黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高二下学期开学考试数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13 14. 解答题 15. 16. 17. 18. 19. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 高二数学开学考试参考答案 1. 若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l与平面 所成的角等 于( ) A. 120° B. 30° C. 60° D. 60°或 30° 【答案】B 【解析】 【分析】因直线方向向量与平面的法向量的夹角为120 ，所以线面角为30． 【详解】设直线 l与平面 所成的角为 ，则 120 90 30     ，故选 B． 【点睛】一般地，如果直线的方向向量 a 与平面的法向量 n  的夹角为 ，直线与平面所成 的角为 ，则 ·sin cos a n a n        ． 2. 下列选项中的曲线与 2 2 1 12 24 x y   共焦点的双曲线是（ ） A. 2 2 2 24 12 x y   B. 2 2 24 12 y x   1 C. 2 2 26 10 y x   1 D. 2 2 10 26 x y   1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线 2 2 1 12 24 x y   的焦点位置及半焦距，再逐项判断作答. 【详解】双曲线 2 2 1 12 24 x y   的焦点在 x轴上，半焦距 12 24 6c    ， 对于 A，方程 2 2 2 24 12 x y   ，即 2 2 1 48 24 x y   ，是焦点在 x 轴上的双曲线，而半焦距为 48 24 6 2  ，A不是； 对于 B，C，方程 2 2 1 24 12 y x   、 2 2 1 26 10 y x   都是焦点在 y轴上的双曲线，BC不是； 对于 D，方程 2 2 1 10 26 x y   是焦点在 x轴上的双曲线，半焦距为 10 26 6  ，D是. 故选：D 3. 将函数   10sin4f x x 的图象向右平移 π 16 个单位后，得到函数  g x 的图象，则  g x  （ ） A. π10sin 4 4 x      B. π10sin 4 4 x      C. π10sin 4 16 x      D. π10sin 4 16 x      【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移的法则“左加右减”的原则，即可得到答案. 【详解】因为函数   10sin4f x x 的图象向右平移 π 16 个单位后， 得到 π π10sin4 10sin 4 16 4 y x x              的图象， 所以   π10sin 4 4 g x x      . 故选：A. 4. 若直线 l经过点 1 2P（，），且点 2 3A（ ，）， 0 5B （ ， ）到它的距离相等，则 l的方程为（ ） A. 4 2 0x y   B. 4 2 0x y   C. � = 1 或 4 2 0x y   D. 4 2 0x y   或� = 1 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两 点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得：  1 当两个点 2 3A（ ，），  0, 5B  在所求直线的异侧时， 即过线段 AB的中点 1 1（， ）．由于直线又经过  1 2， ， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为 1x  ；  2 当 2 3A（ ，），  0, 5B  在所求直线同侧时， 直线 AB与所求的直线平行， 又因为 3 5 4 2 0AB k    ， 所以所求的直线斜率为 4l ABk k  ，由于直线又经过  1 2， ， 直线方程为  2 4 1y x   ， 化简得： 4 2 0x y   ， 综上，满足条件的直线为 4 2 0x y   或 1x  ， 故选：C． 5. 已知数列 na 满足 1 1 2 a  ， 1 11n n a a   ，则 2024a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推公式可验证出数列 na 为周期为3的周期数列，进而可得结果. 【详解】因为 1 1 2 a  ， 1 11n n a a   ， 令 1n  ，则 2 1 11 1 2 1a a       ； 令 2n  ，则 3 2 11 1 1 2a a      ； 令 3n  ，则 4 3 1 1 11 1 2 2 a a      ； 可知数列 na 为周期为3的周期数列，所以 2024 674 3 2 2 1a a a     . 故选：A. 6. 若向量 1 2 3, ,e e e   是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量 a，存在唯一的有序实 数组 ( , , )x y z ，使得： 1 2 3a xe ye ze      ，我们把有序实数组 ( , , )x y z 叫做基底 1 2 3, ,e e e    下向量 a 的斜坐标 .设向量 p  在基底{ , , }a b c   下的斜坐标为 (1, 2,5) ，则向量 p  在基底 { , , }a b b c c a        下的斜坐标为（ ） A. ( 3, 1, 4)  B. (3,1, 4) C. (3, 1, 4)  D. ( 3,1,4) 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法设      p x a b y b c z c a      ur r r r r r r ，结合所给定义及其在基底  , ,a b c   下的斜坐标计算即可得. 