4 二次函数的应用(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 用一块长为 50 cm 、 宽为 30 cm 的长方形铁片制 作一个无盖的盒子， 若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为 x cm. （ 1 ） 底面的长 AB= cm ， 宽 BC= cm. （用含 x 的 代数式表示） （ 2 ） 当做成盒子的底面积为 300 cm 2 时， 求该盒子的容积 . （ 3 ） 该盒子的侧面积 S 是否存在最大的情况？ 若存在， 求出 x 的值及最大值是多少； 若 不存在， 请说明理由 . 【分析】 （ 1 ） 利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去的小正方形的边长都是 x ， 即可得出表示 AB 与 BC 长度的代数式， 即底面的长 AB= （ 50-2x ） cm ， 宽 BC= （ 30-2x ） cm. （ 2 ） 根据矩形 ABCD 的面积 AB · BC=300 ， 建立一元二次方程得出 x 的值， 进而求出盒子的 容积 . （ 3 ） 利用盒子侧面积为 S=2x （ 50-2x ） +2x （ 30-2x ）， 列出盒子的侧面积 S 与 x 之间的函 数表达式， 再利用配方法求出函数的最大值 ． 【解答】 （ 1 ） （ 50-2x ） （ 30-2x ） （ 2 ） 依题意， 得（ 50-2x ）（ 30-2x ） =300 ， 整理， 得 x 2 -40x+300=0. 解得 x 1 =10 ， x 2 =30. 由题意知 x>0 ， 30-2x>0 0 ， ∴0<x<15 ， ∴x=30 舍去 . 当 x=10 时， 盒子容积 = （ 50-20 ） × （ 30-20 ） ×10=3 000 （ cm 3 ） . （ 3 ） 存在 . 盒子的侧面积为 S=2x （ 50- 2x ） +2x （ 30-2x ） =100x-4x 2 +60x-4x 2 =-8x 2 +160x=-8 （ x 2 -20x ） =-8 ［（ x-10 ） 2 -100 ］ =-8 （ x-10 ） 2 +800. ∵-8<0 ， 且 0<x<15 ， ∴ 当 x=10 时， S 有最大值， 最大值为 800． 【点拨】 此题主要考查了二次函数在几何图形中的应用 . 解答这类应用题的关键是恰当地 选择几何图形中某个基本元素作为未知数或自变量 x ， 然后用含有 x 的代数式表示图形中的其 他未知量， 最后利用公式或题中给出的等量关系建立方程或函数模型 . 特别需要注意， 利用二 次函数的性质求最大值时， 要考虑使函数取得最大值的自变量 x 是否在自变量的取值范围内 ． 基础巩固 达标闯关 1. 用一根长 100 m 的绳子围成一个长方形的运动场， 那么所围的运动 场的最大面积是 ， 此时长方形场地的边长分别是 . 2. 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2 cm ， P 是 AB 上任意一点 （除去端点 A ， B ）， 作 PQ⊥DP 交 BC 于点 Q ， 设 AP=x cm ， BQ=y cm ， 则 y 与 x 的函数 关系式是 ， 自变量 x 的取值范围是 ， 当 x= 第 2 题图 A P B Q D C 4 二次函数的应用 （第 1课时） A D B C 例题图 30 二次函数 第二章 时， y 有最大值 . 3. 如图， △ABC 是一块锐角三角形材料， 边 BC=6 cm ， 高 AD=4 cm ， 要把它加工成一 个矩形零件， 使矩形的一边在 BC 上， 其余两个顶点分别在 AB ， AC 上， 要使矩形 EGHF 的 面积最大， EG 的长应为 cm. 4. 如图， △ABC 是直角三角形， ∠A=90° ， AB=8 cm ， AC=6 cm ， 点 P 从点 A 出发， 沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 运动； 同时点 Q 也从点 A 出发， 沿 AC 方向以 1 cm/s 的速度 向点 C 运动， 其中一个动点到达终点， 则另一个动点也随之停止运动， 则 △APQ 的最大面 积是 （ ） A. 8 cm 2 B. 16 cm 2 C. 24 cm 2 D. 32 cm 2 5. 