18.2.1 矩形(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

平行四边形 第十八章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 矩形的判定 ◎ 有一个角是直角的 是矩形.（定义） ◎ 对角线 的平行四边形是矩形. ◎ 有三个角是 的四边形是矩形. 1. 为了研究特殊的四边形， 老师制作了一个教具 （如图 1 ） . 用钉子将四根木条钉成一 个平行四边形框架 ABCD ， 并在 A 与 C ， B 与 D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定， 右手 握住木条 BC ， 用左手向右推动框架至 AB⊥BC （如图 2 ）， 观察这个变化过程和所得到的四 边形， 下列说法： ① 四边形 ABCD 由平行四边形变为矩形； ②B ， D 两点之间的距离不 变； ③ 四边形 ABCD 的面积不变； ④ 四边形 ABCD 的周长不变 . 其中正确的是 （ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 2. 如图 18.2-7 ， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 且 OA＝OD ， ∠OAD＝55° ， 则 ∠OBA 的度数为 （ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形， 可行的测量方案是 （ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是不是 90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 【知识点 2 】 矩形性质的推论 ◎ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . 如图 18.2-8 ， Rt△ABC 中， ∠ABC＝90° ， 点 D 为 AC 的中点， 点 E 在 BD 上， 且 AE＝AD ， 连接 CE ， 点 F 为 CE 的中点， 连接 DF ， 若 DF＝1 ， 则 BD 的长为 （ ） A. 2 姨 B. 3 姨 C. 2 D. 3 18.2.1 矩形 （第二课时） 图 18.2-6 A B C D A B C D 图 2图 1 A B C D O 图 18.2-7 A B C D E F 图 18.2-8 63 八年级下册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.2-9 ， 在矩形 ABCD 中， BC＝20 cm ， 点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发， 按逆时针方向沿矩形 ABCD 的边运动， 点 P 和点 Q 的速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s ， 则最快 s 后， 四 边形 ABPQ 变为矩形 . 【点拨】 由矩形的性质可得 BC 与 AD 的关系， 再根据矩形的判 定定理， 需要 BP=AQ ， 利用上述条件列出一元一次方程求解 . 【例 2 】 如图 18.2-10 ， 在 荀ABCD 中， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， CF＝AE ， 连接 AF. （ 1 ） 求证： 四边形 BFDE 是矩形 . （ 2 ） 若 AF 平分 ∠DAB ， CF＝3 ， DF＝5 ， 求四边形 BFDE 的面积 . 【点拨】 （ 1 ） 根据平行四边形的性质得出 DF∥EB ， AB＝CD ， 则 DF＝BE ， 通过证明四边 形 BFDE 是平行四边形， 结合 DE⊥AB ， 即可求证 . （ 2 ） 根据题意推出 ∠DAF＝∠DFA ， 则 AD＝FD＝5 ， 根据勾股定理得出 DE= AD 2 -AE 2 姨 =4 ， 最后根据矩形的面积公式， 即可解答 . 【例 3 】 如图 18.2-11 ， 在 △ABC 中， D 是 BC 上的一点， AB＝AD ， E ， F 分别是 AC ， BD 的中点， EF＝3 ， 则 AC 的长是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【点拨】 连接 AF ， 由 AB＝AD ， F 是 BD 的中点， 根据等腰三角形三线合一的性质得出 AF⊥BD. 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 求得 EF＝ 1 2 AC ， 即 AC＝2EF＝6. 