2 二次函数的图象与性质(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知抛物线 y= 1 2 x 2 ， 把它向下平移得到的抛物线与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴 交于 C 点 . （ 1 ） 若 △ABC 是直角三角形， 那么原抛物线应向下平移几个单位长度？ 请说明理由 . （ 2 ） 若 △ABC 是等边三角形， 那么原抛物线应怎样平移？ 请说明理由 . 【分析】 （ 1 ） 根据直角三角形的性质可知 OC=OA=OB ， 进而得出点 A 和 B 的坐标， 代 入表达式， 通过列一元二次方程求出 . （ 2 ） 根据勾股定理先求 BC 的长， 根据等边三角形的性质求出点 A 和点 B 的坐标， 列方 程得出答案 . 【解答】 （ 1 ） 若 △ABC 是直角三角形， 那么原抛物线应向下平移 2 个单位长度 . 理由如下： 如图， 设向下平移后的抛物线的表达式为 y= 1 2 x 2 +c （ c<0 ）， 则点 C 的坐标为 （ 0 ， c ） . ∵△ABC 为直角三角形 ， ∴OC=OA=OB ， ∴ 点 A 的坐标为 （ c ， 0 ）， 点 B 的坐标为 （ -c ， 0 ）， ∴ 当 x=±c 时， y=0 ， ∴ 1 2 c 2 +c=0 ， 解得 c 1 =-2 ， c 2 =0 （不合题意， 舍去） . ∴ 原抛物线向下平移 2 个单位长度后所得三角形是直角三角形 . （ 2 ） 若 △ABC 是等边三角形， 那么原抛物线应向下平移 6 个单位长度 . 理由如下： 设向下 平移后的抛物线的表达式为 y= 1 2 x 2 +c （ c<0 ）， 则点 C 的坐标为 （ 0 ， c ） . ∵△ABC 为等边三角形， ∴OA=OB= 3 姨 3 OC ， ∴A 3 姨 3 c ， ， $0 ， B - 3 姨 3 c ， ， &0 .∴ 当 x=± 3 姨 3 c 时， y=0 ， ∴ 1 2 × 3 姨 3 ， &c 2 + c=0 ， 解得 c 1 =-6 ， c 2 =0 （不合题意， 舍去）， ∴ 原抛物线向下平移 6 个单位长度后所得三角形是 等边三角形 . 【点拨】 本题考查了函数 y=ax 2 （ a≠0 ） 的图象沿 y 轴的平移变化 . 平移时要抓住上加下 减的规律， 设好平移后的表达式， 再利用题目中已知图形的性质确定图象上某一特殊点的坐 标， 代入预设表达式中， 求出字母系数， 问题即可解决 . 基础巩固 达标闯关 1. 函数 y=4x 2 -3 的图象的开口 ， 对称轴是 . 2. 抛物线 y= 3 4 x 2 +5 的顶点坐标是 ， 它与抛物线 的形状、 开口方向和对 2 二次函数的图象与性质 （第 2课时） -4 -2 2 4 O 4 2 -2 -4 -6 A B C x y 例题答图 9 九年级下册 （北师大版）数学 称轴都相同 . 3. 把图中图象的序号填在相应函数表达式的后面 . （ 1 ） y=2x 2 + 1 2 的图象是 ； （ 2 ） y=-x 2 +2 的图象是 ； （ 3 ） y=｜x 2 -4｜ 的图象是 ； （ 4 ） y=2x 2 -1 的图象是 . 4. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax 2 +3 与 y 轴交于点 A ， 过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y= 1 3 x 2 于点 B ， C ， 则 BC 的长为 . 5. 二次函数 y=3x 2 -5 的图象的对称轴、 顶点坐标分别是 （ ） A. x 轴， （ 0 ， 5 ） B. y 轴， （ 0 ， 5 ） C. x 轴， （ 0 ， -5 ） D. y 轴， （ 0 ， -5 ） 6. 