如图， 杂技团进行杂技表演， 演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处， 其 身体 （看成一点） 的路线是抛物线 y=- 3 5 x 2 +3x+1 的一部分 . （ 1 ） 求演员弹跳离地面的最大高度 . （ 2 ） 已知人梯高 BC=3.4 m ， 在一次表演中， 人梯到起跳点 A 的水平距离为 4 m ， 则这 次表演是否成功？ 6. 如图， 等腰梯形 ABCD 中， AB∥DC ， AB=2 ， ∠ADB=90°. （ 1 ） 试求等腰梯形 ABCD 的周长 y 与腰长 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 当腰长等于多少时， 梯形 ABCD 的周长有最大值？ 最大值是多少？ x/m O C A B y/m 第 5 题图 A B CD 第 6 题图 A E F B C M G D H 第 3 题图 第 4 题图 A P B C Q 31 九年级下册 （北师大版）数学 7. 某房地产公司要在一块地 （图中矩形 ABCD ） 上规划建造一个小区公园 （矩形 GHCK ）， 为了使文物保护区 △AEF 不被破坏， 矩形公园的顶点 G 不能在文物保护区内 . 已知 AB=200 m ， AD=160 m ， AE=60 m ， AF=40 m. （ 1 ） 当矩形公园的顶点 G 恰是 EF 的中点时， 求公园的面积 . （ 2 ） 当 G 在 EF 上什么位置时， 公园面积最大？ 能力提升 综合拓展 8. 如图， 已知 △ABC 中， AC=BC=3 2 姨 ， ∠C=90° ， AB 上有一动点 P ， 过点 P 作 PE⊥ AC 于点 E ， PF⊥BC 于点 F. （ 1 ） 设 CF=x ， 用含 x 的代数式把 Rt△AEP ， Rt△PFB 及矩形 ECFP 的面积表示出来 . （ 2 ） 当 x 取何值时， 矩形 ECFP 的面积最大？ 此时 Rt△AEP ， Rt△PFB 及矩形 ECFP 的 面积分别是多少？ 第 8 题图 A E C F B P 第 7 题图 A B H CD F K G E 32 二次函数 第二章 9. 如图， 在 △ABC 中， 已知 BC=4 ， AC=2 3 姨 ， ∠ACB=60° ， 在 BC 边上有一动点 P ， 过点 P 作 PD∥AB 与 AC 交于点 D ， 连接 AP ， 设 BP=x. （ 1 ） 求 △APD 的面积与 x 的函数关系式 . （ 2 ） 当 x 为何值时， △APD 的面积有最大值？ 并求出其最大值 . （ 3 ） 求 x 的取值范围 . 10. 如图， 有一块矩形地块 ABCD ， AB＝20 m ， BC＝30 m ， 为了美观拟种植不同的花卉 . 将矩形 ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形， 其中梯形的高相等， 均为 x m． 现决定在等 腰梯形 AEHD 和 BCGF 中种植甲种花卉， 在等腰梯形 ABFE 和 CDHG 中种植乙种花卉， 在 矩形 EFGH 中种植丙种花卉 ． 甲、 乙、 丙三种花卉的种植成本分别为 20 元 /m 2 、 60 元 /m 2 、 40 元 /m 2 ， 设三种花卉的种植总成本为 y 元 ． （ 1 ） 当 x＝5 时， 求种植总成本 y. （ 2 ） 求种植总成本 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围 . （ 3 ） 若甲、 乙两种花卉的种植面积之差不超过 120 m 2 ， 求三种花卉的最低种植总成本 ． C A B D H G E F x x x x 第 10 题图 第 9 题图 A B C D P 33 九年级下册 （北师大版）数学 * 11. 2022 年北京冬奥会的召开， 激起了人们对冰雪运动的极大热情 ． 如图是某跳台滑 雪训练场的横截面示意图， 取某一位置的水平线为 x 轴， 过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 图中的抛物线 C 1 ： y=- 1 12 x 2 + 7 6 x+1 近似表示滑雪场地上的一 座小山坡 ， 某运动员从点 O 正上方 4 m 处的 A 点滑出 ， 滑出后沿一段抛物线 C 2 ： y= - 1 8 x 2 +bx+c 运动 ． （ 1 ） 当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 m 时， 离水平线的高度为 8 m ， 求抛物线 C 2 的函数表达式 . （不要求写出自变量 x 的取值范围） （ 2 ） 在 （ 1 ） 的条件下， 当运动员运动的水平距离为多少时， 运动员与小山坡的竖直距 离为 1 米？ （ 3 ） 当运动员运动到坡顶正上方， 且与坡顶距离超过 3 m 时， 求 b 的取值范围 ． * 12. 如图， 某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构 成， 最大高度为 6 m ， 底部宽度为 12 m. 现以 O 点为原点， OM 所在直线为 x 轴建立平面直 角坐标系 . （ 1 ） 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标 . （ 2 ） 求出这条抛物线的函数表达式 . （ 3 ） 若要搭建一个矩形 “支撑架” AD — DC — CB ， 使 C ， D 两点在抛物线上， A ， B 两点在 地面 OM 上， 则这个 “支撑架” 总长的最大值是多少？ x/m y/m P D C O A B M 3 第 12 题图 x/m y/m O 水平线 跳台 4 C 1 C 2 A 第 11 题图 34 二次函数 第二章 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·菏泽） 某学校为美化学校环境， 打造绿色校园， 决定用篱笆围成一个一面靠 墙 （墙足够长） 的矩形花园， 用一道篱笆把花园分为 A ， B 两块 （如图所示）， 花园里种满 牡丹和芍药 ． 学校已订购篱笆 120 m． （ 1 ） 设计一个使花园面积最大的方案， 并求出其最大面积 . （ 2 ） 在花园面积最大的条件下， A ， B 两块内分别种植牡丹和芍药， 每平方米种植 2 株 . 已知牡丹每株售价 25 元， 芍药每株售价 15 元， 学校计划购买费用不超过 5 万元， 求最多可 以购买多少株牡丹 . 14. （ 2024 ·陕西） 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥 ． 桥梁的缆索 L 1 与缆索 L 2 均呈 抛物线型， 桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面， 如图所示， 以 O 为原点， 以直线 FF′ 为 x 轴， 以桥塔 AO 所在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 ． 已知： 缆索 L 1 所在抛物线与缆索 L 2 所在抛物线关于 y 轴对称， 桥塔 AO 与桥塔 BC 之间 的距离 OC＝100 m ， AO＝BC＝17 m ， 缆索 L 1 的最低点 P 到 FF′ 的距离 PD＝2 m． （桥塔的粗细忽 略不计） （ 1 ） 求缆索 L 1 所在抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 点 E 在缆索 L 2 上， EF⊥FF′ ， 且 EF＝2.6 m ， FO＜OD ， 求 FO 的长 ． 第 13 题图 A B 第 14 题图 y/m x/m OF D C F′ E′ B P L 1 L 2 A E 35 参考答案与提示 y＝ 1 2 x 2 - 5 2 x-3. （ 2 ） 令 y＝0 ， 则 1 2 x 2 - 5 2 x-3=0. 解得 x 1 ＝-1 ， x 2 ＝6. ∴ 点 B 的坐标为 （6 ， 0 ） . ∴BC= OB 2 +OC 2 姨 =3 5 姨 . 设直线 BC 的表达式为 y＝mx+n ， 将点 B （ 6 ， 0 ）， C （ 0 ， -3 ） 坐标 代入， 得 6m+n=0 ， n=-3 3 . 解得 m= 1 2 ， n=-3 3 . ∴ 直线 BC 的表达式为 y＝ 1 2 x-3. 