图 18.2-9 A B C D P Q 图 18.2-10 图 18.2-11 A B C D E F A B C D E F 64 平行四边形 第十八章 夯实四基 达标闯关 1. 已知四边形 ABCD 是平行四边形， 下列条件中， 不能判定 荀ABCD 为矩形的是 （ ） A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C C. AC＝BD D. AC⊥BD 2. 如图， 在 荀ABCD 中， M ， N 是 BD 上两点， BM＝DN ， 连接 AM ， MC ， CN ， NA ， 添加 一个条件， 使四边形 AMCN 是矩形， 这个条件是 （ ） A. OM＝ 1 2 AC B. MB＝MO C. BD⊥AC D. ∠AMB＝∠CND 3. 如图， 用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边 AB 是否和底边 BC 垂直， 只需要 用绳子分别测量书架的两条对角线 AC ， BD 的长就可以判断， 其数学依据是 （ ） A. 矩形的对角线相等 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 4. 如图， 四边形 ABCD 为平行四边形， 延长 AD 到点 E ， 使 DE＝AD ， 连接 EB ， EC ， DB ， 要使四边形 DBCE 成为矩形， 可添加一个条件是 . （写出一个条件即可） 5. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB＝5 cm ， M 为边 AD 的中点， P 为 BC 上一点， PE⊥MC 于 点 E ， PF⊥MB 于点 F ， 当 BC 长为 cm 时， 四边形 PEMF 为矩形 . 6. 如图， 在 Rt△BAC 和 Rt△BDC 中， ∠BAC＝∠BDC＝90° ， O 是 BC 的中点， 连接 AO ， DO. 若 AO＝3 ， 则 DO 的长为 . 7. 如图， 在等边 △ABC 中， 过点 C 作 CD⊥BC ， 与 ∠ABC 的平分线交于点 D ， 过点 D 作 DE∥BC ， 交 AB 于点 E ， 若 BC＝9 ， 则 AE 的长为 . 第 6 题图第 5 题图 第 4 题图 A B C D E A B C D E F M P O A B C D A B C D M N O A B C D 第 2 题图 第 3 题图 A B C D E 第 7 题图 65 八年级下册 （人教版）数学 8. 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB＝90° ， D 是 AB 的中点 ， 连接 CD ， 过点 D 作 DE⊥CD 交 BC 于点 E ， 若 CE= 6 姨 ， DE= 2 姨 ， 则 AB 的长为 . 9. 如图， 在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠D＝90° ， E 为边 BC 上 一点， 且 EC＝AD ， 连接 AC. （ 1 ） 求证： 四边形 AECD 是矩形 . （ 2 ） 若 AC 平分 ∠DAB ， AB＝5 ， EC＝2 ， 求 BE 的长 . 10. 如图， 在 荀ABCD 中， CE⊥AD 于点 E ， 延长 DA 至点 F ， 使得 DE＝AF ， 连接 BF ， CF. （ 1 ） 求证： 四边形 BCEF 是矩形 . （ 2 ） 若 AB＝3 ， CF＝4 ， DF＝5 ， 求 EF 的长 . 第 10 题图 A B C D E F 第 8 题图 A B C D E A B C D E 第 9 题图 66 平行四边形 第十八章 能力提升 综合拓展 11. 在矩形 ABCD 中， AB＝6 ， BC＝8 ， E ， F 是对角线 AC 上的两个动点， 分别从点 A ， C 同时出发相向而行， 速度均为每秒 1 个单位长度， 运动时间为 t s ， 其中 0≤t≤10. （ 1 ） 若 G ， H 分别是 AD ， BC 的中点， 则四边形 EGFH 一定是怎样的四边形 （ E ， F 相 遇时除外）？ （ 2 ） 在 （ 1 ） 条件下， 若四边形 EGFH 为矩形， 求 t 的值 . 12. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的高线， CE 是 AB 边上的中线， DG⊥CE 于点 G ， CD＝AE. （ 1 ） 求证： CG＝EG. （ 2 ） 已知 BC＝13 ， CD＝5 ， 连接 ED ， 求 △EDC 的面积 . 