2 二次函数的图象与性质(第4课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 若 A -10 3 ， y 11 " ， B - 1 2 ， y 21 " ， C 5 3 ， y 31 " 是二次函数 y=-x 2 -2x+3 的图象上的三 点， 则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 （ ） A. y 1 <y 2 <y 3 B. y 3 <y 2 <y 1 C. y 3 <y 1 <y 2 D. y 2 <y 1 <y 3 【分析】 由 A ， B ， C 三点的横坐标求出纵坐标即可直接比较大小， 基本思路是把 x=- 10 3 ， x=- 1 2 ， x= 5 3 分别代入 y=-x 2 -2x+3 中， 得 y 1 =- 13 9 ， y 2 = 15 4 ， y 3 =- 28 9 ， 进而得到 y 3 ＜y 1 ＜y 2 ； 还可 以根据二次函数 y=-x 2 -2x+3 的图象的对称性和 A - 10 3 ， y 11 " ， B - 1 2 ， y 21 " ， C 5 3 ， y 31 " 离对称 轴的距离远近来比较大小， 基本思路如下： 由表达式 y=-x 2 -2x+3 得到抛物线开口向下， 对称 轴为 x=- b 2a =-1 ， 我们将已知的三点按离对称轴 x=-1 的距离由远到近的顺序排列为 C 5 3 ， y 31 " ， A - 10 3 ， y 11 " ， B - 1 2 ， y 21 " ， 再根据抛物线的开口方向， 很容易得到 y 3 ＜y 1 ＜y 2 . 此题还可以通 过二次函数图象在对称轴两侧的增减性来比较大小， 基本思路如下： 先确定二次函数 y= -x 2 -2x+3 图象的开口向下， 对称轴 x=- b 2a =-1 ， 然后根据 B - 1 2 ， y 21 " ， C 5 3 ， y 31 " 两点的横 坐标大于 -1 ， 判断这两点在对称轴 x=-1 的右侧， 点 A - 10 3 ， y 11 " 的横坐标小于 -1 ， 判断点 A 在对称轴的左侧， 再求出点 A 关于直线 x=-1 的对称点 A′ 的横坐标为 （ -1 ） - - 10 3 1 " + （ -1 ） = 4 3 ， 根据对称性知 A 和 A′ 的纵坐标相等， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小， 所以当 5 3 ＞ 4 3 ＞- 1 2 时， 有 y 3 ＜y 1 ＜y 2 . 【解答】 C 【点拨】 比较二次函数的函数值的大小时， 最直接的方法是代入求值， 但计算烦琐； 而 最巧妙的方法是根据图象的开口方向和图象上点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的 大小； 还可以思考各点是否在对称轴同侧， 若是同侧可直接利用函数的增减性判断， 若是各 点不在对称轴同侧， 一般利用抛物线的对称性， 将所有的点转化到对称轴的同侧， 再根据函 数的增减性比较大小 . 2 二次函数的图象与性质 （第 4课时） 17 九年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 从半径为 20 cm 的圆面的中心挖去一个半径为 r cm 的圆面 （如图）， 那么剩下的圆环面积 y （ cm 2 ） 与 r 之间的函数关系式为 ， 该函 数的图象是顶点为 的抛物线的一部分 . 2. 抛物线 y=-2x 2 -4x+3 的顶点坐标为 . 3. 已知二次函数 y=x 2 +bx+3 ， 当 x=-1 时， y 取得最小值， 则这个二次 函数图象的顶点在 （ ） Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 4. 二次函数 y=ax 2 +bx （ a>0 ， b<0 ） 的图象在平面直角坐标系中的位置大致是 （ ） 5. 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=x 2 -4x+5 与 y 轴交于点 C ， 则该抛物线关于点 C 成中 心对称的抛物线的表达式为 （ ） A. y=-x 2 -4x+5 B. y=x 2 +4x+5 C. y=-x 2 +4x-5 D. y=-x 2 -4x-5 6. 