大题突破4：离散型随机变量分布列及数字特征大题5考点综合训练-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破4：离散型随机变量分布列及数字特征 大题5考点综合训练 考点1 求离散型随机变量的分布列 1．（2025高二·全国月考）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【解析】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 2．（2025高二·全国月考）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【解析】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 3．（2025·贵州毕节·模拟预测）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 【答案】(1) (2)①；②答案见解析. 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解； （2）①利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；②由题意可知，的可能取值为1，2，，，，利用独立事件和互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列． 【解析】（1）设事件“甲第i次射击命中目标”，设事件“乙第i次射击命中目标”，设事件“第三次射击就结束训练”， 则，． 所以， 所以第三次射击就结束训练的概率为； （2）①设事件“甲射击一次就结束训练” 则， 所以甲射击运动员射击一次的概率， ②设结束训练时，甲射击运动员射击次数为X，则X的可能取值为 ， ， ， 故甲射击运动员射击次数的分布列为： X 1 2 3 … k … P … … 4．（2025高三·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 【答案】(1)， (2)1，，，， (3)分布列见解析 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可. （2）结合题意求出所有符合条件的取值即可. （3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可. 【解析】（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 5．（辽宁省沈阳市辽中区第一私立高级中学2023-2024学年高二学期12月月考数学试题）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中说明前两次没有投中，第三次投中，由此根据独立事件的乘法公式求出概率； （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，根据独立重复事件的概率公式得出各概率即可得出分布列. 【解析】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件， 事件说明小明前两次没有投中，第三次投中， ， 小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为. （2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8， ， ， ， ， ， 则总得分的分布列为： 0 2 4 6 8 6．（2025高二·山东德州月考）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1)0.28 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可. 【解析】（1）部件1，2都不需要调整的概率为， 则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ， 0 1 2 3 7．（2025高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列. 【解析】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种： ①只选一个选项得2分的概率为：; ②选两个选项，得5分的概率为：; 所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：; （2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为， ; ; 学生甲得分的分布列为: 0 2 设学生乙得分为,则的可能取值为， ; ; ; 学生乙得分的分布列为: 0 2   5 考点2 求离散型随机变量的均值 8．（2025届重庆市高三学期模拟预测数学试题）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出1个球，则白球被摸出的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中一次性随机摸出4个球. ①求三种颜色的球都被摸出的概率； ②记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1)5 (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型的的概率计算公式求解即可； （2）①先求出从盒子中一次性随机摸出4个球的所有取法，再求出三种颜色的球都被摸出的不同取法，即可求解；②列出X的所有可能取值，分别求解概率即可得到分布列，再求解期望即可. 【解析】（1）由题可知，从盒子中随机摸出1个球，白球被摸出的概率， 所以； （2）①从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； ②由题可知，X的取值可能为1，2，3， 且，， ， X的分布列为 1 2 3 . 9．（河南省南阳市2024-2025学年高三学期3月5日模拟检测数学试卷）现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知及列举法求出、对应概率，应用互斥事件加法求概率即可； （2）的所有可能值为，同（1）方法求对应可能值的概率，进而求期望. 【解析】（1）由题设，，即或， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能， 的情况有共6种，故， 的情况有共10种，故， 所以的概率为. （2）由题意，的所有可能值为，同（1）分析， 的情况有共8种，则， 的情况有共6种，则， 的情况有共4种，则， 的情况有共2种，则， 所以. 10．（2025高三·山东威海·期末）现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据相邻、不相邻问题的处理方法可得结果. （2）分析得的可能取值为，计算对应的概率可得结果. 【解析】（1）记事件：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻， 则. （2）的可能取值为， ， ， ， ∴的分布列为 2 3 4 ∴. 11．（2025高二·湖南长沙月考）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设出事件，利用条件概率公式求出答案； （2）求出的可能取值及相应的概率，得到分布列和数学期望. 【解析】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件， ， 故； （2）由已知可得，的可能取值为， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 12．（2025高三·安徽·期末）在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力．