【详解】设            p x a b y b c z c a x z a x y b y z c            ur r r r r r r r r r ， 又 2 5p a b c   ur r r r ， 1 2 5 x z x y y z          ，解得 3 1 4 x y z       ， 即      3 4p a b b c c a       ur r r r r r r . 所以向量 p  在基底 , ,a b b c c a        下的斜坐标为  3,1,4 . 故选：D. 7. 已知 nS 是等差数列 na 的前 n项和， 1 0a  ，且 13 19S S ，则下列说法不正确的是（ ） A. 公差 0d  B. 16 0a  C. 32 0S  D. 17n  时， nS 最大 【答案】D 【解析】 【分析】由题设求出 1 2 31 d a  即可判断 A；由 1 2 31 d a  和等差数列通项公式和前 n项 和公式即可判断 BC；由 1 2 31 d a  和前 n项和公式结合一元二次函数性质即可判断 D. 【详解】设数列 na 的公差为 d， 对于 A，因为 13 19S S ， 1 0a  ，所以 1 1 1 213 78 19 171 0 31 a d a d d a      ，故 A 正确； 对于 B， 116 1 1 0 2 115 31 31 a aa a         ，故 B正确； 对于 C， 32 1 1 32 3132 02 312 S a a         ，故 C正确； 对于 D，因为     1 1 1 1 1 2 2 2 31n n n n n S na d na a                2 21 1 1 116 256 16 256 31 31 a n a n             ， 所以 16n  时， nS 最大，故 D错误. 故选：D. 8. 已知 1F ， 2F 是双曲线 1C ：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点，椭圆 2C 与双曲线 1C 的焦点相同， 1C 与 2C 在第一象限的交点为 P，若 1PF 的中点在双曲线 1C 的渐近线上，且 1 2PF PF ，则椭圆的离心率是（ ） A. 12 B. 3 2 C. 5 3 D. 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出 1 2,PF PF ，利用中位线定理找到 1a , 2a 的关系，再 结合 1 2PF PF ，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设 1 2,m PF n PF  ，设椭圆长半轴长为 1a ，短半轴长为 1b ，双曲线 实半轴长为 2a ，虚半轴长为 2b ，则由椭圆及双曲线定义可得： 1 1 2 2 1 2 2 , 2 m n a m a a m n a n a a            ， 又因为 1 2PF PF ，且 ,O M 分别为 1PF ， 1 2F F 的中点，所以 1FM OM , 所以 1( ,0)F c 到渐近线 2 2 0b x a y  的距离为 2 1 22 2 2 2 b c FM d b a b     ， 所以 1 22PF m b  ， 2 22PF n a  ，结合 1 2 1 2 m a a n a a      ，可得： 1 23a a ① 因为 1 2PF PF ，所以 2 2 24 ,m n c  即    2 2 21 2 1 2 4a a a a c    ， 整理得： 2 2 2 1 2 2a a c  ，将①代入， 2 2 1 10 2 9 a c ，所以 5 3 e  . 故选：C. 9．记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.已知 S5＝35，a4＝11，则( ) A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3 C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n 答案 AC 解析 设等差数列的公差为 d，则由 S5＝35，a4＝11，可得 5a1＋10d＝35， a1＋3d＝11， 解得 a1＝－1，d ＝4，则 an＝－1＋4(n－1)＝4n－5，Sn＝ n（－1＋4n－5） 2 ＝2n2－3n，故选 AC. 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线 1 2,l l 的方向向量分别是 (2,3, 1), ( 2, 3,1)a b       ，则 1 2l l// B. 直线 l的方向向量 (1, 1, 2)a   r ，平面α的法向量是 (6,4, 1)u    ，则 l  C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是 (2, 2, 1), ( 3, 4, 2)u v      ，则  D. 直线 l的方向向量 (0,3,0)a   ，平面α的法向量是 (0, 5,0)u    ，则 / /l  【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与 垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于 A，由 (2,3, 1), ( 2, 3,1)a b       ，得a b    ，所以 / /a b   ，所以 1 2l l// ，故 A正确； 对于 B，假设 a u   / / ，则存在唯一得实数λ，使得 a u   = ，即 (1, 1, 2) (6 , 4 , )     ，所 以 1 6 , 1 4 , 2 ,          无解，所以 ,a u   不共线，所以 l，α不垂直，故 B错误； 对于 C，因为 6 8 2 0u v        ，所以 u v   ，所以  ，故 C正确； 对于 D，因为 15a u     ，所以 ,a u   不垂直，所以 l，α不平行，故 D错误． 