2 二次函数的图象与性质(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 参考答案与提示 第二章 二次函数 1 二次函数 1. b=2a S=2a 2 S= 1 2 b 2 2. －1 3. y=25－πr 2 4. y=－1 000x 2 +6 000x 5. C 6. D 7. B 8. D 9. 解： ∵ 平行于墙的边的长为 x （ m ）， 则垂直于墙的边的长为 50-x 2 = （ 25-0.5x ） m. 根据题意， 得 y=x （ 25- 0.5x ） =-0.5x 2 +25x ， y 是 x 的二次函数 . 10. V=20x 2 ， V 是 x 的二次函数 . 11. 解： 每件衬衫降价金额、 每件衬衫的售价、 每天卖出的衬衫数量、 每天盈利额是变量， 其中每天每件衬 衫降价金额是自变量， 其他变量是因变量 . y= （ 30－x ）（ 20＋2x ）， 即 y=－2x 2 +40x+600. 因此 y 是 x 的二次函数， 二次 项系数为 －2 ， 一次项系数为 40 ， 常数项为 600. * 12. y=3x 2 －1 ， y=3x 2 +6x+2. * 13. 解： 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=3 ， BC=4 ， 则 AB=5 ， ∴△ABC 的周长为 12. 由于 EF 平分 Rt△ABC 的周长， AE=x ， 则 AF=6-x. 如图， 过点 F 作 FD⊥AC 于点 D ， 则 FD=AFsin A= 4 5 （ 6-x ）， ∴S= 1 2 AE · FD= 1 2 × 4 5 （ 6-x ） x= 2 5 x （ 6-x ） =- 2 5 x 2 + 12 5 x. 14. A 2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时） 1. k>-2 2. 4 3 （ 1 ， 1 ） 3. 如： （ －1 ， 2 ） 与 （ 1 ， 2 ）； （ －2 ， 8 ） 与 （ 2 ， 8 ）； （ －3 ， 18 ） 与 （ 3 ， 18 ） 4. ＜ 5. A 6. C 7. B 8. C 9. （ 1 ） —图象 ③ （ 2 ） —图象 ④ （ 3 ） —图象 ② （ 4 ） —图象 ① 10. 解： 由题意， 二次函数图象经过点 （ 0 ， 0 ）， ∴a 2 -2a-3=0． ∴ （ a-3 ）（ a+1 ） =0． ∴a 1 =3 ， a 2 =-1． 又 ∵ 函数图象开 口向下， ∴a-1＜0． ∴a= -1． 11. （ 1 ） - 4 9 ， 描点略 . （ 2 ） ±2 ， 描点略 . （ 3 ） 当 x＜－1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＞1 时， y 随 x 值 的增大而减小 . 12. 解： （ 1 ） 直线 x=1. （ 2 ） 当 x＞1 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x＜1 时， y 随 x 值的增大而减小 . （ 3 ） 将 y=x 2 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位长度即得 y= （ x-1 ） 2 的图象 . 画图略 . * 13. 解： （ 1 ） 由题意知 A ， B 是直线与抛物线的交点， 则当 x=3 时， y=9 ， 当 x=－1 时， y=1 ， ∴ 3k+b=9 ， -k+b=1 1 . 解 得 k=2 ， b=3 1 ， 所求一次函数表达式为 y=2x+3. 画图略 . （ 2 ） 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E ， 过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F ， 则 S △ABC =Ｓ 梯形 ABFE －S △AEC －S △BCF = 1 2 （ 9+1 ） ×4－ 1 2 ×1×1－ 1 2 ×3×9=6. 14. A 15. A 2 二次函数的图象与性质 （第 2 课时） 1. 向上 y 轴 2. （ 0 ， 5 ） y= 3 4 x 2 （答案不唯一） 3. （ 1 ） ③ （ 2 ） ① （ 3 ） ④ （ 4 ） ② 4. 