如图， 过点 P 作 PD⊥x 轴交 BC 于点 D， 设点 P 的坐标为 x ， 1 2 x 2 - 5 2 x- - % 3 ， 则点 D 的坐标为 x ， 1 2 x- - % 3 ， ∴PD= 1 2 x-3- 1 2 x 2 - 5 2 x- - % 3 =- 1 2 x 2 +3x . ∴S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝ 1 2 ×PD×OB= 1 2 ×6 - 1 2 x 2 +3 % x ＝ - 3 2 （x-3 ） 2 + 27 2 . ∵- 3 2 ＜0 ， ∴S △PBC 有最大值 . ∴△PBC 面积的最大值为 27 2 . ∴PN= 2S △PBC BC = 27 3 5 姨 = 9 5 姨 5 . 12. （ 1 ） 解： 当 m＝-1 时， 二次函数 y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 （ 1 ， 0 ） 和 （ -3 ， 0 ）， ∴ a+b+3=0 ， 9a-3b+3=0 3 . 解得 a=-1 ， b=-2 3 . ∴a 的值是 -1 ， b 的值是 -2. （ 2 ） 解： ∵y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 （ -m ， 0 ） 和 （ 3m ， 0 ）， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝m. ∵y＝ax 2 +bx+3 的图象过点 A （ n ， 3 ）， （ 0 ， 3 ）， 且点 A 不在坐标轴上， ∴ 由图象的对称性得 n＝2m. ∴m＝ n 2 . ∵-2＜m＜-1 ， ∴-2＜ n 2 ＜-1. ∴-4＜n＜-2. （ 3 ） 证明： ∵ 抛物线经过 （ -m ， 0 ）， （ 3m ， 0 ）， ∴ 抛物线的对称轴为直 线 x＝ -m+3m 2 ＝m. ∴- b 2a ＝m. ∴b＝-2am. 把 （ -m ， 0 ）， （ 3m ， 0 ） 代入 y＝ax 2 +bx+3 ， 得 am 2 -bm+3=0 ， ① 9am 2 +3bm+3=0. 3 ② 将 ①×3+ ② ， 得 12am 2 +12＝0. ∴am 2 +1＝0. ∴b 2 +4a＝ （ -2am ） 2 +4a＝4a （ am 2 +1 ） ＝4a×0＝0． 13. 解： 探究发现： x=5t ， y=- 1 2 t 2 +12t. 问题解决： （ 1 ） 依题意， 得 - 1 2 t 2 +12t=0． 解得 t 1 ＝24 ， t 2 ＝0 （舍） . 当 t＝24 时， x＝120． 答： 飞机落到安全线时 飞行的水平距离为 120 m． （ 2 ） 设发射平台相对于安全线的高度为 n m ， 飞机相对于安全线的飞行高度 y′＝- 1 2 t 2 + 12t+n. ∵125＜x＜130 ， ∴125＜5t＜130. ∴25＜t＜26． 在 y′＝- 1 2 t 2 +12t+n 中， 当 t＝25 ， y′＝0 时， n＝12.5 ； 当 t＝26 ， y′＝0 时， n＝26． ∴12.5＜n＜26． 答： 发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12.5 m 且小于 26 m． 14. 解： （ 1 ） ∵ 二次函数为 y＝x 2 +bx+c ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=- b 2 =- 1 2 ， ． ∴b＝1． ∴ 二次函数的表达式 为 y＝x 2 +x+c． 又 ∵ 函数图象经过点 A （ -2 ， 5 ）， ∴4-2+c＝5． ∴c＝3． ∴ 二次函数的表达式为 y＝x 2 +x+3． （ 2 ） 由题意， ∵ 点 B （ 1 ， 7 ） 向上平移 2 个单位长度、 向左平移 m 个单位长度 （ m＞0 ）， ∴ 平移后的点为 （ 1-m ， 9 ） ． 又 ∵ （ 1-m ， 9 ） 在 二次函数 y＝x 2 +x+3 的图象上， ∴9＝ （ 1-m ） 2 + （ 1-m ） +3． ∴m＝4 或 m＝-1 （舍去） ． ∴m＝4． （ 3 ） 由题意， 二次函数 y＝ x 2 +x+3 图象的对称轴为直线 x=- 1 2 ， 当 n<- 1 2 时， 最大值与最小值的差为 （ -2 ） 2 -2+3- （ n 2 +n+3 ） = 9 4 ． ∴n 1 =n 2 =- 1 2 （不符合题意， 舍去） ． 当 - 1 2 ≤n≤1 时， y＝x 2 +x+3= x+ 1 2 - % 2 + 11 4 . ∴ 最大值与最小值的差为 （ -2 ） 2 -2+3- 11 4 = 9 4 ， 符 合题意 ． 