4.3.2等比数列的前n项和公式(第1课时)-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

4.3.2 (第1课时) 等比数列的前n项和公式 第1页 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 3.能由等比数列前n项和公式特点判断等比数列. 学习目标 第1页 同学们，之前我们推导了等差数列的前n项和，大家还记得我们用的是什么方法吗？那么，这种方法能否用来求等比数列的前n项和呢？如果不能，我们又该用什么方法来求等比数列的前n项和呢？ 导 语 第1页 课内导航 等比数列前n项和公式 “知三求二”求未知量 1 2 an与Sn的关系 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 一 等比数列前n项和公式 第1页 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 问题1 提示　因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”. 第页 第1页 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗金币吗？ 问题2 提示　S64=1+2+22+23+…+263==264-1=18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言. 第页 第1页 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一：Sn=________________ 公式二：Sn=______________ 知识梳理 第页 第1页 注意： (1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数 . (3)公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项 . 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 二 “知三求二”求未知量 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 an与Sn的关系 第1页 提示　Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A. 你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 问题3 第页 第1页 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式是Sn= .即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn= ，Sn是n的正比例函数. Aqn-A na1 注意： 公比不为1的等比数列前n项和公式的结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. 知识梳理 第页 第1页 25 3.已知Sn，通过an=求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-Sn-1.需验证当n=1时是否满足此式. 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　求下列等比数列{an}的前8项的和S8. (1)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…； 【解析】　(1)设数列的公比为q，易知q＝eq \f(1,2).因为a1＝eq \f(1,2)，所以S8＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up22(8))),1－\f(1,2))＝eq \f(255,256). (2)a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，q<0. 【解析】　(2)由a1＝27，a9＝eq \f(1,243)，可得eq \f(1,243)＝27·q8. 又由q<0，可得q＝－eq \f(1,3)， 所以S8＝eq \f(a1－a8q,1－q)＝eq \f(a1－a9,1－q) ＝eq \f(27－\f(1,243),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq \f(1 640,81). 等比数列的前n项和公式的应用方法： 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式 Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1)) Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1)) 思考题1　(1)在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝eq \f(1,8)，则S10＝(　　) A．2－eq \f(1,28)　　　　　　 B．2－eq \f(1,29) C．2－eq \f(1,210) D．2－eq \f(1,211) 【解析】　本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式．设公比为q，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1q3＝\f(1,8)，))解得q＝eq \f(1,2).则该数列的前10项和为S10＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)＝eq \f(1－\f(1,210),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,29). (2)在等比数列{an}中，a1＝8，q＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(1,2)，则Sn＝(　　) A．8 B．15 C.eq \f(31,2) D．31 【解析】　由等比数列的前n项和公式可得Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝eq \f(8－\f(1,2)×\f(1,2),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2). 例2　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)若S2＝30，S3＝155，求Sn； 【解析】　(1)由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝30，,a1（1＋q＋q2）＝155，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))从而Sn＝eq \f(1,4)×5n＋1－eq \f(5,4)或Sn＝eq \f(1 080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))\s\up22(n))),11). (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； 【解析】　(2)由Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)，an＝a1·qn－1以及已知条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(189＝\f(a1（1－2n）,1－2)，,96＝a1·2n－1，))∴a1·2n＝192，即2n＝eq \f(192,a1)， ∴189＝a1(2n－1)＝a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(192,a1)－1))， ∴a1＝3，2n－1＝eq \f(96,3)＝32，∴n＝6. (3)若a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，Sn＝126，求n及公比q. 