5.1.1变化率问题-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

第五章　一元函数的 导数及其应用 第1页 1 5.1.1变化率问题 第1页 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解瞬时速度引入的必要性. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想. 学习目标 第1页 同学们，大家都知道在高速路上经常看到“区间测速”的提醒，这其实是为了提醒司机注意安全驾驶。区间测速的原理是在一段固定的路程上，测量车辆行驶这段路程所用的时间，从而计算出平均速度，达到测速的目的。另外，大家也经常听到家长们讨论车辆油耗的问题，比如“你的车几个油？”这里所说的“几个油”，实际上是指汽车百公里的油耗。不过，有些车还能查看汽车的瞬时油耗。今天，我们就来研究生活中的变化率问题。 导 语 第1页 课内导航 求平均速度 求瞬时速度 1 2 抛物线的切线斜率 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 一 平均速度 第1页 在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+2.8t+11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤ 0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？ 问题1 第页 第1页 提示　当0≤t≤0.2时， =1.82(m/s)； 当1≤t≤1.5时，=-9.45(m/s)； 当0≤t≤=0(m/s)， 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 第页 第1页 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)计算位移的改变量s(t2)-s(t1). (2)计算时间的改变量t2-t1. (3)得平均速度. 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 第页 第1页 二 瞬时速度 第1页 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 问题2 提示　由可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的发生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 第页 第1页 我们把函数值的增量f(t2)-f(t1)记为Δy，即Δy=f(t2)-f(t1)，自变量的增量t2-t1记为Δt，即Δt=t2-t1，这里的Δt可以看成是t1的一个增量，可用t1+Δt来表示t2，则平均速度可记为，我们发现如果时间的增量Δt无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间t=t1的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限趋近于0. 第页 第1页 1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度. 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 某一时刻 知识梳理 4.Δt可正，可负，但不能为0. 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 抛物线的切线的斜率 第1页 在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P有什么变化趋势？ 问题3 提示　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置. 第页 第1页 1.抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线. 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 知识梳理 3.极限的几何意义：曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率. 第页 第1页 求抛物线在某点处的切线方程的步骤 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 第页 第1页 某一时刻 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 × √ 第页 第1页 × × 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 4 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　已知某质点按规律s(t)＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m，时间t的单位为s)，求： (1)该质点在前3 s内运动的平均速度； 【解析】　　(1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，所以平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(24,3)＝8(m/s)． (2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度． 【解析】　 (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(12,1)＝12(m/s)． 物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt). 对一般函数y＝f(x)而言，求[x1，x2]上平均速度的一般步骤： (1)先计算对应函数值的改变量：f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量x2－x1. (3)求平均速度eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1). 思考题1　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 【解析】　质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f([（2＋Δt）2＋1]－（22＋1）,Δt)＝eq \f(4Δt＋（Δt）2,Δt)＝4＋Δt. 又eq \o(v,\s\up6(－))≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1. 又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0，1]． (3)求此物体从t＝0到t＝2这段时间的平均速度eq \o(v,\s\up10(－)). 【解析】　(3)eq \o(v,\s\up10(－))＝eq \f(s（2）－s（0）,2)＝eq \f(6－4－0,2)＝1. 例2　一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度v0； 【解析】　(1)v0＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) eq \f(s（Δt）－s（0）,Δt)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) eq \f(3Δt－（Δt）2,Δt)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) (3－Δt)＝3. (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度v2； 【解析】　(2)v2＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) eq \f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) (－Δt－1)＝－1. 