某儿童注意力训练机构从2~14岁的学员中随机抽取了50名学员，得到相关数据如图所示：    (1)若抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁（每组数据以所在区间的中点值为代表），求图中a，b的值． (2)从所抽取的年龄在，，内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人，记这3人中年龄在内的学员人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）结合频率分布直方图的性质及平均数的定义计算即可得； （2）结合分层抽样与超几何分布的分布列及期望性质计算即可得. 【解析】（1）由图可得，即有， 由抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁， 可得， 即可得，又，故，； （2）由频率分布直方图可得：，，三组的频率之比为： ， 故抽取的7人中，年龄在内的有人， 年龄在内的有人，年龄在内的有人， 故X的可能取值为，，，， 有，， ，， 故其分布列为： . 13．（2025高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得； （2）可看成次独立重复试验模型求解概率； （3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列. 【解析】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率. （2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率. （3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为， 所以甲能被招飞院校录取的概率， 乙能被招飞院校录取的概率， 丙能被招飞院校录取概率. 依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 考点3 求离散型随机变量的方差 14．（2025高二·浙江杭州·期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效． (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布． (2)在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差． (3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)，新药有效 【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）的基础上，利用期望和方差公式求出答案； （3）新药无效的情况有：10人中1人痊愈，10人中0人痊愈，求出概率，得到答案. 【解析】（1）X的可能取值为， ，，， 故分布列如下： 0 1 2 （2）， ； （3）新药无效的情况有：10人中1人痊愈，10人中0人痊愈， 故， 所以通过试验却认定新药无效为小概率事件，该试验方案合理. 15．（2025高二·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）求出，，得到，同理得到，比较出大小. 【解析】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 16．（2025高二·广西河池·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】 （1）根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事件的概率计算公式，可得答案； （2）根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案. 【解析】（1） 推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名， 设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， 表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”， 互斥，且，，， 选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为； （2） 由于从6名老师中任选3名的结果为 从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人， 恰有名数学老师的概率为， 所以， ， ． 17．（2025高三·北京西城月考）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：      (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）由频率即可估计概率， （2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解概率， （3）根据两点分布的方差公式以及二次函数的单调性即可求解. 【解析】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人， 其中身体素质检测成绩优秀的人数有人，所以，优秀的概率是    因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人， 该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是 （2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人， 因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人， 所以从中抽出2人，的可能取值为 ，，， 所以的分布列为 数学期望 （3）， 理由：由于 且服从二点分布，所以， 由于在单调递减， 所以. 18．（2025高三·河南月考）某工厂生产了一批精密零件，其质量指数与对应零件的个数如下表所示： 质量指数 1 2 3 零件个数 20 15 15 现从这批零件中连续抽取三次零件，每次随机抽取1个零件后放回.记这三次抽取的零件的质量指数分别为 (1)求的分布列； (2)求的期望与方差； (3)求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3) 【分析】（1）得到的可能取值后分别计算相应概率即可得； （2）借助分布列计算即可得； （3）分别计算、并相加即可得. 【解析】（1）的可能取值为1，2，3， ； ； ； 故的分布列为： 1 2 3 （2）由可得， ； （3）， ， ， 故. 考点4 决策问题 19．（2025高二·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)投资项目一更合理，理由见解析 【分析】（1）由分布列的概念即可求解； （2）分别计算两个投资项目的期望、方差比较大小即可判断； 【解析】（1）由题意随机变量和的分布列为： 400 -100 500 -300 0 （2）（万元），（万元）， 又， ， 由，说明项目一､项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 20．（新疆维吾尔自治区2025年普通高考第二次适应性检测数学试题）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率； （2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案； （3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论. 【解析】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序” 则． （2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故． （3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为， ，所以， 若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为， 有如下几种情况： 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时， 由（1）知，， 技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知， 技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时， ， 所以， 因为，所以小李需要聘请一位技术员． 