故选：AC． 11．已知圆 2 2: 4 6 3 0C x y x y     ，直线 : 1 0l ax y a    （其中 a为参数），则下列选 项正确的是（ ） A．圆心坐标为  2,3 B．若直线 l与圆C相交，弦长最大值为 12 C．直线 l过定点  0, 1a  D．当 8 15 a   时，直线 l与圆C相切 【答案】AD 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而得到圆心和半径，判断 AB两个选项， 由直线 l的方程，令 a的系数为0求得定点，判断 C选项，由点到直线的距离判断 D选项. 【详解】由圆 2 2: 4 6 3 0C x y x y     可化为 2 2( 2) ( 3) 16x y    ，故 A正确； 弦长最大值为直径8，B错误； 由直线 : 1 0l ax y a    方程可化为    1 1 0a x y    ，则直线过定点  1, 1 ，故 C错误； 当 8 15 a   时，直线 8 8: 1 0 15 15 l x y     即 : 8 15 7 0l x y   ， 圆心到直线的距离 2 2 8 2 15 3 7 68 4 178 15 d r          ，从而直线与圆相切，故 D正确． 故选：AD． 12. 随机敲击电脑键盘上的 1，2，3 这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得 到的两个数字恰好都是奇数的概率为________． 【答案】 4 9 【解析】 【分析】利用古典概型求解即可. 【详解】由题意，所有的结果有                  1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 共 9种， 符合题意的有        1,1 , 1,3 , 3,1 , 3,3 共 4种， 所有所求概率为 4 9 . 故答案为： 4 9 . 13. 一个动圆与定圆  2 2: 3 4F x y   相外切，且与直线 : 1l x   相切，则动圆圆心的 轨迹方程为_______． 【答案】 2 12y x 【解析】 【分析】分析可知，动圆圆心的轨迹是以点  3,0F 为圆心，以直线 3x   为准线的抛物线， 由此可得出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题意可知，圆 F 的圆心为  3,0F ，半径为 2， 由于动圆与定圆  2 2: 3 4F x y   相外切，且与直线 : 1l x   相切， 动圆圆心到点 F 的距离比它到直线 l的距离大 2， 所以，动圆圆心到点 F 的距离等于它到直线 3x   的距离， 所以，动圆圆心的轨迹是以点  3,0F 为圆心，以直线 3x   为准线的抛物线， 设动圆圆心的轨迹方程为 2 2y px ，则 3 2 p = ，可得 6p = ， 所以，动圆圆心的轨迹方程为 2 12y x . 故答案为： 2 12y x . 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出 方程； （3）相关点法：用动点Q的坐标 x、 y表示相关点 P的坐标 0x 、 0y ，然后代入点 P的坐标  0 0,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标 x、 y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x、 y与某一参 数 t得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的 轨迹方程. 14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前 n项和.若 a1，a3是方程 x2－5x＋4＝0 的 两个根，则 S6＝________. 答案 63 解析 ∵a1，a3是方程 x2－5x＋4＝0的两根，且 q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比 q＝2，因此 S6＝ 1×（1－26） 1－2 ＝63. 15. 如图，在四边形 ABCD中， 3 , 4, 60BC AD BD ADB       ，且 2DA DB    ． （1）求 AD的长； （2）求CD的长； （3）求cos2C． 【答案】（1）1 （2） 13 （3） 11 13  【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义列方程求解即可； （2）根据向量共线的性质求出 3BC  以及 60DBC  ，再利用余弦定理求解即可； （3）利用余弦定理求出 cosC 13 13  ，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【小问 1详解】 因为 4, 60BD ADB    所以 cosDA DB DA DB ADB        14 2 2 DA     ， 1DA   ，即 1AD  ； 【小问 2详解】 3BC AD    ， 3 3BC AD   且 / /AD BC， 60DBC ADB   ， 2 2 2 2 cosCD BD BC BD BC DBC      116 9 2 4 3 13 2        ， 13CD  ； 【小问 3详解】 2 2 2 9 13 16cos 2 2 3 13 CB CD BDC CB CD          13 13  2cos 2 2cos 1C C   12 1 13    11 13   16．已知数列 na 的前 n项和 2 12n nS n  . (1)求证： na 是等差数列； (2)求数列 na 的前 n项和 nT . 【答案】(1)证明见解析 (2) 2 2 12 1 6 , N 12 72, 7n n n nT n n n n         ， 【分析】（1）先根据 na 和 nS 的关系求出数列 na 的通项公式；再根据等差数列的定义即可 证明数列 na 是等差数列 （2）由通项公式 2 13na n  可知：当 13 2 n  时 0na  .