2 二次函数的图象与性质(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知二次函数 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 . （ 1 ） 确定抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴， 当 x 为何值时， y 有最大值或最小值？ （ 2 ） 在如图所示的同一坐标系中， 画出函数 y=- 1 2 x 2 和 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 的图象， 并说 明抛物线 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 是由抛物线 y=- 1 2 x 2 怎样平移得到的 . （ 3 ） 根据抛物线 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 回答： x 取何值时， y 随 x 的增大而增大？ x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？ 【分析】 （ 1 ） 利用顶点式 y=a （ x-h ） 2 +k 即可直接确定； （ 2 ） 利用描点法画出两个函数的 图象， 再根据 “上加下减、 左加右减” 的平移规律进行说明； （ 3 ） 结合 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 的 图象的开口方向和对称轴可得出增减性 . 【解答】 （ 1 ） ∵a=- 1 2 <0 ， ∴ 抛物线的开口方向向下， 顶点坐 标为 1 ， 9 2 2 " ， 对称轴为直线 x=1. 所以当 x=1 时， y 有最大值， 最大 值为 9 2 . （ 2 ） 如图所示， 抛物线 y=- 1 2 x 2 向右平移 1 个单位长度， 再 向上平移 9 2 个单位长度可得到 y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 的图象 . （ 3 ） 当 x<1 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小 . 【点拨】 此题主要考查二次函数形如 y=ax 2 ， y=a （ x-h ） 2 ， y=a （ x-h ） 2 +k （ a 均不等于 0 ） 的 图象之间的关系， 以及对 y=a （ x-h ） 2 +k 的图象和性质的理解和掌握 . 基础巩固 达标闯关 1. 抛物线 y=3 x+ 1 3 2 " 2 ＋ 1 2 的顶点坐标为 ， 对称轴是 ， 它的一 般形式为 . 2. 若抛物线 y=-x 2 +bx+c 的顶点坐标为 （ -1 ， -4 ）， 则 b= ， c= . 3. 将抛物线 y=2x 2 平行移动， 使顶点从 移动到 ， 就可得到抛物线 y= 例题答图 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 O x y y=- 1 2 （ x-1 ） 2 + 9 2 y=- 1 2 x 2 1 2 3 4 5 6 2 二次函数的图象与性质 （第 3课时） 13 九年级下册 （北师大版）数学 2 （ x+1 ） 2 +5. 4. 二次函数 y= 1 2 （ x+3 ） 2 -2 的图象开口 ， 顶点坐标是 ， 对称轴是 . 5. 根据图中的抛物线， 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 时， y 有最大值 . 6. 把抛物线 y=5x 2 先向上平移 2 个单位长度， 再向右平移 3 个单位长度， 所得的抛物线是 （ ） A. y=5 （ x+3 ） 2 -2 B. y=5 （ x+3 ） 2 ＋2 C. y=5 （ x-3 ） 2 -2 D. y=5 （ x-3 ） 2 ＋2 7. 如图， 抛物线的顶点 P 的坐标是 （ 1 ， -3 ）， 则此抛物线对应的二次 函数有 （ ） A. 最大值 1 B. 最小值 -3 C. 最大值 -3 D. 最小值 1 8. 在同一平面直角坐标系中， 一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象大致为 （ ） 9. 指出下列二次函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标 . （ 1 ） y=3 （ x-4 ） 2 -2 ； （ 2 ） y=-4 （ x+2 ） 2 -7 ； （ 3 ） y=0.2 （ x+3 ） 2 +1 ； （ 4 ） y=- 1 3 x+ 1 2 2 " 2 + 2 5 . x y O 6-2 第 5 题图 第 7 题图 x y O x y O x y O x y O A B C D x y O P 14 二次函数 第二章 能力提升 综合拓展 10. 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象， 并指出函数的最大值或最小值是多少 . （ 1 ） y=- （ x+1 ） 2 ＋3. （ 2 ） y= 1 2 （ x-2 ） 2 -4. 