21．（2025高三·北京月考）某大学附属中学高三年级同时选考物理、化学、生物的学生共有400人，其中A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，现采用分层抽样的方法，从该年级的所有同时选考物理、化学、生物的学生中抽取20人，调查其各科在考试中“失误丢分多于5分”的情况，并按照班型进行各专项人数汇总，数据统计如表： “失误丢分多于5分”人数 语文 数学 英语 物理 化学 生物 A类班型 4 1 2 2 1 3 B类班型 6 2 1 5 1 6 C类班型 1 2 1 1 2 1 若同一学生不同学科是否“失误丢分多于5分”相互独立，不同学生同一学科是否“失误丢分多于5分”也相互独立. (1)在抽取的20人中，A类班型、B类班型、C类班型各有多少人； (2)从上表中物理“失误丢分多于5分”的学生中随机选取2人，记为选出的B类班型的人数，求的分布列和数学期望： (3)从A、B、C三类班型中各随机抽取一人，将其“失误丢分多于5分”的科目数量记作，，，直接写出它们的期望，，的大小关系. 【答案】(1)7人，9人、4人； (2)分布列见解析，期望； (3) 【分析】（1）计算出抽样比可直接求得各类班型抽取的人数； （2）求出的所有可能取值及其对应的概率，可求得分布列和期望值； （3）根据表格数据可知各类班型“失误丢分多于5分”的科目数量，再利用样本估计总体的思想可知期望值，即可比较出大小. 【解析】（1）根据题意可知抽样比为， 又因为A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人， 所以A类班型抽取7人，B类班型抽取9人、C类班型抽取4人. （2）物理“失误丢分多于5分”的学生共有8人，其中A类班型2人，B类班型5人、C类班型1人； 的所有可能取值为， 易知，，； 因此的分布列为： 0 1 2 数学期望. （3）根据表格可知，在抽取的20人中“失误丢分多于5分”的科目数量分别为A类班型13个，B类班型21个，C类班型8个； 又因为A类班型抽取7人，B类班型抽取9人、C类班型抽取4人. 所以利用样本估计总体的思想可知， 可得. 22．（2025·山东烟台·模拟预测）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)元 【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解； （2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解； （3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可. 【解析】（1）每个项目挑战成功的概率 ， 则 . （2）甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 （3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 23．（2025高三·云南昭通月考）为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立. (1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； (2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可知的可能取值，并求出对应的概率即可得出分布列和期望值； （2）求出小王同学选择方法2对应的期望值，并与方法1进行比较即可做出决策. 【解析】（1）易知的可能取值为， ， ， ， 所以分布列为： 4 7 10 所以期望值. （2）选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为， ， ， ， ， 当时，即，即时，选择方法1； 当时，即，即时，选择方法2； 当时，即，即时，选择两种方法都一样. 考点5 与数列的综合 24．（辽宁省点石联考2025届高三学期3月联合考试数学试题）现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛掷骰子，点数为1，2，3时，记录字符AA；点数为4时记录字符B，点数为5时记录字符C，点数为6时记录字符D．继续投掷骰子，按照相同的规则向右记录AA，B，C，D的字符．例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5，6，2，3，4，则记录的字符为CDAAAAB，共7个字符，其中从左向右第4个字符为A，第7个字符为B． (1)抛掷3次骰子，并记录字符．记字符中A的个数为，求； (2)抛掷次骰子，并记录字符．记第个字符为的概率为． （i）求证：是常数列； （ii）求的前项和． 【答案】(1)3 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题意可得离散型随机变量的所有可能值，利用概率的乘法公式与组合数，结合数学期望的公式，可得答案； （2）（i）分情况由概率的乘法公式求概率，利用概率的加法公式求得递推公式，可得答案；（ii）由题意求数列的前两项，由（i）的常数列求得递推公式，利用构造法求得通项，根据等比数列求和，可得答案. 【解析】（1）由题意知，的所有可能取值为0，2，4，6． 则，， ，， 故． （2）（i）将第个字符为分为两种情形讨论． ①第一次抛掷的结果为1，2或3， 则最左边的两个字符为AA，剩下的个字符中，第个字符为的概率为； ②第一次抛掷的结果为4，5或6， 则在剩下的个字符中，第个字符为的概率为． 综上：． 故， 即是一个常数列． （ii）容易计算，，故． 故， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 故的前项和为 ． 25．（2025高三·四川雅安月考）如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 【答案】(1)，，，． (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】(1) 由独立事件的概率乘法公式求解； (2) 的取值可能为1，2，3，依次求出概率即可计算数学期望； (3) 记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①， ②． 两式相加即可求解． 【解析】（1）记为掷出的骰子中有枚点数大于3的骰子的概率， ． 第二次由甲掷骰子的概率． 第二次由乙掷骰子的概率． 第二次由丙掷骰子的概率． 第二次由丁掷骰子的概率． （2）的取值可能为1，2，3 前三次中甲掷骰子的次数为3，即第二，三次均由甲掷骰子，其概率为 前三次中甲掷骰子的次数为1，即甲第二，三次均没有掷骰子， 分三种情况：第二次乙郑骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丙掷骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丁掷骰子且第三次甲没有掷骰子． 其概率为． 前三次中甲掷骰子的次数为2的概率为， 的分布列为 1 2 3 ． （3）证明：记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①， ②． ②+①得． 因为，所以． 故当时，． 26．（2025高三·湖北武汉月考）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【解析】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为 ； （2）由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； （3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 大题突破4：离散型随机变量分布列及数字特征 大题5考点综合训练 考点1 求离散型随机变量的分布列 1．