第四章 数列（能力提升卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三上·山东济宁·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，若，=21，则的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025高二·全国·课后作业）在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（    ）． A．，6 B．2，1 C．，6或2，1 D．，7 3．（24-25高二上·河南郑州·期中）若是等差数列，且，，则（    ） A．39 B．20 C．19.5 D．33 4．（2025高三上·山东日照·阶段练习）对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（    ） A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7 5．（2025高三·云南昆明·阶段练习）在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·江西新余·开学考试）已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·全国·课后作业）设分别为等比数列，的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列 10．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，且，，则 C．若是等差数列，则 D．若，则是等比数列 11．（2025·全国·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列 B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 C．若为等差数列，，，则前项和有最大值 D．若数列满足，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）在等比数列中，，，则 . 13．（2025高二·全国·课后作业）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝ . 14．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024·湖北武汉·三模）已知等差数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值. 16．（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若且，求数列的前项和. 17．（24-25高二上·广东揭阳·期末）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有. （1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式． （2）求数列的前n项和. 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 19．（2025高三·全国·课后作业）由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么投入广告费用n千元比投入广告费用（n－1）千元时的销售量多件（n为正整数）． (1)试写出投入广告费用n千元时的销售量件与n的函数关系式； (2)当a＝10，b＝4000时，公司应投入几千元的广告费用，同时销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三上·山东济宁·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，若，=21，则的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】依题意有解得，故.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想，求解数列的通项公式.主要的思想方法是，将题目所给的两个已知条件，利用等差数列通项公式和前项和公式，列出方程组，解出这个方程组的解，进而求得通项公式，从而求得题目要求的表达式的值.本小题属于基础题. 2．（2025高二·全国·课后作业）在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（    ）． A．，6 B．2，1 C．，6或2，1 D．，7 【答案】C 【分析】根据递推公式表示出、，即可得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为，，且， 所以，，， 又，所以，解得或； 故选：C 3．（24-25高二上·河南郑州·期中）若是等差数列，且，，则（    ） A．39 B．20 C．19.5 D．33 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求出，，可得公差，利用等差数列的性质可得. 【详解】因为，且是等差数列，所以，所以， 因为，且是等差数列，所以，所以， 所以公差， 所以. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题. 4．（2025高三上·山东日照·阶段练习）对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（    ） A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7 【答案】C 【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”. 【详解】由an＝，则，，， 当n≥7，n∈N*时恒有> 0， ∴an＝＝，此时数列{an}递增， 综上，a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8， ∴数列{an}的“谷值点”为2，7. 故选：C. 5．（2025高三·云南昆明·阶段练习）在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出数列的公比，再由可得，再利用基本不等式可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 前三项的和为7，则， 即，解得或(舍去)， 又由，得，即，得， 所以 ，当且仅当，时，等号成立，但是m，， 故，时，最小值为. 故选:D． 【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题. 6．（2025高二下·江西新余·开学考试）已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系式得到，进而利用累加法可求得结果． 【详解】数列中，，当时，， ， ， ，且， ， 故选：A． 7．（2025高二·全国·课后作业）设分别为等比数列，的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，再根据得时的结果并联立方程得，再根据通项公式求解即可得答案. 【详解】解：设是公比为的等比数列，， 为公比为的等比数列，， ∵， ∴， ∴，即：， ，即：， ∴ 联立方程得：，解得：， ∴ 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前前项和公式，考查运算能力，是中档题. 8．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的特征方程，求得两解，构造等比数列， 求得，结合，得到对任意恒成立，结合其单调性，求得答案. 