确定下列二次函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标 . （ 1 ） y=3x 2 +2x ； （ 2 ） y=-4x 2 +8x+3 ； （ 3 ） y= 1 2 x 2 -2x-1 ； （ 4 ） y=- 1 3 x 2 +2x+ 5 2 . 第 1 题图 x y O x y O x y O x y O A B C D 20 r 18 二次函数 第二章 7. 如图， 已知抛物线 y=-x 2 +mx+3 经过点 M （ -2 ， 3 ） ． （ 1 ） 求 m 的值， 并求出此抛物线的顶点坐标 . （ 2 ） 当 -3≤x≤0 时， 直接写出 y 的取值范围 ． 8. 如图， 抛物线 y=a （ x-1 ） 2 +4 （ a≠0 ） 与 x 轴交于点 A ， B ， 与 y 轴交于点 C ， 过点 C 作 CD∥x 轴交抛物线的对称轴于点 D ， 连接 BD ， 已知点 A 的坐标为 （ -1 ， 0 ） . （ 1 ） 求该抛物线的函数表达式 . （ 2 ） 求梯形 COBD 的面积 . 能力提升 综合拓展 9. 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 （ 1 ， m ）， （ 3 ， n ） 在抛物线 y=ax 2 +bx+c （ a＞0 ） 上， 设 抛物线的对称轴为 x=t. （ 1 ） 当 c=2 ， m=n 时， 求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值 . （ 2 ） 点 （ x 0 ， m ） （ x 0 ≠1 ） 在抛物线上， 若 m＜n＜c ， 求 t 的取值范围及 x 0 的取值范围 . x y O C D A B 第 8 题图 x y O M 第 7 题图 19 九年级下册 （北师大版）数学 10. 如图 1 是某段河床横断面的示意图 . 查阅该河段的水文资料， 得到下表中的数据： （ 1 ） 请你以上表中的各对数据 （ x ， y ） 作为点的坐标， 尝试在图 2 所示的平面直角坐标 系中画出 y 关于 x 的函数图象 . （ 2 ） 填写下表： 根据所填表中数据呈现的规律， 猜想出用 x 表示 y 的二次函数 的表达式 . （ 3 ） 当水面宽度为 36 m 时， 一艘吃水深度 （船底部到水面的距离） 为 1.8 m 的货船能 否安全通过这个河段？ 为什么？ 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·牡丹江） 将抛物线 y=ax 2 +bx+3 向下平移 5 个单位长度后， 得到的新抛物线经 过点 （ -2 ， 4 ）， 则 6a-3b-7= . 12. （ 2024 ·内江） 已知二次函数 y=x 2 -2x+1 的图象向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C ， 点 P （ 2 ， y 1 ）， Q （ 3 ， y 2 ） 在抛物线 C 上， 则 y 1 （填 “ ＞ ” 或 “ ＜ ”） y 2 ． 13. （ 2024 ·成都） 在平面直角坐标系 xOy 中， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ） 是二次函 数 y=-x 2 +4x-1 图象上三点 ． 若 0＜x 1 ＜1 ， x 2 ＞4 ， 则 y 1 （填 “ ＞ ” 或 “ ＜ ”） y 2 ； 若对于 m＜ x 1 ＜m+1 ， m+1＜x 2 ＜m+2 ， m+2＜x 3 ＜m+3 ， 存在 y 1 ＜y 3 ＜y 2 ， 则 m 的取值范围是 . 14. （ 2024 ·南通） 将抛物线 y=x 2 +2x-1 向右平移 3 个单位长度后得到新抛物线的顶点坐 标为 （ ） A． （ -4 ， -1 ） B． （ -4 ， 2 ） C． （ 2 ， 1 ） D． （ 2 ， -2 ） x/m 5 10 20 30 40 50 y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5 x 5 10 20 30 40 50 x 2 y 14 12 10 8 6 4 2 y/m x/m 102030405060 O y x x 图 1 图 2 第 10 题图 20 二次函数 第二章 15. （ 2024 ·贵州） 如图， 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横坐标 是 -3 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 4 ）， 则下列说法正确的是 （ ） A． 