11. 已知抛物线 y=-x 2 -2x+1 ， 根据下列条件， 求新抛物线的表达式 . （ 1 ） 将已知抛物线向下、 向左都平移 3 个单位长度 . （ 2 ） 新抛物线与已知抛物线关于 y 轴对称 . * 12. 小李代表班级参加校运动会的铅球项目， 他想： “怎样才能将铅球推得更远呢？” 于 是找来小张做了如下的探索： 小李手掷铅球在控制每次推出时用力相同的条件下， 分别沿与 水平线成 30° ， 45° ， 60° 方向推了三次， 铅球推出后沿抛物线形曲线运动 . 如图， 小李推铅球 时的出手点距地面 2 m ， 以铅球出手点所在竖直方向为 y 轴、 地平线为 x 轴建立平面直角坐 标系， 分别得到有关数据如下表： 第 10 题图 -1 -2 -3 -4 -4-3-2-1 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 O 推铅球的方向与水平线的夹角 30° 45° 60° 铅球运行所得到的抛物线表达式 y 1 ＝－0.06 （ x－3 ） 2 ＋2.5 y 2 ＝ （ x－4 ） 2 ＋3.6 y 3 ＝－0.22 （ x－3 ） 2 ＋4 估测铅球在最高点的坐标 P 1 （ 3 ， 2.5 ） P 2 （ 4 ， 3.6 ） P 3 （ 3 ， 4 ） 铅球落点到小李所站处的水平距离 9.5 m m 7.3 m 15 九年级下册 （北师大版）数学 （ 1 ） 请你求出表格中两横线上的数据， 写出计算过程， 并将结果填入表格中的横线上 . （ 2 ） 请根据以上数据， 对如何将铅球推得更远提出你的建议 . 中考链接 真题演练 13. （ 2023 ·哈尔滨） 抛物线 y=- （ x+2 ） 2 +6 与 y 轴的交点坐标是 . 14. （ 2024 ·滨州） 将抛物线 y=-x 2 先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度， 则平移后抛物线的顶点坐标为 . 15. （ 2023 ·徐州） 在平面直角坐标系中， 将二次函数 y= （ x+1 ） 2 +3 的图象向右平移 2 个单 位长度， 再向下平移 1 个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为 （ ） A． y= （ x+3 ） 2 +2 B． y= （ x-1 ） 2 +2 C． y= （ x-1 ） 2 +4 D． y= （ x+3 ） 2 +4 16. （ 2023 ·兰州） 已知二次函数 y=-3 （ x-2 ） 2 -3 ， 下列说法正确的是 （ ） A． 对称轴为直线 x=-2 B． 顶点坐标为 （ 2 ， 3 ） C． 函数的最大值是 -3 D． 函数的最小值是 -3 17. （ 2024 ·凉山） 抛物线 y= （ x-1 ） 2 +c 经过 （ -2 ， y 1 ）， （ 0 ， y 2 ）， 5 2 ， y 33 " 三点， 则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系正确的是 （ ） A． y 1 ＞y 2 ＞y 3 B． y 2 ＞y 3 ＞y 1 C． y 3 ＞y 1 ＞y 2 D． y 1 ＞y 3 ＞y 2 18. （ 2024 ·台湾） 甲、 乙两个二次函数分别为 y= （ x+20 ） 2 +60 ， y=- （ x-30 ） 2 +60 ， 下列语句 说法正确的是 （ ） A． 甲有最大值， 且其值为 x=20 时的 y 值 B． 甲有最小值， 且其值为 x=20 时的 y 值 C． 乙有最大值， 且其值为 x=30 时的 y 值 D． 乙有最小值， 且其值为 x=30 时的 y 值 第 12 题图 x/m y/m O 2 P 1 P 2 P 3 16 九年级下册 （北师大版）数学 达式为 y＝ 1 2 x+2. （ 2 ） 在 y＝ 1 2 x+2 中， 令 x＝0 ， 则 y＝2. ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 2 ）， ∴OC＝2. ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝ 1 2 ×2×2+ 1 2 ×2×4＝6． （ 3 ） 4 提示： ∵S △PAB = 1 2 S △AOB ， △PAB 和 △AOB 是同底 AB ， ∴△PAB 的高是 △AOB 的一半 . ∴ 过 OC 的中点， 作 AB 的平行线交抛物线于点 P 1 ， P 2 ， 再作直线 P 1 P 2 关于直线 AB 的对称直线， 交抛物线于点 P 3 ， P 4 ， ∴ 这样的 点 P 共有 4 个 . 2 二次函数的图象与性质 （第 3 课时） 1. - 1 3 ， 1 2 2 # 直线 x=- 1 3 y=3x 2 +2x+ 5 6 2. －2 －5 3. （ 0 ， 0 ） （ －1 ， 5 ） 4. 向上 （ －3 ， －2 ） 直线 x=－3 5. ＜2 ＞2 =2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 向上 ， 直线 x=4 ， （ 4 ， －2 ） . （ 2 ） 向下 ， 直线 x=－2 ， （ －2 ， －7 ） . （ 3 ） 向上 ， 直线 x=－3 ， （ －3 ， 1 ） . （ 4 ） 向下， 直线 x=－ 1 2 ， - 1 ２ ， ２ ５ 2 $ . 