当 n＞1 时， 最大值与最小值的差为 n+ 1 2 - % 2 + 11 4 - 11 4 = 9 4 ， 解得 n 1 ＝1 或 n 2 ＝-2 ， 不符合题意 ． 综上所述， n 的取值范围为 - 1 2 ≤n≤1． 4 二次函数的应用 （第 1 课时） 1. 625 m 2 25 m ， 25 m 2. y=- 1 2 x 2 +x 0<x<2 1 1 2 3. 2 提示： 设 EF=x m ， EG=y m ， 由三角形相似的 性质， 得 y=4- 2 3 x. ∴S 矩形 EGHF =EG · EF=x 4- 2 3 - % x =- 2 3 x 2 +4x. 当 x=3 时， S 矩形 EGHF 最大， 此时 y=2. 4. B 5. 解： （ 1 ） y=- ３ ５ x 2 +3x+1=- 3 5 x- 5 2 - % 2 + 19 4 . ∵- 3 5 <0 ， ∴ 当 x= 5 2 时， 函数的最大值是 19 4 ， 即演员弹跳的最 大高度是 4.75 m. （ 2 ） 当 x=4 时， y=- 3 5 ×4 2 +3×4+1=3.4 ， ∴ 这次表演成功 ． 6. 解： （ 1 ） 如图， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， 则 △ADE∽△ABD. ∴AD 2 =AE · AB. ∴AE= 1 2 x 2 . ∴DC=AB－2AE= 2－x 2 . ∴y=－x 2 +2x+4. （ 2 ） ∵y=－x 2 +2x+4=－ （ x－1 ） 2 +5 ， ∴ 当 x=1 时， y 最大 =5. 第 11 题答图 A x O y C N B P D 209 九年级下册 （北师大版）数学 7. 解： 如图 ， 延长 HG ， KG 分别交 AD ， AB 于点 M ， N. （ 1 ） ∵G 是 EF 的中点 ， ∴MG= 1 2 AE=30 m ， GN= 1 2 FA=20 m. ∴S 矩 形 KGHC =HG · KG= （ 200－30 ） × （ 160－20 ） =23 800 （ m 2 ） . （ 2 ） 设 MG=x m ， 则 GH= （ 200－x ） m. 由 △FAE∽△FMG 得 FM= 2 3 x m ， MA= 40- 2 3 3 $ x m （ 0≤x≤60 ） . ∴S 矩形 KGHC = （ 200－x ） 160- 40- 2 3 3 $ x x ( =－ 2 3 x 2 + 40 3 x+24 000. 当 x= 10 ， 即 MG=10 时， S 矩形 KGHC 最大， 此时 FM= 2 3 ×10= 20 3 . ∴FG= MG 2 +FM 2 姨 = 10 3 13 姨 . ∴ 当 点 G 在 EF 上距 F 点 10 3 13 姨 m 时， 公园面积最大 . 8. 解： （ 1 ） S △AEP = 1 2 x 2 ， S △PFB = 1 2 （ 3 2 姨 －x ） 2 ， S 矩形 ECFP =x （ 3 2 姨 －x ） =－x 2 +3 2 姨 x. （ 2 ） S 矩形 ECFP =－ x- 3 2 姨 2 3 2 2 + 9 2 ， 当 x= 3 2 姨 2 时， S 矩形 ECFP 最大 = 9 2 ， S △AEP =S △PFB = 1 2 × 3 2 姨 2 3 2 2 = 9 4 . 9. 解： （ 1 ） 如图， 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AC=2 3 姨 ， ∠ACB=60° ， 则 AE= 3. 又 ∵PD∥AB ， 易证 △ABC∽△DPC. ∴ CD AC = PC BC . ∴CD= 3 姨 2 （ 4-x ） . 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F ， ∴ DF AE = CD AC = PC BC . ∴DF= 3 4 （ 4-x ） . ∴S △APD = S △APC －S △PCD = 1 2 AE · PC－ 1 2 DF · PC= 1 2 PC （ AE－DF ） = 1 2 （ 4－x ） 3- 3 4 （ 4-x x ( ） =- 3 8 x 2 + 3 2 x. （ 2 ） 当 x=2 时， S △APD 最大， 最大 值为 ３ 2 . （ 3 ） 0＜x＜4. 