与二次函数 y=-2x 2 的图象形状、 开口方向都相同， 且顶点坐标为 （ 0 ， -2 ） 的抛物线 的表达式为 （ ） A. y=-2x 2 +2 B. y=-2x 2 -2 C. y=2x 2 +2 D. y=2x 2 -2 7. 二次函数 y=-x 2 +1 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴交于点 C. 下列说法中， 错误 的是 （ ） A. △ABC 是等腰三角形 B. 点 C 的坐标是 （ 0 ， 1 ） C. AB 的长为 2 D. y 随 x 的增大而减小 8. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y= 1 2 x 2 ， y= 1 2 x 2 +1 ， y= 1 2 x 2 -1 的图象， 并观察 图象， 你发现这三个函数图象有什么关系？ 第 3 题图 x y O A B C 第 4 题图 -1 -2 -3 -5 -4 -3 -2 -1 y x 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 O 第 8 题图 x y ③ ① ④ ② O 10 二次函数 第二章 能力提升 综合拓展 9. 如图是一个抛物线形拱桥， 拱桥的横截面是抛物线 y=- 1 2 x 2 的一部分 . 桥下有一条小 河， 拱桥的水面宽 4 m ， 拱桥顶点 O 距水面多少米？ 水面下降 1 m 后， 桥下水面宽多少米？ 10. 有甲、 乙两个斜坡， 同样的球， 从甲斜坡滚下的路程 s （ cm ） 与时间 t （ s ） 之间的关 系式为 s=2t 2 ， 从乙斜坡滚下的路程 s 1 （ cm ） 与时间 t （ s ） 之间的关系式为 s 1 =3t 2 . 两个同样的 球， 同时从甲、 乙两个斜坡向下滚动 . （ 1 ） 10 s 后， 哪个斜坡上的球滚动得远？ 远了多少厘米？ （ 2 ） 请你在同一平面直角坐标系中分别画出 s=2t 2 与 s 1 =3t 2 的图象 . x y O 第 9 题图 11 九年级下册 （北师大版）数学 * 11. 某市为了迎接新年举行大型庆典活动， 在庆典中心竖起 （与地面垂直） 一个高为 4.4 m 的抛物线形彩虹门 （门的厚度不计）， 如果以过彩虹门的两个着地点所在直线为 x 轴， 以过彩虹门的最高点且垂直于地面的直线为 y 轴建立直角坐标系， 则彩虹门可以近似地看成 抛物线 y=-1.1x 2 +4.4 的一部分 . （ 1 ） 在右面的直角坐标系中画出抛物线形彩虹门的草图 . （ 2 ） 现有一辆彩车欲从彩虹门中间通过， 彩车顶部距地面 2.6 m ， 彩车宽 2.4 m ， 请根据 图象判断这辆彩车能否通过彩虹门 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·广州） 已知点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 在抛物线 y=x 2 -3 上， 且 0＜x 1 ＜x 2 ， 则 y 1 （填 “ ＜ ” “ ＞ ” 或 “ = ”） y 2 . 13. （ 2021 ·徐州） 如图， 点 A ， B 在 y＝ 1 4 x 2 的图象上 ． 已知点 A ， B 的横坐标分别为 -2 ， 4 ， 直线 AB 与 y 轴交于点 C ， 连接 OA ， OB． （ 1 ） 求直线 AB 的函数表达式 . （ 2 ） 求 △AOB 的面积 . （ 3 ） 若函数 y＝ 1 4 x 2 的图象上存在点 P ， 使 S △PAB = 1 2 S △AOB ， 则这样的点 P 共有 个 ． -2 -1 y/m x/m 1 2 4 3 2 1 O 4.4 第 11 题图 x y -2 4 A B C y= 1 4 x 2 O 第 13 题图 12 参考答案与提示 参考答案与提示 第二章 二次函数 1 二次函数 1. b=2a S=2a 2 S= 1 2 b 2 2. －1 3. y=25－πr 2 4. y=－1 000x 2 +6 000x 5. C 6. D 7. B 8. D 9. 