分两种情况，根据等差数列的前 n项 和即可解答. 【详解】（1）证明： 2 12n nS n  当 1n  时， 1 2 1 1 12 1 11a S     ； 当 2n  时，      1 22 1 1 12 2 132 1nn n n na S S n n n            ； 经验证当 1n  时上式成立， 所以 2 13na n  . 因为    1 2 13 2 1 13 2n na a n n         （常数） 所以数列 na 是等差数列. （2）由(1)知： 2 13na n  . 令 0na  ，则 13 2 n  . 因为 2 12n nS n  ， 2 6 6 12 6 36S     所以当1 6n  时， 21 2 12n n nT a a a S n n       ； 当 7n  时， 21 2 6 7 8 6 6 12 72n n nT a a a a a a S S S n n               ； 综上所得： 2 2 12 1 6 , N 12 72, 7n n n nT n n n n         ， 17. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心， 已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展 情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80% .现从参与调查的 人群中随机选出 200人，并将这200人按年龄分组：第1组 15,25 ，第 2组 25,35 ，第3 组 35,45 ,第 4组 45,55 ,第5组 55,65 ,得到的频率分布直方图如图所示： （1）求 a的值 （2）求这 200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到 小数点后一位)； （3）现在要从年龄较小的第1, 2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3 人进行问卷调查，求第 2组恰好抽到 2人的概率. 【答案】（1） 0.035a  ；（2）平均数为 41.5岁；中位数为 42.1岁；（3） 3 5 . 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图即能求出 a； （2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数； （3）第 1，2组的人数分别为 20人，30人，从第 1，2组中用分层抽样的方法抽取 5人， 则第 1，2组抽取的人数分别为 2人，3人，再利用列举法即可求出. 【详解】解：（1）由  10 0.010 0.015 0.030 0.010 1a      ，得 0.035a  . （2）平均数为 20 0.1 30 0.15 40 0.35 50 0.3 60 0.1 41.5          岁； 设中位数为 x，则  10 0.010 10 0.015 35 0.035 0.5x       ，∴ 42.1x  岁. （3）第1, 2组的人数分别为 20人，30人，从第1, 2组中用分层抽样的方法抽取5人， 则第1, 2组抽取的人数分别为 2人，3人，分别记为 1 2 1 2 3, , , ,a a b b b . 从5人中随机抽取3人，有          1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 1 3, , , , , , , , , , , , , , ,a a b a a b a a b a b b a b b          1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3, , , , , , , , , , , , , ,a b b a b b a b b a b b b b b ， 共10个基本事件，从而第 2组中抽到 2人的概率 6 3 10 5  . 【点睛】方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注 意思考的顺序，做到不重不漏. 18. 如图.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， 2 2,  AB AD PA 平面 ,ABCD E为 PD中点，且 1PA  . （1）求证： //PB 平面 ACE； （2）求直线 BE 与平面 PCD所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 2 2 3 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可求解. 【小问 1详解】 连接 BD，交 AC于点O，连接 EO， ∵O为 BD中点， E为 PD中点，∴ EO PB∥ . 又∵ EO 平面 ACE， PB  平面 ACE，∴ / /PB 平面 ACE . 【小问 2详解】 如图，以A为坐标原点， AB， AD， AP所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角 坐标系. 则  0,0,0A ，  2,1,0C ，  2,0,0B ，  0,0,1P ，  0,1,0D ， 则 1 10, , 2 2 E      ， 1 12, , 2 2 BE        ，    0,1, 1 , 2,1, 1PD PC      ， 设平面 PCD的法向量为  , ,n x y z  ，则 0 2 0 n PD y z n PC x y z              ，令 =1y ，得  0,1,1n   . 设直线 BE与平面 PCD所成角为 ，且 π0, 2       ， ∴ 1 1 12 2sin cos , 39 2 2 BE n BE n BE n             ，∴ 2 2 2cos 1 sin 3     ， 即直线 BE与平面 PCD所成角的余弦值为 2 2 3 . 