二次函数图象的对称轴是直线 x=1 B． 二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 2 C． 二次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3 D． 当 x＜-1 时， y 随 x 的增大而减小 16. （ 2024 ·甘孜州） 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a＞0 ） 的图象如图所 示， 给出下列结论： ①c＜0 ； ②- b 2a ＞0 ； ③ 当 -1＜x＜3 时， y＜0． 其中所 有正确结论的序号是 （ ） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 17. （ 2023 ·北京） 在平面直角坐标系 xOy 中， M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ） 是抛物线 y＝ax 2 +bx+c （ a＞0 ） 上任意两点， 设抛物线的对称轴为 x＝t． （ 1 ） 若对于 x 1 ＝1 ， x 2 ＝2 ， 有 y 1 ＝y 2 ， 求 t 的值 . （ 2 ） 若对于 0＜x 1 ＜1 ， 1＜x 2 ＜2 ， 都有 y 1 ＜y 2 ， 求 t 的取值范围 ． 18. （ 2024 ·安徽） 已知抛物线 y＝-x 2 +bx （ b 为常数） 的顶点横坐标比抛物线 y＝-x 2 +2x 的 顶点横坐标大 1． （ 1 ） 求 b 的值 . （ 2 ） 点 A （ x 1 ， y 1 ） 在抛物线 y＝-x 2 +2x 上， 点 B （ x 1 +t ， y 1 +h ） 在抛物线 y＝-x 2 +bx 上 ． ① 若 h＝3t ， 且 x 1 ≥0 ， t＞0 ， 求 h 的值； ② 若 x 1 ＝t-1 ， 求 h 的最大值 ． x y O-3 （ -1 ， 4 ） 第 15 题图 x y O-1 3 第 16 题图 21 九年级下册 （北师大版）数学 达式为 y＝ 1 2 x+2. （ 2 ） 在 y＝ 1 2 x+2 中， 令 x＝0 ， 则 y＝2. ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 2 ）， ∴OC＝2. ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝ 1 2 ×2×2+ 1 2 ×2×4＝6． （ 3 ） 4 提示： ∵S △PAB = 1 2 S △AOB ， △PAB 和 △AOB 是同底 AB ， ∴△PAB 的高是 △AOB 的一半 . ∴ 过 OC 的中点， 作 AB 的平行线交抛物线于点 P 1 ， P 2 ， 再作直线 P 1 P 2 关于直线 AB 的对称直线， 交抛物线于点 P 3 ， P 4 ， ∴ 这样的 点 P 共有 4 个 . 2 二次函数的图象与性质 （第 3 课时） 1. - 1 3 ， 1 2 2 # 直线 x=- 1 3 y=3x 2 +2x+ 5 6 2. －2 －5 3. （ 0 ， 0 ） （ －1 ， 5 ） 4. 向上 （ －3 ， －2 ） 直线 x=－3 5. ＜2 ＞2 =2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 向上 ， 直线 x=4 ， （ 4 ， －2 ） . （ 2 ） 向下 ， 直线 x=－2 ， （ －2 ， －7 ） . （ 3 ） 向上 ， 直线 x=－3 ， （ －3 ， 1 ） . （ 4 ） 向下， 直线 x=－ 1 2 ， - 1 ２ ， ２ ５ 2 $ . 10. （ 1 ） 画图略 . 最大值是 3. （ 2 ） 画图略 . 最小值是 －4. 11. 解： （ 1 ） ∵y=－x 2 －2x+1=－ （ x+1 ） 2 +2 ， ∴ 已知抛物线的顶点坐标为 （ －1 ， 2 ） . 将点 （ －1 ， 2 ） 向下、 向左都 平移 3 个单位长度到达点 （ －4 ， －1 ）， 因此所求抛物线的顶点为 （ －4 ， －1 ） . ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x+4 ） 2 －1 ， 即 y= －x 2 －8x－17. （ 2 ） ∵ 新抛物线与已知抛物线关于 y 轴对称， ∴ 已知抛物线顶点与新抛物线顶点关于 y 轴对 称， ∴ 新抛物线顶点坐标为 （ 1 ， 2 ）， ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x－1 ） 2 +2=－x 2 +2x+1. * 12. 解： （ 1 ） 设抛物线 y=a （ x－4 ） 2 +3.6 ， 由该抛物线经过点 （ 0 ， 2 ）， ∴ 可得 a=－0.1. 当 y=0 时， －0.1 （ x－4 ） 2 + 3.6=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =－2 （不合题意， 舍去）， ∴x=10. （ 2 ） 推铅球时沿与水平方向成 45° 方向用力推出， 可以 将铅球推得更远 . 13. （ 0 ， 2 ） 14. （ 1 ， 2 ） 15. B 16. C 17. D 18. C 2 二次函数的图象与性质 （第 4 课时） 1. y=400π－πr 2 （ 0 ， 400π ） 2. （ －1 ， 5 ） 3. B 4. C 5. A 6. （ 1 ） 开口向上， 直线 x=－ 1 ３ ， - 1 ３ ， - 1 ３ ３ $ . （ 2 ） 开口向下， 直线 x=1 ， （ 1 ， 7 ） . （ 3 ） 开口向上， 直 线 x=2 ， （ 2 ， －3 ） . （ 4 ） 开口向下， 直线 x=3 ， ３ ， １１ ２ 2 $ . 7. 解： （ 1 ） 把 M （ -2 ， 3 ） 的坐标代入 y=-x 2 +mx+3 ， 得 -4-2m+3=3. 解得 m=-2. ∴y=-x 2 -2x+3=- （ x+1 ） 2 +4. ∴ 抛 物线的顶点坐标为 （ -1 ， 4 ） . （ 2 ） ∵y=- （ x+1 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线开口向下， 有最大值 4. ∵ 当 x=0 时， y=3 ， 当 x=-3 时， y=0 ， ∴ 当 -3≤x≤0 时， y 的取值范围是 0≤y≤4． 8． 解： （ 1 ） 将 A （ -1 ， 0 ） 代入 y=a （ x-1 ） 2 +4 中， 得 0=4a+4. 解得 a=-1 ， 则抛物线表达式为 y=- （ x-1 ） 2 +4. （ 2 ） 对于 y=- （ x-1 ） 2 +4 ， 令 x=0 ， 得到 y=3 ， 即 OC=3. ∵ 抛物线 y=- （ x-1 ） 2 +4 的对称轴为直线 x=1 ， ∴CD=1. ∵A （ -1 ， 0 ）， ∴B （ 3 ， 0 ）， 即 OB=3 ， 则 S 梯形 ＣOBD = （ 1+3 ） ×3 2 =6． 9. 解： （ 1 ） 将点 （ 1 ， m ）， （ 3 ， n ） 的坐标代入抛物线表达式， 得 m=a+b+c ， n=9a+3b+c c . ∵m=n ， ∴a+b+c=9a+3b+c. 整理 得 b=－4a ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=－ b 2a =－ -4a 2a =2. ∴t=2. ∵c=2 ， ∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为 （ 0 ， 2 ） ． （ 2 ） ∵m＜n＜c ， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c ， 解得 -4a＜b＜-3a ， ∴3a＜－b＜4a ， ∴ 3a 2a ＜- b 2a ＜ 4a 2a ， 即 3 2 ＜t＜2． ∵ 点 （ x 0 ， m ） （ x 0 ≠ 1 ） 在抛物线上， ∴m=ax 2 0 +bx 0 +c. 当 t= 3 2 时， 即 b 2a =- 3 2 ， 由 （ 1 ） 知 m=a+b+c ， 解得 x 0 =2 ； 当 t=2 时， 即 b 2a =-2 ， 解得 x 0 =3 ， ∴x 0 的取值范围为 2＜x 0 ＜3． 10. 