解： ∵ 平行于墙的边的长为 x （ m ）， 则垂直于墙的边的长为 50-x 2 = （ 25-0.5x ） m. 根据题意， 得 y=x （ 25- 0.5x ） =-0.5x 2 +25x ， y 是 x 的二次函数 . 10. V=20x 2 ， V 是 x 的二次函数 . 11. 解： 每件衬衫降价金额、 每件衬衫的售价、 每天卖出的衬衫数量、 每天盈利额是变量， 其中每天每件衬 衫降价金额是自变量， 其他变量是因变量 . y= （ 30－x ）（ 20＋2x ）， 即 y=－2x 2 +40x+600. 因此 y 是 x 的二次函数， 二次 项系数为 －2 ， 一次项系数为 40 ， 常数项为 600. * 12. y=3x 2 －1 ， y=3x 2 +6x+2. * 13. 解： 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=3 ， BC=4 ， 则 AB=5 ， ∴△ABC 的周长为 12. 由于 EF 平分 Rt△ABC 的周长， AE=x ， 则 AF=6-x. 如图， 过点 F 作 FD⊥AC 于点 D ， 则 FD=AFsin A= 4 5 （ 6-x ）， ∴S= 1 2 AE · FD= 1 2 × 4 5 （ 6-x ） x= 2 5 x （ 6-x ） =- 2 5 x 2 + 12 5 x. 14. A 2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时） 1. k>-2 2. 4 3 （ 1 ， 1 ） 3. 如： （ －1 ， 2 ） 与 （ 1 ， 2 ）； （ －2 ， 8 ） 与 （ 2 ， 8 ）； （ －3 ， 18 ） 与 （ 3 ， 18 ） 4. ＜ 5. A 6. C 7. B 8. C 9. （ 1 ） —图象 ③ （ 2 ） —图象 ④ （ 3 ） —图象 ② （ 4 ） —图象 ① 10. 解： 由题意， 二次函数图象经过点 （ 0 ， 0 ）， ∴a 2 -2a-3=0． ∴ （ a-3 ）（ a+1 ） =0． ∴a 1 =3 ， a 2 =-1． 又 ∵ 函数图象开 口向下， ∴a-1＜0． ∴a= -1． 11. （ 1 ） - 4 9 ， 描点略 . （ 2 ） ±2 ， 描点略 . （ 3 ） 当 x＜－1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＞1 时， y 随 x 值 的增大而减小 . 12. 解： （ 1 ） 直线 x=1. （ 2 ） 当 x＞1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＜1 时， y 随 x 值的增大而减小 . （ 3 ） 将 y=x 2 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位长度即得 y= （ x-1 ） 2 的图象 . 画图略 . * 13. 解： （ 1 ） 由题意知 A ， B 是直线与抛物线的交点， 则当 x=3 时， y=9 ， 当 x=－1 时， y=1 ， ∴ 3k+b=9 ， -k+b=1 1 . 解 得 k=2 ， b=3 1 ， 所求一次函数表达式为 y=2x+3. 画图略 . （ 2 ） 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E ， 过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F ， 则 S △ABC =Ｓ 梯形 ABFE －S △AEC －S △BCF = 1 2 （ 9+1 ） ×4－ 1 2 ×1×1－ 1 2 ×3×9=6. 14. A 15. A 2 二次函数的图象与性质 （第 2 课时） 1. 向上 y 轴 2. （ 0 ， 5 ） y= 3 4 x 2 （答案不唯一） 3. （ 1 ） ③ （ 2 ） ① （ 3 ） ④ （ 4 ） ② 4. 