6 5. D 6. B 7. D 8. 解： 三个函数图象的形状、 开口方向、 对称轴都相同， 位置不同， 都可以通过互相平移得到， 顶点坐标分 别是 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 1 ）， （ 0 ， －1 ）， 画图略 . 9. 拱桥顶点 O 距水面 2 m ， 水面下降 1 m 后， 桥下水面宽 2 6 姨 m. 10. （ 1 ） 乙斜坡上的球滚动得远， 远了 100 cm. （ 2 ） 两个图象都在第一象限和第二象限， 画图略 . * 11. （ 1 ） 图象在第一、 二象限 （ y≥0 ）， 画图略 . （ 2 ） 能 . 当 x=1.2 时， y≈2.8 m ， 2.8 m>2.6 m ， 所以彩车能通过 . 12. < 13. 解： （ 1 ） ∵ 点 A ， B 在 y＝ 1 4 x 2 的图象上， 横坐标分别为 -2 ， 4 ， ∴ 当 x=-2 时， y= 1 4 × （ -2 ） 2 =1 ； 当 x=4 时， y= 1 4 ×4 2 =4. ∴A （ -2 ， 1 ）， B （ 4 ， 4 ） . 设直线 AB 的表达式为 y＝kx+b ， ∴ -2k+b=1 ， 4k+b=4 1 . 解得 k= 1 2 ， b=2 1 . ∴ 直线 AB 的函数表 第 13 题答图 F C A E B D 205 二次函数 第二章 自主导学 典例精析 例题 已知二次函数 y=-2x 2 . （ 1 ） 在平面直角坐标系中画出这个函数的图象 . （ 2 ） 已知点 （ x 1 ， y 1 ） 和 （ x 2 ， y 2 ） 在其图象上 . ① 若 x 1 >x 2 >0 ， 那么对应的函数值 y 1 ， y 2 有怎样的大小关系？ ② 若 x 1 <x 2 <0 ， 那么 y 1 ， y 2 又有怎样的大小关系？ ③ 若 x 2 <0<x 1 ， 能否确 定对应的函数值 y 1 ， y 2 的大小关系？ 请说明理由 . 【分析】 （ 1 ） 先确定抛物线的顶点坐标 （ 0 ， 0 ） 以及对称轴 y 轴， 再根据 a=-2<0 ， 确定 抛物线的开口向下 . 用列表法求出对应的 x ， y 值， 对称地描点， 最后用光滑的曲线连接， 即 可画出 y=-2x 2 的图象 . （ 2 ） 根据图象可知， 当 x>0 时， y 的值随 x 值的增大而减小， 即 x 1 > x 2 >0 ， y 1 <y 2 ； 当 x<0 时， y 的值随 x 值的增大而增大， 即 x 1 <x 2 <0 ， y 1 <y 2 ； 当 x 在全体实数范 围内时， 无法确定函数 y 的增减性 . 【解答】 （ 1 ） 列表如下： 在平面直角坐标系中描出对应点并连线， 画出抛物线如图所示 . （ 2 ） 由图象可知， ① 当 x 1 >x 2 >0 时， y 1 <y 2 ； ② 当 x 1 <x 2 <0 时， y 1 <y 2 ； ③ 当 x 2 <0<x 1 时， 不能确定 y 1 ， y 2 的大小关系 . 理由如下： 由图象可知， 当 ｜x 2 ｜<x 1 时， y 1 <y 2 ， 当 ｜x 2 ｜=x 1 时， y 1 ＝y 2 ， 当 ｜x 2 ｜>x 1 时， y 1 >y 2 . 所以， 当 x 2 <0<x 1 时， 不能确定 y 1 ， y 2 的大小关系 . 【点拨】 此题考查形如 y=ax 2 的二次函数图象的画法及性质 . 二次函数 y=ax 2 的图象过原点， 对称轴是 y 轴， 当 a>0 时， 抛物线开口向上， 当 x>0 时， y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 x<0 时， y 的值随着 x 值的增大而减小 . 当 a<0 时， 抛物线 开口向下， 当 x>0 时， y 的值随着 x 值的增大而减小； 当 x<0 时， y 的值随着 x 值的增大而 增大 . y 轴将抛物线 y=ax 2 分为两部分， 且每一部分图象都具有增减性 . 基础巩固 达标闯关 1. 二次函数 y= （ k+2 ） x 2 的图象如图所示， 则 k 的取值范围是 . 2. 抛物线 y=x 2 与直线 y=kx-2 的一个交点的坐标是 （ 2 ， m ）， 则 m= ， k= ， 另一个交点的坐标为 . x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 2 二次函数的图象与性质 （第 1课时） -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 4 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 O 例题答图 y x x y O 第 1 题图 5 九年级下册 （北师大版）数学 3. 