解： （ 1 ） 如图： （ 2 ） 填表： x 5 10 20 30 40 50 x 2 y 200 200 200 200 200 200 14 12 10 8 6 4 2 y/m x/m 102030405060 O 第 10 题答图 206 参考答案与提示 y= 1 200 x 2 . （ 3 ） 当水面宽度为 36 m 时， 相应的 x 为 18 ， 此时水面中心的高度 y＝ 1 200 ×18 2 =1.62. 因为货船吃水深 度为 1.8 m ， 显然， 1.62<1.8 ， 所以当水面宽度为 36 m 时， 该货船不能安全通过这个河段 . 11. 2 12. < 13. > - 1 2 <m<1 提示： ∵y=-x 2 +4x-1=- （ x-2 ） 2 +3 ， ∴ 二次函数 y=-x 2 +4x-1 图象的对称轴为直线 x=2 ， 开口向 下 . ∵0＜x 1 ＜1 ， x 2 ＞4 ， ∴2-x 1 ＜x 2 -2. ∴ （ x 1 ， y 1 ） 比 （ x 2 ， y 2 ） 离对称轴直线的水平距离近 . ∴y 1 ＞y 2 . ∵m＜x 1 ＜m+1 ， m+1＜x 2 ＜ m+2 ， m+2＜x 3 ＜m+3 ， ∴x 1 ＜x 2 ＜x 3 . ∵ 对于 m＜x 1 ＜m+1 ， m+1＜x 2 ＜m+2 ， m+2＜x 3 ＜m+3 ， 存在 y 1 ＜y 3 ＜y 2 ， ∴x 1 ＜2 ， x 3 ＞2 ， 且 A （ x 1 ， y 1 ） 离对称轴最远， B （ x 2 ， y 2 ） 离对称轴最近 . ∴2-x 1 ＞x 3 -2＞|x 2 -2|. ∴x 1 +x 3 ＜4 ， 且 x 2 +x 3 ＞4. ∵2m+2＜x 1 +x 3 ＜2m+4 ， 2m+3＜ x 2 +x 3 ＜2m+5 ， ∴2m+2＜4 ， 且 2m+5＞4. ∴- 1 2 ＜m＜1. 14. D 15. C 16. D 17. 解： （ 1 ） ∵ 对于 x 1 ＝1 ， x 2 ＝2 ， 有 y 1 ＝y 2 ， ∴a+b+c＝4a+2b+c. ∴3a+b＝0. ∴ b a ＝-3． ∵ 对称轴为 x＝- b 2a = 3 2 ， ∴t＝ 3 2 ． （ 2 ） ∵0＜x 1 ＜1 ， 1＜x 2 ＜2 ， ∴ 1 2 < x 1 +x 2 2 < 3 2 ， x 1 ＜x 2 . ∵y 1 ＜y 2 ， a＞0 ， ∴ （ x 1 ， y 1 ） 离对称轴更近 . 又 ∵x 1 ＜x 2 ， 则 （ x 1 ， y 1 ） 与 （ x 2 ， y 2 ） 的中点在对称轴的右侧， ∴ x 1 +x 2 2 ＞t. ∵ 1 2 < x 1 +x 2 2 < 3 2 ， ∴t≤ 1 2 ． 18. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y＝-x 2 +bx 的顶点横坐标为 b 2 ， y＝-x 2 +2x 的顶点横坐标为 1 ， ∴ b 2 -1=1. ∴b＝4. （ 2 ） ∵ 点 A （ x 1 ， y 1 ） 在抛物线 y＝-x 2 +2x 上， ∴y 1 ＝-x 1 2 +2x 1 . 由 （ 1 ） 可得抛物线 y＝-x 2 +bx=-x 2 +4x. ∵B （ x 1 +t ， y 1 +h ） 在抛物线 y＝-x 2 +4x 上， ∴y 1 +h=- （ x 1 +t ） 2 +4 （ x 1 +t ） . 将 y 1 ＝-x 1 2 +2x 1 代入方程， 得 h＝-y 1 -x 1 2 -2x 1 t-t 2 +4x 1 +4t=x 1 2 -2x 1 -x 1 2 -2x 1 t-t 2 +4x 1 +4t. ∴h＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t. ①∵h＝3t ， ∴3t＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t. ∴t （ t+2x 1 ） ＝t+2x 1 . ∵x 1 ≥0 ， t＞0 ， ∴t+2x 1 ＞0. ∴t＝1. ∴h＝3. ② 将 x 1 ＝t-1 代入 h＝-t 2 -2x 1 t+2x 1 +4t 中， ∴h＝-3t 2 +8t-2=-3 t- 4 3 3 $ 2 + 10 3 . ∵-3＜0 ， ∴ 当 t＝ 4 3 ， 即 x 1 ＝ 4 3 -1= 1 3 时， h 取最大值 10 3 ． 3 确定二次函数的表达式 （第 1 课时） 1. －7 2. y=－x 2 +x+2 3. D 4. B 5. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=ax 2 +2x+c 经过点 A （ 0 ， 3 ）， B （ -1 ， 0 ）， ∴ 将点 A 与 B 的坐标代入得 3＝c ， 0=a-2+c c . 解 得 a=-1 ， c=3 c ， 则抛物线表达式为 y=－x 2 +2x+3. （ 2 ） 配方得 y=－x 2 +2x+3=－ （ x－1 ） 2 +4 ， 则顶点 D （ 1 ， 4 ） . ∵ 对称轴 x=1 与 x 轴交于点 E ， ∴DE=4 ， OE=1. ∵B （ －1 ， 0 ）， ∴BO=1. ∴BE=2. 在 Rt△BED 中， 根据勾股定理得 BD 2 =BE 2 +DE 2 =2 2 + 4 2 =20 ， ∴BD=2 5 姨 . 6. 解： 把 A （ 4 ， 8 ） 代入 y=ax 2 中得 8=16a ， 解得 a= 1 2 . ∴y= 1 2 x 2 . 设点 C 的横坐标为 m （ m>0 ）， ∵ 四边形 CDFE 为正方形， 抛物线 y= 1 2 x 2 关于 y 轴对称， AB∥x 轴， ∴EF∥AB ， CD=CE=DF=2m. ∵ 点 A （ 4 ， 8 ）， 即点 A 的 纵坐标为 8 ， ∴ 点 E 的坐标为 （ m ， 8-2m ） . ∴ 1 2 m 2 =8-2m. 解得 m 1 =-2+2 5 姨 ， m 2 =-2-2 5 姨 （舍） . ∴CD=2m= -4+4 5 姨 ． 7. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y=x 2 +bx+c 经过点 A （ －1 ， 0 ）， 点 B （ 2 ， －3 ）， ∴ 1-b+c=0 ， 4+2b+c=-3 c . 解得 b=-2 ， c=-3 c . ∴ 抛物线的表达 式为 y=x 2 -2x-3. （ 2 ） 存在 . 理由如下： ∵y=x 2 －2x－3= （ x－1 ） 2 －4 ， ∴D 点坐标为 （ 1 ， －4 ） . 令 x=0 ， 则 y=x 2 -2x-3=-3 ， ∴C 点坐标为 （ 0 ， -3 ） . 又 ∵B 点坐标为 （ 2 ， －3 ）， ∴BC∥x 轴， BC=2. ∴S △BCD = 1 2 ×2×1=1. 设抛物线上点 P 的坐标为 （ m ， m 2 - 2m-3 ）， ∴S △PBC = 1 2 ×2×|m 2 -2m-3- （ -3 ） |=|m 2 -2m|=4. 当 m 2 -2m=-4 时， 方程无解； 当 m 2 -2m=4 时， 解得 m=1± 5 姨 . 当 m=1+ 5 姨 时， m 2 -2m-3=1 ； 当 m=1- 5 姨 时， m 2 -2m-3=1. 综上， P 点坐标为 （ 1+ 5 姨 ， 1 ） 或 （ 1- 5 姨 ， 1 ） ． * 8. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y 1 =-x 2 +mx+n ， 直线 y 2 =kx+b ， y 1 的对称轴与 y 2 交于点 A （ -1 ， 5 ）， 点 A 与 y 1 的顶点 B 的距离是 4 ， ∴B （ -1 ， 1 ） 或 （ -1 ， 9 ） . ∴- m 2× （ -1 ） =-1 ， 4× （ -1 ） ×n-m 2 4× （ -1 ） =1 或 9 ， 解得 m=-2 ， n=0 或 8 ， ∴y 1 =-x 2 -2x 或 y 1 = -x 2 -2x+8. （ 2 ） ∵ 抛物线与 x 轴交点的纵坐标等于 0 ， 即是 y 1 =0. ① 当 y 1 =-x 2 -2x 时， 令 -x 2 -2x=0. ∴ 抛物线 与 x 轴的交点是 （ 0 ， 0 ） 和 （ -2 ， 0 ） . ∵y 1 的对称轴与 y 2 交于点 A （ -1 ， 5 ）， 且 y 2 随着 x 的增大而增大， ∴y 1 与 y 2 都经过 x 轴上的同一点 （ -2 ， 0 ） . 把 （ -1 ， 5 ）， （ -2 ， 0 ） 代入 y 2 =kx+b ， 得 -k+b=5 ， -2k+b=0 c . 解得 k=5 ， b=10 c . ∴y 2 =5x+10． ② 当 y 1 = -x 2 -2x+8 时， 由题意知 -x 2 -2x+8=0 ， 解得 x=-4 或 2 ， ∴ 抛物线与 x 轴的交点是 （ -4 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ） . ∵y 2 随 207