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的一个焦点与抛物线 2 4y x 的焦点相同， 1F 、 2F 分别为椭圆C的左、右焦点，M为 C上任意一点， 1 2MF FS 的最大值为 1. （1）求椭圆C的方程； （2）不过点 F2的直线 l:y=kx+m (m≠0)交椭圆 C于 A，B两点. ①若 k2= 12 ,且 S△AOB= 2 2 ，求 m的值； ②若 x轴上任意一点到直线 AF2与 BF2距离相等，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐 标. 【答案】（1） 2 2 1 2 x y  ；（2）① 1m   ；②直线 l恒过定点 (2,0) . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可求得 1c  ， 1b  ，进而求得 a，由此得到椭圆方程； （2）①联立方程，得到 k与m的不等关系，及两根的关系，表示出弦长 AB及点O到直线 AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意， 1 2 0k k  ，由此可得到 k与m的等量关系， 进而求得定点． 【详解】（1）由抛物线的方程 2 4y x 得其焦点为 (1,0)，则 1c  ， 当点M 为椭圆的短轴端点时， 1 2MF F 面积最大，此时 1 2 1 2 S c b    ，则 1b  ，  2a  ，故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y  ； （2）联立 2 2 1 2 x y y kx m        得， 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ，  2 2 2 2 2 216 4(2 1)(2 2) 8(2 1) 0k m k m k m        ，得 2 21 2 (*)k m  ， 设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，则 2 1 2 1 22 2 4 2 2, 1 2 1 2 km mx x x x k k        ， ① 0m  且 2 1 2 k  ，代入 (*)得， 20 2m  ， 2 2 1 2| | 1 | | 3(2 )AB k x x m     ， 设点O到直线 AB的距离为 d ，则 2 | | 2 | | 31 m md k    ，  21 1 2 | | 2| | 3(2 ) 2 2 23AOB mS AB d m     ， 2 1 (0,2)m   ，则 1m   ； ② 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , 1 1 1 1 y kx m y kx mk k x x x x           ，由题意， 1 2 0k k  ，  1 2 1 2 0 1 1 kx m kx m x x       ，即 1 2 1 22 ( )( ) 2 0kx x m k x x m     ，  2 2 2 2 2 42 ( )( ) 2 0 1 2 1 2 m kmk m k m k k          ，解得 2m k  ， 直线 l的方程为 ( 2)y k x  ，故直线 l恒过定点，该定点坐标为 (2,0)． 【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以 先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定 点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数 R ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式 2 1 2 3( , ) ( , ) ( , ) 0f x y f x y f x y    ，（一般地， ( , )( 1,2,3)if x y i  为关于 ,x y的二元一次 关系式）由上述原理可得方程组 1 2 3 ( , ) 0 { ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f x y f x y    ，从而求得该定点. 绝密★启用前 大庆中学 2024-2025 学年度下学期开学考试 高二年级数学试题 考试时间：120 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l与平面 所成的角等于( ) A. 120° B. 30° C. 60° D. 60°或 30° 2. 下列选项中的曲线与 2 2 1 12 24 x y   共焦点的双曲线是（ ） A. 2 2 2 24 12 x y   B. 2 2 24 12 y x   1 C. 2 2 26 10 y x   1 D. 2 2 10 26 x y   1 3. 将函数   10sin4f x x 的图象向右平移 π 16 个单位后，得到函数  g x 的图象，则  g x （ ） A. π10sin 4 4 x      B. π10sin 4 4 x      C. π10sin 4 16 x      D. π10sin 4 16 x      4. 若直线 l经过点 1 2P（，），且点 2 3A（ ，）， 0 5B （ ， ）到它的距离相等，则 l的方程为（ ） A. 4 2 0x y   B. 4 2 0x y   C. � = 1 或 4 2 0x y   D. 4 2 0x y   或� = 1 5. 已知数列 na 满足 1 1 2 a  ， 1 11n n a a   ，则 2024a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 12 6. 