6 5. D 6. B 7. D 8. 解： 三个函数图象的形状、 开口方向、 对称轴都相同， 位置不同， 都可以通过互相平移得到， 顶点坐标分 别是 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ）， （ 0 ， －1 ）， 画图略 . 9. 拱桥顶点 O 距水面 2 m ， 水面下降 1 m 后， 桥下水面宽 2 6 姨 m. 10. （ 1 ） 乙斜坡上的球滚动得远， 远了 100 cm. （ 2 ） 两个图象都在第一象限和第二象限， 画图略 . * 11. （ 1 ） 图象在第一、 二象限 （ y≥0 ）， 画图略 . （ 2 ） 能 . 当 x=1.2 时， y≈2.8 m ， 2.8 m>2.6 m ， 所以彩车能通过 . 12. < 13. 解： （ 1 ） ∵ 点 A ， B 在 y＝ 1 4 x 2 的图象上， 横坐标分别为 -2 ， 4 ， ∴ 当 x=-2 时， y= 1 4 × （ -2 ） 2 =1 ； 当 x=4 时， y= 1 4 ×4 2 =4. ∴A （ -2 ， 1 ）， B （ 4 ， 4 ） . 设直线 AB 的表达式为 y＝kx+b ， ∴ -2k+b=1 ， 4k+b=4 1 . 解得 k= 1 2 ， b=2 1 . ∴ 直线 AB 的函数表 第 13 题答图 F C A E B D 205 九年级下册 （北师大版）数学 达式为 y＝ 1 2 x+2. （ 2 ） 在 y＝ 1 2 x+2 中， 令 x＝0 ， 则 y＝2. ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 2 ）， ∴OC＝2. ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝ 1 2 ×2×2+ 1 2 ×2×4＝6． （ 3 ） 4 提示： ∵S △PAB = 1 2 S △AOB ， △PAB 和 △AOB 是同底 AB ， ∴△PAB 的高是 △AOB 的一半 . ∴ 过 OC 的中点， 作 AB 的平行线交抛物线于点 P 1 ， P 2 ， 再作直线 P 1 P 2 关于直线 AB 的对称直线， 交抛物线于点 P 3 ， P 4 ， ∴ 这样的 点 P 共有 4 个 . 2 二次函数的图象与性质 （第 3 课时） 1. - 1 3 ， 1 2 2 # 直线 x=- 1 3 y=3x 2 +2x+ 5 6 2. －2 －5 3. （ 0 ， 0 ） （ －1 ， 5 ） 4. 向上 （ －3 ， －2 ） 直线 x=－3 5. ＜2 ＞2 =2 6. D 7. B 8. B 9. （ 1 ） 向上 ， 直线 x=4 ， （ 4 ， －2 ） . （ 2 ） 向下 ， 直线 x=－2 ， （ －2 ， －7 ） . （ 3 ） 向上 ， 直线 x=－3 ， （ －3 ， 1 ） . （ 4 ） 向下， 直线 x=－ 1 2 ， - 1 ２ ， ２ ５ 2 $ . 10. （ 1 ） 画图略 . 最大值是 3. （ 2 ） 画图略 . 最小值是 －4. 11. 解： （ 1 ） ∵y=－x 2 －2x+1=－ （ x+1 ） 2 +2 ， ∴ 已知抛物线的顶点坐标为 （ －1 ， 2 ） . 将点 （ －1 ， 2 ） 向下、 向左都 平移 3 个单位长度到达点 （ －4 ， －1 ）， 因此所求抛物线的顶点为 （ －4 ， －1 ） . ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x+4 ） 2 －1 ， 即 y= －x 2 －8x－17. （ 2 ） ∵ 新抛物线与已知抛物线关于 y 轴对称， ∴ 已知抛物线顶点与新抛物线顶点关于 y 轴对 称， ∴ 新抛物线顶点坐标为 （ 1 ， 2 ）， ∴ 新抛物线表达式为 y=－ （ x－1 ） 2 +2=－x 2 +2x+1. * 12. 