10. 解： （ 1 ） x＝5 时， EF＝20-2x＝10 ， EH＝30-2x＝20. y＝2× 1 2 （ EH+AD ）· x · 20+2 · 1 2 （ GH+CD ）· x · 60+EF · EH · 40＝ （ 20+30 ） ×5×20+ （ 10+20 ） ×5×60+20×10×40＝22 000 （元） . （ 2 ） ∵EF＝20-2x ， EH＝30-2x ， ∴y＝2 · 1 2 （ EH+AD ）· x · 20+2 · 1 2 （ GH+CD ）· x · 60+EF · EH · 40 ， 得 y＝ （ 30+30-2x ）· x · 20+ （ 20+20-2x ）· x · 60+ （ 30-2x ）（ 20-2x ）· 40＝-400x+24 000 （ 0＜x＜10 ） . （ 3 ） 由题意， 得 S 甲 ＝2 · 1 2 （ EH+AD ）· x＝ （ 30+30-2x ） x＝-2x 2 +60x ， 同理 S 乙 ＝-2x 2 +40x. ∵ 甲、 乙两种花 卉的种植面积之差不超过 120 m 2 ， ∴-2x 2 +60x- （ -2x 2 +40x ） ≤120. 解得 x≤6. 故 0＜x≤6. y＝-400x+24 000 ， ∵k＝-400< 0 ， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x＝6 时， y 的最小值为 21 600. ∴ 三种花卉的最低种植总成本为 21 600 元 ． * 11. 解： （ 1 ） 由题意可知抛物线 C 2 ： y=- 1 8 x 2 +bx+c 过点 （ 0 ， 4 ） 和 （ 4 ， 8 ）， 则 c=4 ， - 1 8 ×4 2 +4b+c=8 8 . 解得 b= 3 2 ， c=4 8 . ∴ 抛物线 C 2 的函数表达式为 y=- 1 8 x 2 + 3 2 x+4. （ 2 ） 设运动员运动的水平距离为 n m 时， 运动员与小山坡的竖直 距离为 1 m ， 依题意， 得 - 1 8 n 2 + 3 2 n+4- - 1 12 n 2 + 7 6 n+ 3 2 1 =1. 整理这个方程， 得 n 2 -8n-48=0 ， 解得 n 1 ＝12 ， n 2 ＝-4 （舍 去） . 故运动员运动的水平距离为 12 m 时， 运动员与小山坡的竖直距离为 1 m. （ 3 ） 将抛物线 C 1 的表达式配方， 得 y=- 1 12 （ x-7 ） 2 + 61 12 . 由题意， 当 x＝7 时， 运动员到达坡顶正上方， 运动员与坡顶的距离超过 3 m ， 即 - 1 8 ×7 2 + 7b+4>３+ 61 12 . 解得 b＞ 35 24 ． * 12. 解： （ 1 ） M （ 12 ， 0 ）， P （ 6 ， 6 ） . （ 2 ） 设函数表达式为 y=a （ x-6 ） 2 +6 ， ∵ 抛物线 y=a （ x－6 ） 2 +6 经过点 （ 0 ， 3 ）， ∴3=a （ 0－6 ） 2 +6 ， 即 a=- 1 １2 . ∴y=- 1 １2 （ x-6 ） 2 +6 . 即 y=- 1 １2 x 2 +x+3. （ 3 ） 设 A （ t ， 0 ）， 则 B （ 12- t ， 0 ）， C 12－t ， - 1 12 t 2 +t+ 3 2 3 ， D t ， - 1 12 t 2 +t+ 3 2 3 . ∴AD+DC+CB= - 1 12 t 2 +t+ 3 2 3 + （ 12-2t ） + - 1 12 t 2 +t+ 3 2 3 =- 1 6 t 2 +18. ∵ 此二次函数 的图象开口向下， ∴ 当 t=0 时， AD+DC+CB 有最大值为 18. 13. 解： （ 1 ） 设垂直于墙的边为 x m ， 围成的矩形面积为 S m 2 ， 则平行于墙的边为 （ 120-3x ） m. 根据题意， 得 S＝x （ 120-3x ） ＝-3x 2 +120x＝-3 （ x-20 ） 2 +1 200 ， ∵-3＜0 ， ∴ 抛物线开口向下 . ∴ 当 x＝20 时， S 最大 =1 200. ∴120-3x＝ 120-3×20＝60. ∴ 垂直于墙的边为 20 m ， 平行于墙的边为 60 m ， 花园面积最大为 1 200 m 2 . （ 2 ） 设购买牡丹 m 株， 则购买芍药 1 200×2-m＝ （ 2 400-m ） 株 . ∵ 学校计划购买费用不超过 5 万元， ∴25m+15 （ 2 400-m ） ≤50 000 ， 解得 m≤1 400. ∴ 最多可以购买 1 400 株牡丹 ． 