7.1.2 全概率公式（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第七章随机变量及其分布 7.1.2 全概率公式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 1.条件概率 3.概率的乘法公式 情景导入 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一个求复杂事件概率的问题． 新知探究 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 全概率公式： 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 概念归纳 例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 解： 例题讲解 归纳总结 10 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 例题讲解 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i＝1，2，3)台车床加工的概率． 将例5中的问题（2）一般化，可以得到贝叶斯公式． 概念归纳 例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； *（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 例题讲解 归纳总结 18 解： 1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得 课堂练习 解： 2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则 【例1】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 题型1　全概率公式 题型探究方法归纳 解：设B＝{飞机被击落}，Ai＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3. 显然A1，A2，A3为完备事件组，且 P(A1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(A2)＝0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.3＝0.41， P(A3)＝0.4×0.5×0.7＋0.14.由题意，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，利用全概率公式，有P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. 全概率公式求概率的关注点 全概率公式的实质是为了计算复杂事件的概率，把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． 【例2】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 题型2　贝叶斯公式 贝叶斯公式的应用 把事件B看作某一过程的结果，把Ai(i＝1,2，…，n)看作该过程的若干个原因，每一原因发生的概率P(Ai)已知，且每一原因对结果的影响程度P(B|Ai)已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式，即求P(Ai|B)．贝叶斯公式反映了事件Ai发生的可能性在各种原因中的比重． 题型3　全概率公式与贝叶斯公式的应用 P(Ai)(i＝1,2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识．当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计．贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 易错警示　题意理解不清致误 易错防范：题意理解不清，因为先胜两盘的队获胜，比赛结束，高三(1)班代表队连胜两盘是指：高三(1)班代表队第一、第二盘胜和第一盘输，第二、第三盘胜． 1．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示．单位：人 男 女 合计 色盲 60 2 62 非色盲 1140 798 1938 合计 1200 800 2000 从这2000人中随机选择1人． （1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率； （2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率． 习题 1．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示．单位：人 男 女 合计 色盲 60 2 62 非色盲 1140 798 1938 合计 1200 800 2000 从这2000人中随机选择1人． （1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率； （2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率． 习题 2．从人群中随机选出1人，设B＝“选出的人患有心脏病”，C＝“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断P(B)和P(C)的大小，并说明理由． 3．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5．已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率． 解：设事件A为“目标至少被命中1次”，事件B为“甲命中目标”， 4．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．求摸到红球的概率． 5．在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； *（2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． （1）设事件A，B，C分别表示：任意选取一个人，分别来自A，B，C地区．事件D表示：这个人患流感． 7．一批产品共有100件，其中5件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．求这批产品被拒绝的概率． 解：设事件A为“抽检的第1件产品合格”，事件B为“抽检的第2件产品合格”． 8．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1：2：1．如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本进行杂交试验，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？ 解：设事件A为“所选子二代基因型为Dd ”，事件B为“所选子二代基因型为dd ”，事件C为“子三代基因型为dd ”， 9．证明条件概率的性质（1）和（2）． 1. 全概率公式： 2. 贝叶斯公式： 课堂小结 对全概率公式的理解 某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i＝1,2，…，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关． 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效. 解：设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P(A1|B)＝ ＝＝0.8. 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车概率分别为，，.现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为，，. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是动车的概率． 解：(1)设A＝{这位教授迟到}，B1＝{这位教授乘坐的是飞机}，B2＝{这位教授乘坐的是动车}，B3＝{这位教授乘坐的是非机动车}， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝×＋×＋×＝. (2)所求概率为P(B2|A)，由贝叶斯公式得 P(B2|A)＝＝＝. 高三(1)班、高三(2)班每班已选出3名学生组成代表队进行乒乓球对抗比赛．比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行三盘比赛；②先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为，则高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少？ 错解：由题意知，高三(1)班代表队连胜两盘是指：高三(1)班代表队第一、第二盘胜，第三盘输和第一盘输，第二、第三盘胜，所以高三(1)班代表队连胜两盘的概率为P(A)＝××＋××＝. 正解：高三(1)班代表队连胜两盘的概率为P(A)＝×＋××＝. $$