解： （ 1 ） 设抛物线 y=a （ x－4 ） 2 +3.6 ， 由该抛物线经过点 （ 0 ， 2 ）， ∴ 可得 a=－0.1. 当 y=0 时， －0.1 （ x－4 ） 2 + 3.6=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =－2 （不合题意， 舍去）， ∴x=10. （ 2 ） 推铅球时沿与水平方向成 45° 方向用力推出， 可以 将铅球推得更远 . 13. （ 0 ， 2 ） 14. （ 1 ， 2 ） 15. B 16. C 17. D 18. C 2 二次函数的图象与性质 （第 4 课时） 1. y=400π－πr 2 （ 0 ， 400π ） 2. （ －1 ， 5 ） 3. B 4. C 5. A 6. （ 1 ） 开口向上， 直线 x=－ 1 ３ ， - 1 ３ ， - 1 ３ ３ $ . （ 2 ） 开口向下， 直线 x=1 ， （ 1 ， 7 ） . （ 3 ） 开口向上， 直 线 x=2 ， （ 2 ， －3 ） . （ 4 ） 开口向下， 直线 x=3 ， ３ ， １１ ２ 2 $ . 7. 解： （ 1 ） 把 M （ -2 ， 3 ） 的坐标代入 y=-x 2 +mx+3 ， 得 -4-2m+3=3. 解得 m=-2. ∴y=-x 2 -2x+3=- （ x+1 ） 2 +4. ∴ 抛 物线的顶点坐标为 （ -1 ， 4 ） . （ 2 ） ∵y=- （ x+1 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线开口向下， 有最大值 4. ∵ 当 x=0 时， y=3 ， 当 x=-3 时， y=0 ， ∴ 当 -3≤x≤0 时， y 的取值范围是 0≤y≤4． 8． 解： （ 1 ） 将 A （ -1 ， 0 ） 代入 y=a （ x-1 ） 2 +4 中， 得 0=4a+4. 解得 a=-1 ， 则抛物线表达式为 y=- （ x-1 ） 2 +4. （ 2 ） 对于 y=- （ x-1 ） 2 +4 ， 令 x=0 ， 得到 y=3 ， 即 OC=3. ∵ 抛物线 y=- （ x-1 ） 2 +4 的对称轴为直线 x=1 ， ∴CD=1. ∵A （ -1 ， 0 ）， ∴B （ 3 ， 0 ）， 即 OB=3 ， 则 S 梯形 ＣOBD = （ 1+3 ） ×3 2 =6． 9. 解： （ 1 ） 将点 （ 1 ， m ）， （ 3 ， n ） 的坐标代入抛物线表达式， 得 m=a+b+c ， n=9a+3b+c c . ∵m=n ， ∴a+b+c=9a+3b+c. 整理 得 b=－4a ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=－ b 2a =－ -4a 2a =2. ∴t=2. ∵c=2 ， ∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为 （ 0 ， 2 ） ． （ 2 ） ∵m＜n＜c ， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c ， 解得 -4a＜b＜-3a ， ∴3a＜－b＜4a ， ∴ 3a 2a ＜- b 2a ＜ 4a 2a ， 即 3 2 ＜t＜2． ∵ 点 （ x 0 ， m ） （ x 0 ≠ 1 ） 在抛物线上， ∴m=ax 2 0 +bx 0 +c. 当 t= 3 2 时， 即 b 2a =- 3 2 ， 由 （ 1 ） 知 m=a+b+c ， 解得 x 0 =2 ； 当 t=2 时， 即 b 2a =-2 ， 解得 x 0 =3 ， ∴x 0 的取值范围为 2＜x 0 ＜3． 10. 解： （ 1 ） 如图： （ 2 ） 填表： x 5 10 20 30 40 50 x 2 y 200 200 200 200 200 200 14 12 10 8 6 4 2 y/m x/m 102030405060 O 第 10 题答图 206