【解析】　(3)∵{an}是等比数列，∴a1an＝a2an－1＝a3an－2. ∵a2an－1＋a3an－2＝256，∴a1an＝128. 又∵a1＋an＝66，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2.)) 显然q≠1，当a1＝2，an＝64时， 由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝126，得q＝2，由an＝a1qn－1，得2n＝64，∴n＝6. 当a1＝64，an＝2时，同理，解得q＝eq \f(1,2)，n＝6.综上，n＝6，q＝2或eq \f(1,2). (1)等比数列{an}前n项和Sn中涉及五个量a1，q，an，n，Sn，其中a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时均可以用a1，q表示an，Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体意识在数列中的具体应用．“知三求二”的实质是方程思想． (2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)求和比较方便；当已知a1，q(q≠1)，an时，则用公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)求和． 思考题2　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. (1)若a1＝eq \r(2)，an＝16eq \r(2)，Sn＝11eq \r(2)，求n和q； 【解析】　(1)由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)得11eq \r(2)＝eq \f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1得16eq \r(2)＝eq \r(2)(－2)n－1， ∴n＝5. (2)若S3＋S6＝2S9，求公比q； 【解析】　(2)若q＝1，则S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1≠2S9. 所以q≠1，由已知，可得eq \f(a1（1－q3）,1－q)＋eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝eq \f(2a1（1－q9）,1－q). 所以q3(2q6－q3－1)＝0. 因为q≠0，所以2q6－q3－1＝0， 所以(q3－1)(2q3＋1)＝0. 因为q≠1，所以q3＝－eq \f(1,2)，所以q＝－eq \f(\r(3,4),2). (3)若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，求公比q. 【解析】　(3)由题意得a4－a3＝2a3，所以q＝eq \f(a4,a3)＝3. 例3　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2×3n－1，n≥2.)) 方法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 方法二：由等比数列的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． 已知an与Sn的关系式求an：消去Sn，建立an与an－1(或an＋1)之间的关系式，进而求an. 思考题3　(1)如果数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，那么{an}是等比数列吗？ 【解析】　根据“Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}是首项为a1＝A(1－q)，公比为q的等比数列”可得： (1){an}是首项为2，公比为3的等比数列． (2)如果等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n－a，试求出a的值． 【解析】　(2)a＝1. 【讲评】　本题第(2)问的常规解法如下： 当n＝1时，a1＝S1＝3－a. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1. 由{an}为等比数列知，当n＝1时，2×31－1＝3－a，则a＝1. 要点　等比数列的前n项和公式 (1)推导方法：错位相减． (2)公式形式： Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q) （q≠1）))或Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1－anq,1－q) （q≠1）.)) 无论等比数列的前n项和公式以哪种形式出现，在Sn，n，a1，q，an这五个量中，只要给出其中三个量便可以求出另外的两个量．(知三求二) 等比数列的前n项和公式有何函数特征？ 答：(1)当公比q≠1时，设A＝eq \f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式Sn＝A(qn－1)，即Sn是关于n的指数型函数．当0<q<1时，Sn无限趋于eq \f(a1,1－q)，若Sn为A＋Bqn的形式，则A＋B＝0. (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是关于n的正比例函数． (3)使用前n项和公式前一定要注意讨论公比q是否为1，而且要先判断q＝1时的情况，只有当q≠1时，才能套用公式． 1．等比数列{2n}的前n项和Sn＝(　　) A．2n－1　　　　　　　 B．2n－2 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 解析　由题意可知Sn＝21＋22＋23＋…＋2n＝eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2. 2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析　∵S5＝eq \f(a1（1－q5）,1－q)，∴44＝eq \f(a1[1－（－2）5],1＋2)＝eq \f(33a1,3)＝11a1.∴a1＝4. 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq \f(S5,S2)＝(　　) A．11 B．－8 C．5 D．－11 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意知8a1q＋a1q4＝0，a1≠0，则q3＝－8, 故q＝－2，所以eq \f(S5,S2)＝eq \f(1－q5,1－q2)＝eq \f(1＋32,1－4)＝－11. 4．已知等比数列{an}的公比q>0，a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________． eq \f(15,2) 解析　由条件得an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，q>0，an≠0，得q＝2，又a2＝1，所以a1＝eq \f(1,2)，S4＝eq \f(15,2). 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn≠0，已知a1＝1，S4＝5S2. (1)求{an}的通项公式； 解析　(1)设{an}的公比为q，由S4＝5S2得a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)，整理得a3＋a4＝4(a1＋a2)， 因为a1＋a2≠0，所以q2＝4，所以q＝2或q＝－2，故an＝2n－1，或an＝(－2)n－1. (2)若Sm＝43，求m. 解析　(2)若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝43，得2m＝44，此方程没有正整数解． 若an＝(－2)n－1，则Sm＝eq \f(1－（－2）m,3)，由Sm＝43，得(－2)m＝－128，解得m＝7. 综上，m＝7. $$