【详解】解的特征方程 ， 即 ，可得 ， 故， 两式相除得：， 即 为首项是，公比为3的等比数列， 故，则 ， 由于对任意恒成立， 故对任意恒成立， 即对任意恒成立， 而随n的增大而减小，当时，取到最大值1，故 ， 故选：D 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求参数的取值范围，综合性较强，解答的关键是要明确利用递推式的特征方程构造等比数列，求得数列通项公式，进而分离参数，解决恒成立问题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·重庆·期中）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列 【答案】AB 【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以，； 对于A，因为，所以是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确； 对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确. 故选：AB. 10．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，且，，则 C．若是等差数列，则 D．若，则是等比数列 【答案】ACD 【分析】对于AD：由与的关系求通项公式即可；对于B：作差比较大小即可；对于C：根据等差数列性质计算即可. 【详解】对于A：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等差数列，故A正确； 对于B： ，故，所以B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等比数列，故D正确； 故选：ACD 11．（2025·全国·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列 B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 C．若为等差数列，，，则前项和有最大值 D．若数列满足，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A正确；当时，取，得到，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；化简得到，利用裂项法，可判定D正确. 【详解】对于A中，设数列的公差为， 因为，，，， 可得， 所以，，，构成等差数列，故A正确； 对于B中，设数列的公比为， 当时，取，此时，此时不成等比数列，故B错误； 对于C中，当，时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为的最大值，故C正确； 对于D中，由，可得， 所以或， 则，所以， 所以 . 因为，所以，可得，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：由，得到，进而得出，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025高二·全国·课后作业）在等比数列中，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据等比数列知数列是等比数列，由求和公式求解即可. 【详解】因为等比数列中，，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 13．（2025高二·全国·课后作业）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝ . 【答案】n2+2n+1﹣2 【分析】利用递推关系先求出参数m，再通过递推关系得到两个数列分别为等差和等比数列，最后可以利用分组求和进行求解. 【详解】根据题意，当n为偶数时，an+2＝man，则a8＝ma6＝m2a4＝m3a2，即2m3＝16，解得m＝2， 所以数列{an}满足an+2＝2an（n为偶数）；an+2﹣an＝2，又a1＝1，a2＝2， 所以S2n＝a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n＝1+3+…+2n﹣1+2+22+…+2n（1+2n﹣1）n2+2n+1﹣2. 故答案为：n2+2n+1﹣2 14．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为 ． 【答案】28 【分析】由已知可得求出等差数列基本量，并写出通项公式，进而可得，利用基本不等式及易知当或5时目标式有最小值，写出最小值即可. 【详解】由题设，，可得，即， ∴，则， ∴，当且仅当时等号成立，而，且， 当时，，当时，. 故当或5时，的最小值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024·湖北武汉·三模）已知等差数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值. 【答案】（1）（2）10 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式求出，从而求出此数列的正数项，进而可确定取得最大值时的值. 【详解】设差等数列公差为，依题意有. 解之得，则， 故的通项公式为：. （2）由，得， 所以，即，由，故， 故取最大值时的值为10. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 16．（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若且，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可； （2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以. 因为，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知，，所以. 因为，当时，，所以， 当时，也符合，所以，所以， 所以，① ，② ①-②，得， 所以. 17．（24-25高二上·广东揭阳·期末）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有. （1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式． （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）见解析 ； （2）. 【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为，即可得到，证得数列为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用“乘公比错位相减法”，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，数列满足， 当时，则，解得， 当时，则，整理得， 所以，即，即， 又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，解得， 即数列的通项公式为． （2）由（1）可得， 设， ， 所以， 又由， 所以数列的前n项和为： ． 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 19．（2025高三·全国·课后作业）由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么投入广告费用n千元比投入广告费用（n－1）千元时的销售量多件（n为正整数）． (1)试写出投入广告费用n千元时的销售量件与n的函数关系式； (2)当a＝10，b＝4000时，公司应投入几千元的广告费用，同时销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？ 【答案】(1) (2)当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件． 【分析】（1）根据累加法即可迭代求解， （2）根据作差法判断数列的单调性，即可求解最值. 【详解】（1）设不做广告宣传时的销售量为，依题意，（n为正整数）， 所以当时，由累加法得 （2）由题意知，设投入广告费用n千元时获利为元，则 ，得． 当时，，即； 当时，，即． 于是当n＝5时，最大，最大值，此时． 所以当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$