第 11 题图 第 12 题图 A B C D E F H G A B C D E G 67 八年级下册 （人教版）数学 中考链接 真题演练 13 . （ 2024 ·长春 ） 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， ∠A＝∠B＝90° ， O 是边 AB 的中点 ， ∠AOD＝∠BOC. 求证： 四边形 ABCD 是矩形 . 14. （ 2024 ·兰州） 如图， 在 △ABC 中， AB＝AC ， 点 D 是 BC 的中点， CE∥AD ， AE⊥ AD ， EF⊥AC. （ 1 ） 求证： 四边形 ADCE 是矩形 . （ 2 ） 若 BC＝4 ， CE＝3 ， 求 EF 的长 . 第 13 题图 第 14 题图 A B C D O A B C D E F 68 参 考 答 案 CF ， ∴ 四边形 AECF 为平行四边形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AC ＝2AO. ∵AE⊥BO ， BE ＝EO ， ∴AO ＝AB ＝1 ， ∴AC ＝2 ， ∴BC ＝ AC 2 -AB 2 姨 ＝ 2 2 -1 2 姨 ＝ 3 姨 . 9. （ 1 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝CD ， OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∠BAD ＝90° ， ∴∠OAB ＝ ∠DBA ， ∠OAD ＝∠ADB. ∵∠OAB +∠OAD ＝∠BAD ＝90° ， ∴ ∠OAB+∠ADB＝90° . ∵BF∥AC ， ∴∠ABF＝∠OAB. ∵ ∠BAF＝∠ADB ， ∴∠ABF+∠BAF＝90°. ∵∠BAF＝35° ， ∴ ∠ABF＝90°-35°＝55° ， ∴∠OAB＝∠DBA＝55°. ∵AE＝CD ， ∴AE ＝AB ， ∴∠AEB ＝∠ABD ＝55° ， ∴∠BAE ＝180° - （ ∠AEB +∠ABD ） ＝180° - （ 55° +55° ） ＝70° ， ∴∠EAC ＝ ∠BAE-∠OAB＝70°-55°＝15°. （ 2 ） 证明 ： 如图 ， 在 OB 上截取 OH＝OE ， 连接 CH ， 在 △AOE 和 △COH 中 ， OA=OC ， ∠AOE=∠COH ， OE=OH H ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴ △AOE≌△COH （ SAS ）， ∴∠AEB＝∠CHO ， AE＝CH. ∵ ∠AEB ＝∠ABD ＝∠ABF ， AB ＝AE ， ∴AB ＝CH. ∵BF ＝ 2OE ， ∴BF＝HE ， ∴△ABF≌△CHE （ SAS ）， ∴∠AFB＝ ∠CEH＝90° ， ∴CE⊥BD. 10. 证明 ： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝ DC ， ∠B＝∠C＝90°. ∵E 是 BC 的中点 ， ∴BE＝CE. 在 △ABE 和 △DCE 中 ， AB=DC ， ∠B=∠C ， BE=CE E ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌△DCE （ SAS ） . （ 2 ） ∵△ABE ≌ △DCE ， ∴AE ＝DE ， ∴ ∠EAD ＝ ∠EDA. 11. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为矩形 ， ∴AB＝CD ， ∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF ， ∴BE+EF＝CF+EF ， 即 BF＝CE. 在 △ABF 和 △DCE 中 ， AB=CD ， ∠B=∠C ， BF=CE H ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABF≌△DCE （ SAS ）， ∴AF＝DE. 18.2.1 矩形 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 平行四边形 相等 直角 1. B 2. A 3. C 【 知识点 2 】 一半 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形 ， ∴DF∥EB ， AB＝CD. 