2eq \r(x)，∴y′＝－eq \f(1,\r(x)). ∵kAB＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(1,\r(x0))＝eq \f(1,2)，x0＝4. 由y＝－2eq \r(x)，得y0＝－4，∴P(4，－4)． 　利用曲线的切线研究不等式 例　求下列曲线的切线，画出曲线和切线的图象，并研究曲线与切线的关系． (1)曲线y＝ex在(0，1)处的切线方程； 【解析】　(1)由y＝ex得y′|x＝0＝e0＝1， ∴在(0，1)处的切线方程为y－1＝x－0，即y＝x＋1. 如图，由曲线与切线的关系知ex≥x＋1，当x＝0时等号成立． (2)曲线y＝ln x在(1，0)处的切线方程． 【解析】　(2)由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x)，eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(y′))x＝1＝1， ∴在(1，0)处的切线方程为y－0＝x－1，即y＝x－1. 如图，由曲线与切线的关系知ln x≤x－1，当x＝1时等号成立． 思考题　求下列曲线的切线，画出曲线和切线的图象，并研究曲线与切线的关系． (1)曲线y＝ex过原点的切线方程． 【解析】　(1)设过(0，0)与y＝ex相切的切点为(x0，ex0)，则y′|x＝x0＝ex0. 所以切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，因为切线过(0，0)，代入切线方程得x0＝1.所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex. 如图，由曲线与切线的关系知ex≥ex，当x＝1时等号成立． (2)曲线y＝ln x过原点的切线方程． 【解析】　 (2) 设过(0，0)与y＝ln x相切的切点为(x0，ln x0)，则eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(y′))x＝x0＝eq \f(1,x0).所以切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，因为切线过(0，0)，代入切线方程得x0＝e.所以切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即y＝eq \f(1,e)x. 如图，由曲线与切线的关系知ln x≤eq \f(1,e)x，当x＝e时等号成立． 要点　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝_______ f(x)＝cos x f′(x)＝__________ f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 1．若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex，这种说法正确吗？ 答：不正确．由导数定义知若f(x)－g(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝g′(x)，故f(x)＝ex＋c(c为常数)． 2．函数y＝ex的导数与函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数有何关系？ 答：因为(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a，所以当a＝e时，(ex)′＝(ax)′. 1．下列各式中正确的个数是(　　) ①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′＝eq \f(2,5)xeq \s\up22(－\f(3,5))；④(cos 2)′＝－sin 2. A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 2．若直线y＝x＋a和曲线y＝ln x＋2相切，则实数a的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．1 D.eq \f(3,2) 解析　因为y＝ln x＋2，所以y′＝eq \f(1,x)，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以y′＝eq \f(1,x0)＝1，∴x0＝1.所以ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选C. 3．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析　f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以fn(x)＝fn＋4(x)(n∈N)．故f2 020(x)＝f0(x)＝sin x. 4．曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于________． eq \f(1,2ln 2) 解析　∵y′＝eq \f(1,xln 2)，∴在点(1，0)处切线的斜率为y′|x＝1＝eq \f(1,ln 2). ∴切线方程为y＝eq \f(1,ln 2)(x－1)． 令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－eq \f(1,ln 2)， ∴三角形面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(1,ln 2)＝eq \f(1,2ln 2). 5．已知函数f(x)＝x3＋a，点A(0，0)在曲线y＝f(x)上． (1)求函数y＝f(x)的解析式； 解析　(1)当x＝0时，f(0)＝a＝0， 所以f(x)＝x3. (2)求曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线方程； 解析　(2)由(1)可知f′(x)＝3x2， 则点(－1，－1)处的切线的斜率为k＝f′(－1)＝3， 所以切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. (3)求曲线y＝f(x)过点E(2，0)的切线方程． 解析　(3)设切点坐标为(x0，x03)，切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x02， 所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)， 将点E(2，0)代入切线方程得－x03＝3x02(2－x0)，则2x02(x0－3)＝0，解得x0＝0或x0＝3， 所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0. $$