14. 解： （ 1 ） 由题意， ∵AO＝17 m ， ∴A （ 0 ， 17 ） ． 又 ∵OC＝100 m ， 缆索 L 1 的最低点 P 到 FF′ 的距离 PD＝2 m ， ∴ 第 6 题答图 A B CD E 第 7 题答图 A B H CD F K G E M N 第 9 题答图 A B C D P E F 210 参考答案与提示 抛物线的顶点 P 的坐标为 （ 50 ， 2 ） ． ∴ 设抛物线的表达式为 y＝a （ x-50 ） 2 +2． 又将 A （ 0 ， 17 ） 的坐标代入抛物线的表 达式中， 得 2 500a+2＝17． ∴a＝ 3 500 ． ∴ 缆索 L 1 所在抛物线的表达式为 y＝ 3 500 （ x-50 ） 2 +2． （ 2 ） ∵ 缆索 L 1 所在抛物 线与缆索 L 2 所在抛物线关于 y 轴对称， 且缆索 L 1 所在抛物线为 y＝ 3 500 （ x-50 ） 2 +2 ， ∴ 缆索 L 2 所在抛物线为 y＝ 3 500 （ x+50 ） 2 +2． 又令 y＝2.6 ， ∴2.6＝ 3 500 （ x+50 ） 2 +2． 解得 x 1 ＝-40 ， x 2 ＝-60． 又 ∵FO＜OD＝50 m ， ∴x＝-40． ∴FO 的长为 40 m． 4 二次函数的应用 （第 2 课时） 1. 1 550 2. 25 3. D 4. C 5. 解： （ 1 ） 由题意， 得 y= （ x－30 ）（ 162－3x ） =－3x 2 +252x－4 860. （ 2 ） y=－3 （ x－42 ） 2 +432 ， 故每件商品的销售价 定为 42 元时， 每天获得的利润最大， 最大利润为 432 元 . 6. 解： （ 1 ） y=5x－ x 2 2 － （ 0.25x+0.5 ） =－ x 2 2 +4.75x－0.5 （ 0≤x≤5 ） . （ 2 ） 当 x=4.75 ， 即年产量是 475 台时， 工厂 所得利润最大 . 7． 解： 设涨价 x 元， 则每天所赚利润 y= （ 100－10x ）（ 2+x ） =－10x 2 +80x+200 ， 当 x=4 时， y 最大 =360 元 . ∴12+4= 16 （元）， 即折叠伞的售价为 16 元时， 利润最大， 为 360 元 . 8． 解： （ 1 ） y=－0.1 （ x－13 ） 2 +59.9. 当 0≤x≤13 时， 学生的接受能力逐渐增强； 当 13＜x≤30 时， 学生的接受 能力逐渐下降 . （ 2 ） 当 x=10 时， y=59. （ 3 ） 当 x=13 时， y 最大 =59.9. 9. 解： （ 1 ） 通过描点、 连线， 发现 y 与 x 之间是一次函数的关系， ∴ 设一次函数表达式为 y=kx+b ， 根据题 意得 15k+b=25 ， 20k+b=20 0 . 解得 k=-1 ， b=40 0 . ∴y=－x+40 ， 将表中另外两对数值代入 y=－x+40 中， 均满足， ∴y=－x+40 能反映表中 y 随自变量 x 的变化规律， 即为所求的函数表达式， 自变量的取值范围为 0≤x≤40. （ 2 ） 设销售利润为 P ， 则根 据题意， 得 P= （ x－10 ） y= （ 40－x ）（ x－10 ） =－x 2 +50x－400=－ （ x－25 ） 2 +225 ， 当 x=25 时， P 最大 =225 元 . 10. 解： （ 1 ） 根据题意 ， 得 R 1 =P （ Q 1 －20 ） = （ -2x+80 ） 1 2 x+3 3 $ 0 -2 2 & 0 =－x 2 +20x+800 （ 1≤x≤20 ， 且 x 为整 数）， R 2 =P （ Q 2 －20 ） = （ －2x+80 ）（ 45－20 ） =－50x+2 000 （ 21≤x≤30 ， 且 x 为整数） . （ 2 ） 在 1≤x≤20 ， 且 x 为整数 时， ∵R 1 = － （ x－10 ） 2 +900 ， ∴ 当 x=10 时， R 1 的最大值为 900. 