（2025高二·全国月考）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 0 10 20 50 60 2．（2025高二·全国月考）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 100 80 60 40 3．（2025·贵州毕节·模拟预测）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 4．（2025高三·河南周口·期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 5．（辽宁省沈阳市辽中区第一私立高级中学2023-2024学年高二学期12月月考数学试题）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 6．（2025高二·山东德州月考）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 7．（2025高二·辽宁沈阳月考）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 考点2 求离散型随机变量的均值 8．（2025届重庆市高三学期模拟预测数学试题）一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出1个球，则白球被摸出的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中一次性随机摸出4个球. ①求三种颜色的球都被摸出的概率； ②记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 9．（河南省南阳市2024-2025学年高三学期3月5日模拟检测数学试卷）现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 10．（2025高三·山东威海·期末）现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本. (1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率； (2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望. 11．（2025高二·湖南长沙月考）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望； 12．（2025高三·安徽·期末）在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力．某儿童注意力训练机构从2~14岁的学员中随机抽取了50名学员，得到相关数据如图所示：    (1)若抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁（每组数据以所在区间的中点值为代表），求图中a，b的值． (2)从所抽取的年龄在，，内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人，记这3人中年龄在内的学员人数为X，求X的分布列和数学期望． 13．（2025高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 考点3 求离散型随机变量的方差 14．（2025高二·浙江杭州·期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效． (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布． (2)在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差． (3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）． 15．（2025高二·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 16．（2025高二·广西河池·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 17．（2025高三·北京西城月考）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：      (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 18．（2025高三·河南月考）某工厂生产了一批精密零件，其质量指数与对应零件的个数如下表所示： 质量指数 1 2 3 零件个数 20 15 15 现从这批零件中连续抽取三次零件，每次随机抽取1个零件后放回.记这三次抽取的零件的质量指数分别为 (1)求的分布列； (2)求的期望与方差； (3)求的值. 考点4 决策问题 19．（2025高二·云南昆明·期末）某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 20．（新疆维吾尔自治区2025年普通高考第二次适应性检测数学试题）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 21．（2025高三·北京月考）某大学附属中学高三年级同时选考物理、化学、生物的学生共有400人，其中A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，现采用分层抽样的方法，从该年级的所有同时选考物理、化学、生物的学生中抽取20人，调查其各科在考试中“失误丢分多于5分”的情况，并按照班型进行各专项人数汇总，数据统计如表： “失误丢分多于5分”人数 语文 数学 英语 物理 化学 生物 A类班型 4 1 2 2 1 3 B类班型 6 2 1 5 1 6 C类班型 1 2 1 1 2 1 若同一学生不同学科是否“失误丢分多于5分”相互独立，不同学生同一学科是否“失误丢分多于5分”也相互独立. (1)在抽取的20人中，A类班型、B类班型、C类班型各有多少人； (2)从上表中物理“失误丢分多于5分”的学生中随机选取2人，记为选出的B类班型的人数，求的分布列和数学期望： (3)从A、B、C三类班型中各随机抽取一人，将其“失误丢分多于5分”的科目数量记作，，，直接写出它们的期望，，的大小关系. 22．（2025·山东烟台·模拟预测）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 23．（2025高三·云南昭通月考）为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立. (1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望； (2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好. 考点5 与数列的综合 24．（辽宁省点石联考2025届高三学期3月联合考试数学试题）现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛掷骰子，点数为1，2，3时，记录字符AA；点数为4时记录字符B，点数为5时记录字符C，点数为6时记录字符D．继续投掷骰子，按照相同的规则向右记录AA，B，C，D的字符．例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5，6，2，3，4，则记录的字符为CDAAAAB，共7个字符，其中从左向右第4个字符为A，第7个字符为B． (1)抛掷3次骰子，并记录字符．记字符中A的个数为，求； (2)抛掷次骰子，并记录字符．记第个字符为的概率为． （i）求证：是常数列； （ii）求的前项和． 25．（2025高三·四川雅安月考）如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 26．（2025高三·湖北武汉月考）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$