又 ∵CF＝AE ， ∴DF＝ BE ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝90° ， ∴ 四边形 BFDE 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵AF 平 分 ∠DAB ， DC∥AB ， ∴ ∠DAF＝∠FAB ， ∠DFA＝∠FAB ， ∴∠DAF＝∠DFA. ∵DF＝5 ， ∴AD＝FD＝5. ∵AE＝CF＝3 ， DE⊥AB ， ∴DE= AD 2 -AE 2 姨 =4 ， ∴ 矩形 BFDE 的面积是 DF · DE＝ 5×4＝20. 【 例 3 】 D 解析 ： 如 图 ， 连接 AF. ∵AB＝AD ， F 是 BD 的中点 ， ∴AF⊥BD. 在 Rt△ACF 中 ， ∵∠AFC＝ 90° ， E 是 AC 的中点 ， EF＝ 3 ， ∴AC＝2EF＝6. 故选 D. 1. D 2. A 3. C 4. CD＝BE （ 或 ∠ADB＝90° 或 CE⊥DE ） 5. 10 6. 3 7. 3 8. 4 9. （ 1 ） 证 明 ： ∵AD∥BC ， EC ＝AD ， ∴ 四 边 形 AECD 是平行四边形 . 又 ∵∠D＝90° ， ∴ 四边形 AECD 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵AC 平 分 ∠DAB ， ∴∠BAC ＝∠DAC. ∵AD∥BC ， ∴∠DAC＝∠ACB ， ∴∠BAC＝∠ACB ， ∴BA＝ BC＝5. ∵EC＝2 ， ∴BE＝3. 10. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， AD＝BC. ∵DE＝AF ， ∴EF＝BC ， EF∥BC ， ∴ 四边形 BCEF 是平行四边形 . 又 ∵CE⊥AD ， ∴∠CEF＝ 90° ， ∴ 平行四边形 BCEF 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴CD＝ AB＝3. ∵CF＝4 ， DF＝5 ， ∴CD 2 +CF 2 ＝DF 2 ， ∴△CDF 是直 角三角形 ， ∠DCF＝90° ， ∴S △CDF ＝ 1 2 DF×CE＝ 1 2 CF×CD ， ∴CE＝ CF×CD DF ＝ 4×3 5 ＝ 12 5 . 由 （ 1 ） 得 ， EF＝BC ， 四边形 BCEF 是 矩 形 ， ∴∠FBC ＝90° ， BF ＝CE ＝ 12 5 ， ∴BC ＝ CF 2 -BF 2 姨 = 4 2 - 12 5 5 . 2 姨 ＝ 16 5 ， ∴EF＝ 16 5 . 11. 解 ： （ 1 ） 四边形 EGFH 是平行四边形 . 理由 如下 ： 由题意得 ， AE＝CF＝t. ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AD∥BC ， AD＝BC ， ∴∠GAE＝∠HCF. ∵G ， H 分别是 AD ， BC 的中点 ， ∴AG＝ 1 2 AD ， CH＝ 1 2 BC ， ∴AG＝CH ， ∴△AEG≌△CFH （ SAS ）， ∴EG＝FH ， ∠AEG＝∠CFH ， A B C D E F OH 第 9 题答图 A B C D E F 例 3 题答图 65 八年级下册 （ 人教版 ）数学 ∴∠FEG＝∠EFH ， ∴EG∥HF ， ∴ 四边形 EGFH 是平行 四边形 . （ 2 ） 如图 1 ， 连 接 GH ， 由 （ 1 ） 得 AG＝BH ， AG∥BH ， ∠B＝ 90° ， ∴ 四 边 形 ABHG 是 矩 形 ， ∴GH＝AB＝6. ① 如图 1 ， 当四边形 EGFH 是矩形时 ， EF＝GH＝6. ∵AE＝CF＝t ， ∴EF＝10-2t＝6 ， ∴t＝2. ② 如图 2 ， 当四边形 EGFH 是矩形时 ， ∵EF＝GH＝6 ， AE＝CF＝ t ， ∴EF＝t +t-10＝2t-10＝6 ， ∴t＝8. 综上 ， 四边形 EGFH 为矩形时 t＝2 或 t＝8. 12. （ 1 ） 证明 ： 连接 DE ， 在 Rt△ADB 中 ， 点 E 是 AB 的中点 ， ∴DE＝ 1 2 AB ＝ AE . ∵CD ＝ AE ， ∴DE ＝DC. 又 DG ⊥CE ， ∴CG＝EG. （ 2 ） 解 ： 作 EF⊥BC 于点 F ， ∵BC＝13 ， CD＝5 ， ∴BD＝13-5＝8. ∵DE＝BE ， EF⊥BC ， ∴DF＝BF＝4 ， ∴EF＝ DE 2 -DF 2 姨 ＝ 5 2 -4 2 姨 ＝3 ， ∴S △EDC ＝ 1 2 ×CD×EF＝ 1 2 ×5×3＝ 7.5. 13. 证明 ： 由题可知 ， ∵O 是边 AB 的中点 ， ∴OA＝ OB. 