若向量 1 2 3, ,e e e   是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量 a，存在唯一的有序实数组 ( , , )x y z ， 使得： 1 2 3a xe ye ze      ，我们把有序实数组 ( , , )x y z 叫做基底 1 2 3, ,e e e    下向量 a的斜坐标.设向量 p  在基底{ , , }a b c   下的斜坐标为 (1, 2,5) ，则向量 p  在基底{ , , }a b b c c a        下的斜坐标为（ ） A. ( 3, 1, 4)  B. (3,1, 4) C. (3, 1, 4)  D. ( 3,1,4) 7. 已知 nS 是等差数列 na 的前 n项和， 1 0a  ，且 13 19S S ，则下列说法不正确的是（ ） A. 公差 0d  B. 16 0a  C. 32 0S  D. 17n  时， nS 最大 8. 已知 1F ， 2F 是双曲线 1C ：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点，椭圆 2C 与双曲线 1C 的焦点相 同， 1C 与 2C 在第一象限的交点为 P，若 1PF 的中点在双曲线 1C 的渐近线上，且 1 2PF PF ，则椭圆的 离心率是（ ） A. 12 B. 3 2 C. 5 3 D. 5 5 二、多项选择题（本大题共 4 小题．每题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．） 9．记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.已知 S5＝35，a4＝11，则( ) A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3 C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线 1 2,l l 的方向向量分别是 (2,3, 1), ( 2, 3,1)a b       ，则 1 2l l// B. 直线 l的方向向量 (1, 1, 2)a   r ，平面α的法向量是 (6,4, 1)u    ，则 l  C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是 (2, 2, 1), ( 3, 4, 2)u v      ，则  D. 直线 l的方向向量 (0,3,0)a   ，平面α的法向量是 (0, 5,0)u    ，则 / /l  11．已知圆 2 2: 4 6 3 0C x y x y     ，直线 : 1 0l ax y a    （其中 a为参数），则下列选项正确的是（ ） A．圆心坐标为  2,3 B．若直线 l与圆C相交，弦长最大值为 12 C．直线 l过定点  0, 1a  D．当 8 15 a   时，直线 l与圆C相切 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 12. 随机敲击电脑键盘上的 1，2，3 这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数 字恰好都是奇数的概率为________． 13. 一个动圆与定圆  2 2: 3 4F x y   相外切，且与直线 : 1l x   相切，则动圆圆心的轨迹方程为 _______． 14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前 n项和.若 a1，a3是方程 x2－5x＋4＝0 的两个根，则 S6＝________. 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四边形 ABCD中， 3 , 4, 60BC AD BD ADB       ，且 2DA DB    ． （1）求 AD的长； （2）求CD的长； （3）求cos2C． 16．已知数列 na 的前 n项和 2 12n nS n  . (1)求证： na 是等差数列； (2)求数列 na 的前 n项和 nT . 17. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全 民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统 计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80% .现从参与调查的人群中随机选出 200人，并将这 200人按年龄分组：第1组 15,25 ，第 2组 25,35 ，第3组 35,45 ,第 4组 45,55 ,第5组 55,65 , 得到的频率分布直方图如图所示： （1）求 a的值 （2）求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一 位)； （3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷 调查，求第 2组恰好抽到 2人的概率. 18. 如图.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， 2 2,  AB AD PA 平面 ,ABCD E为 PD中 点，且 1PA  . （1）求证： //PB 平面 ACE； （2）求直线 BE 与平面 PCD所成角的余弦值. 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的一个焦点与抛物线 2 4y x 的焦点相同， 1F 、 2F 分别为椭圆 C的左、右焦点，M为 C上任意一点， 1 2MF FS 的最大值为 1. （1）求椭圆C的方程； （2）不过点 F2的直线 l:y=kx+m (m≠0)交椭圆 C于 A，B两点. ①若 k2= 12 ,且 S△AOB= 2 2 ，求 m的值； ②若 x轴上任意一点到直线 AF2与 BF2距离相等，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.