写出几对在二次函数 y=2t 2 的图象上， 且关于 y 轴对称的点： （至少写出三对） . 4. 若点 （ x 1 ， y 1 ） 和 （ x 2 ， y 2 ） 在函数 y=- 1 2 x 2 的图象上， 且 x 1 ＜x 2 ＜0 ， 则 y 1 与 y 2 的大小关 系为 y 1 （填 “ > ” “ < ” 或 “ = ”） y 2 . 5. 二次函数 y=-x 2 中， 自变量 x 的取值范围是 （ ） A. x 取一切实数 B. x≠0 C. x>0 D. x<0 6. 与图中抛物线关于 x 轴对称的抛物线的表达式是 （ ） A. y= 2 3 x 2 B. y=- 2 3 x 2 C. y= 3 4 x 2 D. y=- 3 4 x 2 7. 已知正方形的边长为 x cm ， 它的面积 y cm 2 与边长 x cm 的函数关系的图象大致是 （ ） 8. 如图 1 是一个横断面为抛物线形状的拱桥， 当水面在 l 处时， 拱顶 （拱桥洞的最 高点） 离水面 2 m ， 水面宽 4 m. 如图 2 ， 建立平面直角坐标系， 则此抛物线的表达式是 （ ） A. y=-2x 2 B. y=2x 2 C. y=- 1 2 x 2 D. y= 1 2 x 2 9. 将下列二次函数表达式与其对应的图象的序号用线连接起来 . 函数表达式 图象的序号 （ 1 ） y=x 2 图象 ① （ 2 ） y=2x 2 图象 ② （ 3 ） y=-x 2 图象 ③ （ 4 ） y=-2x 2 图象 ④ x y O 2 -3 第 6 题图 x y O x y O x y O x y O A B C D x y O 2 m l 图 2 图 1 第 8 题图 4 m y x O ① ② ④ ③ 第 9 题图 6 二次函数 第二章 10. 若二次函数 y= （ a-1 ） x 2 +a 2 -2a-3 的图象如图所示， 试求 a 的值 . 能力提升 综合拓展 11. 在平面直角坐标系中画出二次函数 y=-x 2 的图象， 并根据图象回答下列问题： （ 1 ） 当 x= 2 3 时， y 的值是多少？ 请在图象上标出所对应的点 . （ 2 ） 当 y=-4 时， x 的值是多少？ 请在图象上标出所对应的点 . （ 3 ） 当 x＜-1 时， y 随 x 值的增大如何变化？ 当 x＞1 时， y 随 x 值的增大又如何变化？ -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -5 -4 -3 -2 -1 y x 1 2 3 4 5 2 1 O 第 11 题图 x y O 第 10 题图 7 九年级下册 （北师大版）数学 12. 我们知道抛物线 y=x 2 的对称轴是 y 轴 . 当 x>0 时， y 随 x 值的增大而增大； 当 x<0 时， y 随 x 值的增大而减小 . 请你根据上面的结论回答下列问题： （ 1 ） 写出函数 y= （ x-1 ） 2 的图象的对称轴 . （ 2 ） x 为何值时， y 随 x 值的增大而增大？ x 为何值时， y 随 x 值的增大而减小？ （ 3 ） 在同一平面直角坐标系中， 画出 y=x 2 和 y= （ x-1 ） 2 的函数图象 . * 13. 直线 y=kx+b 与抛物线 y=x 2 的交点 A ， B 的横坐标分别为 3 ， -1. （ 1 ） 求这个一次函数的表达式， 并在直角坐标系中画出这两个函数图象的草图 . （ 2 ） 设抛物线顶点为 C ， 求 △ABC 的面积 . 中考链接 真题演练 14. （ 2022 ·牡丹江） 若二次函数 y=ax 2 的图象经过点 P （ -2 ， 4 ）， 则该图象必经过点 （ ） A. （ 2 ， 4 ） B. （ -2 ， -4 ） C. （ -4 ， 2 ） D. （ 4 ， -2 ） 15. （ 2024 ·广东） 若点 （ 0 ， y 1 ）， （ 1 ， y 2 ）， （ 2 ， y 3 ） 都在二次函数 y=x 2 的图象上， 则 （ ） A． y 3 ＞y 2 ＞y 1 B． y 2 ＞y 1 ＞y 3 C． y 1 ＞y 3 ＞y 2 D． y 3 ＞y 1 ＞y 2 8