在 21≤x≤30 ， 且 x 为整数时， ∵ 在 R 2 =－50x+2 000 中， R 2 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 当 x=21 时， R 2 的最大值是 950. ∵950>900 ， ∴ 当 x=21 ， 即在第 21 天时， 日 销售利润最大， 最大值为 950 元 ． 11. 解： （ 1 ） （ 30-0.2m ） （ 26-0.2n ） （ 2 ） y A = （ 50+m ）（ 30-0.2m ）， 即 y A =－0.2m 2 +20m+1 500 ， y B = （ 60+n ）（ 26- 0.2n ）， 即 y B =－0.2n 2 +14n+1 560. （ 3 ） 由 （ 2 ） 得 y A =－0.2m 2 +20m+1 500=－0.2 （ m－50 ） 2 +2 000. ∵-0.2<0 ， ∴ 当 m=50 时， y A 有最大值， 但 m≤50×80% ， 即 m≤40 ， ∴ 当 m=40 时， y A 的最大值为 1 980. y B =－0.2n 2 +14n+1 560=－0.2 （ n－ 35 ） 2 +1 805. ∵-0.2<0 ， ∴ 当 n=35 时， y B 有最大值， 并且 n≤60×80% ， 即 n≤48 ， ∴ 当 n=35 时， y B 的最大值为 1 805． 又 ∵1 980>1 805 ， ∴ 小李增种 A 种作物可获得最大总产量， 最大总产量是 1 980 千克 ． * 12. 解： （ 1 ） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b ， 将 （ 20 ， 15 ）， （ 30 ， 12.5 ） 代入函数关系式 ， 得 20k+b=15 ， 30k+b=12.5 0 . 解得 k=- 1 4 ， b=20 0 . ∴y=- 1 4 x+20. （ 2 ） P= （ 1-20% ） x · - 1 4 x+20 3 0 =-0.2x 2 +16x. （ 3 ） 设利润为 W 万元， 则 W=-0.2x 2 +16x- （ 50+0.2x ） -6.2x. 整理得 W=-0.2x 2 +9.6x-50 ， 配方得 W=-0.2 （ x-24 ） 2 +65.2. ∵-0.2＜0 ， ∴ 抛物线开口 向下， W 有最大值 . ∴ 当 x=24 时， W 最大 = 65.2. 答： 原料的质量为 24 t 时， 所获销售利润最大， 最大销售利润是 65.2 万元 . 鄢 13. 解： （ 1 ） 根据观察可设 y 1 =at 2 +bt ， 将 （ 5 ， 25 ）， （ 10 ， 40 ） 代入得 25a+5b=25 ， 100a+10b=40 0 . 解得 a=- 1 5 ， b=6 0 . ∴y 1 =- 1 5 t 2 + 6t. 将其他 t ， y 1 的对应值代入该式中， 均满足， ∴y 1 与 t 的函数关系式为 y 1 =- 1 5 t 2 +6t （ 0≤t≤30 ， 且为整数） . （ 2 ） 当 0≤t≤10 时， 设 y 2 =kt ， ∵ （ 10 ， 40 ） 在其图象上， ∴10k=40. ∴k=4. ∴y 2 与 t 的函数关系式为 y 2 =4t. 当 10＜ t≤30 时， 设 y 2 =mt+n ， 将 （ 10 ， 40 ）， （ 30 ， 60 ） 代入得 10m+n=40 ， 30m+n=60 0 . 解得 m=1 ， n=30 0 . ∴y 2 与 t 的函数关系式为 y 2 =t+ 30. 综上所述， y 2 = 4t （ 0≤t≤10 ， 且为整数）， t+30 （ 10<t≤30 ， 且为整数） 0 . （ 3 ） 依题意得 y=y 1 +y 2 ， 当 0≤t≤10 时， y=- 1 5 t 2 +6t+4t=- 1 5 t 2 + 10t=- 1 5 （ t-25 ） 2 +125. ∵a=- 1 5 ＜0 ， ∴ 当 t＜25 时， y 的值随 t 的增大而增大 . 又 ∵0≤t≤10 ， ∴ 当 t=10 时， y 最大 =- 1 5 × （ 10-25 ） 2 +125=80 ； 当 10＜t≤30 时， y=- 1 5 t 2 +6t+t+30=- 1 5 t 2 +7t+30=- 1 5 t- 35 2 2 0 2 + 365 4 . ∵t 为整数， ∴t=17 或 18 时， y 最大 =91.2. ∵91.2＞80 ， ∴ 当 t=17 或 18 时， y 最大 =91.2. 211