第七章 随机变量及其分布列全章综合测试卷（拔高篇）-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 第七章 随机变量及其分布列全章综合测试卷（拔高篇） 【人教A版（2019）】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第三册第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（2025高三·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解. 【解析】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 2．（2025高二·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【解析】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 3．（2025高三·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 【答案】B 【分析】求出，根据原则结合对称性分析求解. 【解析】因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 4．（2025高二·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【解析】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 5．（2025高二·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【解析】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 6．（2025高三·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，依据二项分布写出分布列，计算期望，，故可判断C正确；对于选项ABD，可通过取特殊值验证是错误的. 【解析】若有放回的摸出n个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故，，其中. 期望，方差. 若一次性摸出n张卡牌，随机变量的可能取值有、、， 则，， 由结论（苏教版2019第121页）：当时，，得， 故，选项C正确； 特别地，取，，其中. 的分布为， 0 1 2 期望，方差 随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 显然；；. 故ABD不正确. 故选：C. 7．（2025高二·江西南昌·期末）小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（   ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可. 【解析】服从二项分布，. 同理，， . 故选：C. 8．（2025高三·山东青岛·期末）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】分析出，从而得到，错位相加法求和，求极限，得到答案. 【解析】，即投掷1次到达终点，故第一次投掷的点数为3，故， ，即投掷2次到达终点，故第一次投掷的点数不为3， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，， 故， ，即投掷3次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ， ……， ，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点， ， 故①， ②， 则①-②得 ， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析得到，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点，得到，再根据求期望公式和错位相减法进行求解. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025高二·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可. 【解析】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确； 对于选项B，因为 ，所以， 故B错误； 对于选项C，因为， 故C错误； 对于选项D，，故D正确． 故选：AD. 10．（2025高三·云南楚雄·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【解析】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 11．（2025高三·湖南长沙·期末）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【解析】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高二·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【解析】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 13．（2025高三·江西吉安·期末）若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件概率公式可得，即可根据全概率公式求解. 【解析】∵，∴． 又， ∴，解得， 故选： 14．（2025高三·河北·期末）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则= . 【答案】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望. 【解析】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案． 【解析】（1）解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． （2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 16．（15分）（2025高三·江苏·期末）某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， (1)求数据Ⅰ的25百分位数； (2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 【答案】(1)77 (2)分布列见解析， 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【解析】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：67，73，77，80，81，81，85，86，90， 因为，所以数据Ⅰ的25百分位数为77； （2）数据Ⅰ中75分以下的有67分，73分； 数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分， 所以上述不满意的消费者共5人，其中 A车型中2人， B车型中3人. 所以X的所有可能取值为1，2， ， 所以X的概率分布为 X 1 2 3 P 数学期望 17．（15分）（2025高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【解析】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 18．（17分）（2025高三·山东枣庄·期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”正式被列入《世界遗产名录》.某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线—故宫探游”研学活动.游览规划：如图，第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续游览，最终在御花园集合，活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立. (1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率； (2)记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一､二阶段都选路线①的人数为，求的期望，方差； (3)记班级内在第一､二阶段都选择路线①的人数为的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）设“甲同学在第一阶段选择路线”，，“甲同学在第二阶段选择路线①”，根据全概率公式求解； （2）根据题意，服从二项分布，由二项分布的期望、方差公式求解； （3）的可能取值为，且，列不等式求其最大值. 【解析】（1）设“甲同学在第一阶段选择路线”，， “甲同学在第二阶段选择路线①”， 则， 所以； （2）记“每位同学第一､第二两阶段都选择路线①”， 则， 因为路线选择是相互独立的，所以服从二项分布， 所以期望， 方差. （3）的可能取值为，此时. 所以， 则， 故， 解得，又， 所以当时，取最大值. 19．（17分）（2025高三·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)6 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【解析】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 第七章 随机变量及其分布列全章综合测试卷（拔高篇） 【人教A版（2019）】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第三册第七章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（2025高三·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 2．（2025高二·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 3．（2025高三·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 4．（2025高二·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 5．（2025高二·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2025高三·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二·江西南昌·期末）小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（   ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2025高三·山东青岛·期末）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025高二·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·云南楚雄·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·湖南长沙·期末）如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025高二·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 13．（2025高三·江西吉安·期末）若，，，则 ． 14．（2025高三·河北·期末）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则= . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 16．（15分）（2025高三·江苏·期末）某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下： 数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，； 数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93， (1)求数据Ⅰ的25百分位数； (2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望. 17．（15分）（2025高三·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 18．（17分）（2025高三·山东枣庄·期末）2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”正式被列入《世界遗产名录》.某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线—故宫探游”研学活动.游览规划：如图，第一阶段，每位同学从午门出发，等可能选择①②两条路线游览，之后到乾清门集中进行阶段总结；第二阶段，从乾清门出发继续游览，最终在御花园集合，活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为，且相互独立. (1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率； (2)记甲、乙、丙、丁4位同学中，在第一､二阶段都选路线①的人数为，求的期望，方差； (3)记班级内在第一､二阶段都选择路线①的人数为的概率为，则为何值时，取最大值. 19．（17分）（2025高三·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 学科网（北京）股份有限公司 $$