若非匀速直线运动中位移随时间变化的函数是s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤： (1)写出位移改变量：Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，写出时间变化量：Δt. (2)求平均速度：eq \o(v,\s\up10(－))＝eq \f(Δs,Δt). (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，eq \f(Δs,Δt)→v，即t＝t0时的瞬时速度v＝eq^\o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt). 思考题2　某赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2. (1)当t＝20，Δt＝0.1时，求Δs与eq \f(Δs,Δt)的值； 【解析】　 (1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋Δt)＋5(20＋Δt)2－10×20－5×202＝10Δt＋200Δt＋5(Δt)2＝1＋20＋0.05＝21.05， eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(21.05,0.1)＝210.5. (2)求当t＝20时的瞬时速度． 【解析】　(2)由(1)可知eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(10Δt＋200Δt＋5（Δt）2,Δt)＝210＋5Δt， 则eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δt→0)) (210＋5Δt)＝210. 所以赛车在t＝20时的瞬时速度为210 m/s. 例3　求抛物线f(x)＝x2在点(1，1)处切线的斜率． 【解析】　设切线的斜率为k0， 则k0＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(（1＋Δx）2－1,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(2Δx＋（Δx）2,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (2＋Δx)＝2. 求抛物线在点(x0，y0)处切线的斜率即求极限，即k0＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx). 思考题3　求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程． 【解析】　f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率k＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(3Δx＋（Δx）2,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (3＋Δx)＝3. 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0. 要点1　平均速度 把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则在时间段[t1，t2]上的平均速度为eq \o(v,\s\up12(－))＝ ______________________． eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1) 要点2　瞬时速度 (1)瞬时速度：物体在___________的速度称为瞬时速度． (2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则 物体在t0时刻的瞬时速度为_______________________． (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq \o(v,\s\up10(－))就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． eq \o(lim,\s\up16(),\s\do14(Δt→0)) eq \f(h（t0＋Δt）－h（t0）,Δt) 要点3　抛物线的切线的斜率 (1)割线：过曲线上任意两点P0(x0，y0)，P(x，y)的直线P0P即为曲线的一条割线，则割线P0P的斜率k＝eq \f(y－y0,x－x0)＝eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \f(Δy,Δx)，即为平均变化率． (2)切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． (3)切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0， y0)处的切线的斜率为k0＝____________________________． (4)切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.割线斜率的极限值就是切线的斜率． eq \o(lim,\s\up6(),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 1．瞬时速度与平均速度的区别与联系是什么？ 答：区别是瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内某一时刻的运动状态无关． 联系是瞬时速度是平均速度的极限值． 2．如何理解抛物线的切线？抛物线的切线与割线有怎样的联系？ 答：抛物线的切线是割线上点P(x，y)无限趋近于点P0(x0，y0)时的一个确定位置的直线． 割线斜率k＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)的极限值为切线的斜率． 1．判断正误(正确的填“√”，错误的填“×”)： (1)在平均变化率中，函数值的增量为正值．(　　) 解析　(1)平均变化率eq \f(Δy,Δt)中，函数值的增量Δy可正，可负，可为0，故错误； (2)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0.(　　) 解析　(2)函数f(x)＝c在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1，x2))上的平均变化率eq \f(Δy,x2－x1)＝eq \f(c－c,x2－x1)＝0，故正确； (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1，x2))上函数值变化快慢的量．(　　) 解析　(3)瞬时变化率是刻画函数值在x0处变化快慢的量，故错误； (4)在瞬时变化率中，Δt可以为零．(　　) 解析　(4)在瞬时变化率中，Δt逼近零而不等于零，故错误． 2．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s(t)＝2t2＋2，则该物体在一小段时间[2，2＋Δt]上的平均速度为(　　) A．8＋2Δt　　　　　　　 B．4＋2Δt C．7＋2Δt D．－8＋2Δt 3．函数y＝2x2，则自变量从2变到2＋Δx时函数值的增量Δy为(　　) A．8 B．8＋2Δx C．2(Δx)2＋8Δx D．4Δx＋2(Δx)2 解析　因为y＝2x2，所以Δy＝2×(2＋Δx)2－2×22＝2(Δx)2＋8Δx，故C正确． 4．抛物线y＝2x2在点(1，2)处切线的斜率为________． 5．已知函数y＝f(x)＝－2x＋1. (1)当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ 解析　(1)Δy＝f(2)－f(1)＝－2，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－2,2－1)＝－2， 故函数值y改变了－2，此时该函数的平均变化率是－2. (2)当x从－1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？ 解析　(2)Δy＝f(1)－f(－1)＝－4，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－4,1－（－1）)＝－2， 函数值y改变了－4，此时该函数的平均变化率是－2. (3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在x＝1，x＝3处的瞬时变化率． 解析　(3)这个函数的变化是均匀的，平均变化率为定值． ∵eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(－2Δx,Δx)＝－2， ∴故函数的瞬时变化率为定值－2， 该函数在x＝1，x＝3处的瞬时变化率都为－2. $$