10. （ 1 ） 画图略 . 最大值是 3. （ 2 ） 画图略 . 最小值是 －4. 11. 解： （ 1 ） ∵y=－x 2 －2x+1=－ （ x+1 ） 2 +2 ， ∴ 已知抛物线的顶点坐标为 （ －1 ， 2 ） . 将点 （ －1 ， 2 ） 向下、 向左都 平移 3 个单位长度到达点 （ －4 ， －1 ）， 因此所求抛物线的顶点为 （ －4 ， －1 ） . ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x+4 ） 2 －1 ， 即 y= －x 2 －8x－17. （ 2 ） ∵ 新抛物线与已知抛物线关于 y 轴对称， ∴ 已知抛物线顶点与新抛物线顶点关于 y 轴对 称， ∴ 新抛物线顶点坐标为 （ 1 ， 2 ）， ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x－1 ） 2 +2=－x 2 +2x+1. * 12. 解： （ 1 ） 设抛物线 y=a （ x－4 ） 2 +3.6 ， 由该抛物线经过点 （ 0 ， 2 ）， ∴ 可得 a=－0.1. 当 y=0 时， －0.1 （ x－4 ） 2 + 3.6=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =－2 （不合题意， 舍去）， ∴x=10. （ 2 ） 推铅球时沿与水平方向成 45° 方向用力推出， 可以 将铅球推得更远 . 13. （ 0 ， 2 ） 14. （ 1 ， 2 ） 15. B 16. C 17. D 18. C 2 二次函数的图象与性质 （第 4 课时） 1. y=400π－πr 2 （ 0 ， 400π ） 2. （ －1 ， 5 ） 3. B 4. C 5. A 6. （ 1 ） 开口向上， 直线 x=－ 1 ３ ， - 1 ３ ， - 1 ３ ３ $ . （ 2 ） 开口向下， 直线 x=1 ， （ 1 ， 7 ） . （ 3 ） 开口向上， 直 线 x=2 ， （ 2 ， －3 ） . （ 4 ） 开口向下， 直线 x=3 ， ３ ， １１ ２ 2 $ . 7. 解： （ 1 ） 把 M （ -2 ， 3 ） 的坐标代入 y=-x 2 +mx+3 ， 得 -4-2m+3=3. 解得 m=-2. ∴y=-x 2 -2x+3=- （ x+1 ） 2 +4. ∴ 抛 物线的顶点坐标为 （ -1 ， 4 ） . （ 2 ） ∵y=- （ x+1 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线开口向下， 有最大值 4. ∵ 当 x=0 时， y=3 ， 当 x=-3 时， y=0 ， ∴ 当 -3≤x≤0 时， y 的取值范围是 0≤y≤4． 8． 解： （ 1 ） 将 A （ -1 ， 0 ） 代入 y=a （ x-1 ） 2 +4 中， 得 0=4a+4. 解得 a=-1 ， 则抛物线表达式为 y=- （ x-1 ） 2 +4. （ 2 ） 对于 y=- （ x-1 ） 2 +4 ， 令 x=0 ， 得到 y=3 ， 即 OC=3. ∵ 抛物线 y=- （ x-1 ） 2 +4 的对称轴为直线 x=1 ， ∴CD=1. ∵A （ -1 ， 0 ）， ∴B （ 3 ， 0 ）， 即 OB=3 ， 则 S 梯形 ＣOBD = （ 1+3 ） ×3 2 =6． 9. 解： （ 1 ） 将点 （ 1 ， m ）， （ 3 ， n ） 的坐标代入抛物线表达式， 得 m=a+b+c ， n=9a+3b+c c . ∵m=n ， ∴a+b+c=9a+3b+c. 整理 得 b=－4a ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=－ b 2a =－ -4a 2a =2. ∴t=2. ∵c=2 ， ∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为 （ 0 ， 2 ） ． （ 2 ） ∵m＜n＜c ， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c ， 解得 -4a＜b＜-3a ， ∴3a＜－b＜4a ， ∴ 3a 2a ＜- b 2a ＜ 4a 2a ， 即 3 2 ＜t＜2． ∵ 点 （ x 0 ， m ） （ x 0 ≠ 1 ） 在抛物线上， ∴m=ax 2 0 +bx 0 +c. 当 t= 3 2 时， 即 b 2a =- 3 2 ， 由 （ 1 ） 知 m=a+b+c ， 解得 x 0 =2 ； 当 t=2 时， 即 b 2a =-2 ， 解得 x 0 =3 ， ∴x 0 的取值范围为 2＜x 0 ＜3． 10. 解： （ 1 ） 如图： （ 2 ） 填表： x 5 10 20 30 40 50 x 2 y 200 200 200 200 200 200 14 12 10 8 6 4 2 y/m x/m 102030405060 O 第 10 题答图 206