在 △AOD 和 △BOC 中 ， ∠AOD=∠BOC ， OA=OB ， ∠A=∠B B ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴△AOD≌ △BOC （ ASA ）， ∴DA＝CB. ∵∠A＝∠B＝90° ， ∴DA∥CB ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵∠A＝90° ， ∴ 四边 形 ABCD 是矩形 . 14. （ 1 ） 证明 ： ∵ 在 △ABC 中 ， AB＝AC ， D 是 BC 的中点 ， ∴AD⊥BC ， 即 ∠ADC＝∠ADB＝90° . ∵CE∥ AD ， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°. ∵AE⊥AD ， ∴∠EAD＝90° ， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90° ， ∴ 四边形 ADCE 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 在 △ABC 中 ， AB＝AC ， D 是 BC 的中 点 ， BC＝4 ， ∴BD＝CD＝ 1 2 BC＝2. 由 （ 1 ） 可知 ， 四边形 ADCE 是矩形 ， ∴AE＝CD＝2 ， ∠AEC＝90°. 在 Rt△AEC 中 ， AE＝2 ， CE＝3 ， 由勾股定理得 ， AC＝ AE 2 +CE 2 姨 ＝ 13 姨 . ∵EF⊥AC ， 由三角形的面积公式得 ， S △AEC ＝ 1 2 AC · EF＝ 1 2 AE · CE ， ∴EF＝ AE · CE AC ＝ 2×3 13 姨 = 6 13 姨 13 . 18.2.2 菱形 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 邻边 四条边 垂直 对角 1. A 2. D 3. 30° 【 例 1 】 55° 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为菱形 ， ∴BA＝BC ， ∠ABD＝∠CBD. 在 △ABE 和 △CBE 中 ， BA=BC ， ∠ABD=∠CBD ， BE=BE E ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌△CBE （ SAS ）， ∴AE＝ CE. （ 2 ） 解 ： 设 ∠BAP＝α. ∵△ABE≌△CBE ， ∴ ∠BAP＝∠BCE＝α. ∵AE＝PC ， AE＝CE ， ∴PC＝CE ， ∴∠CPE＝∠CEP＝ 1 2 （ 180°-∠BCE ） ＝90°- 1 2 α. ∵ ∠CPE 是 △ABP 的一个外角 ， ∠ABC＝45° ， ∴ ∠CPE＝∠ABC+∠BAP ， ∴90°- 1 2 α＝45°+α ， ∴α＝ 30° ， ∴∠BAP＝α＝30°. 1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. 4.8 7. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AB＝AD ， ∠B＝ ∠D. 在 △ABE 和 △ADF 中 ， ∠B=∠D ， ∠AEB=∠AFD ， AB=AD B ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌ △ADF （ AAS ）， ∴BE＝DF. 8. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴AD∥ BC ， BC＝AD ， ∴∠D＝∠ECF ， ∠DAE＝∠F. ∵E 是 CD 的中点 ， ∴DE＝CE ， ∴△ADE≌△FCE （ AAS ）， ∴AD＝ CF ， ∴BC＝CF. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 BC＝CF ， ∵BC＝AB＝2 ， ∴BF＝ 2BC＝4. ∵AE⊥AB ， ∴∠BAF＝90° ， ∴AF＝ BF 2 -AB 2 姨 ＝2 3 姨 ， ∴S △ABF ＝ 1 2 AB · AF＝2 3 姨 . 9. B 10. 3 姨 +1 11. 解 ： （ 1 ） 如图 1 ， 连接 BD ， 交 AC 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴BO＝DO ， AO＝ 1 2 AC＝4 5 姨 ， AC⊥BD ， ∴OD＝ AD 2 -AO 2 姨 ＝ 10 2 - （ 4 5 姨 ） 2 姨 ＝2 5 姨 ， ∴BD＝4 5 姨 ， ∴S 菱形 ABCD ＝ 1 2 GA D CHB E F 图 2 第 12 题答图 O E D C B FA 图 1 第 11 题答图 G C D F B E A GA D CHB F E 图 1 66