第六章 计数原理（大单元整合复习课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 大单元整合复习课件 目录 核心考点梳理 01 考点题型归纳 02 数学思想归纳 03 课本复习参考题 04 05 高考链接 [本章核心导图] 1．两个计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理，与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键． 核心考点梳理 2．排列与组合 排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题． 核心考点梳理 3．排列数与组合数公式及性质 专题一、 计数原理 考点题型归纳 【答案】C 【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择； 会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择， 故选：C. 专题一、 计数原理 【答案】B 【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B. 专题一、 计数原理 考点二、分步乘法计数原理 3.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（ ）种 A．165 B．286 C．990 D．1716 专题一、 计数原理 【答案】C 【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种， a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）． 故选：C． 专题一、 计数原理 考点三、两个计数原理综合运用 5.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法． 专题一、 计数原理 考点三、两个计数原理综合运用 6.某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 专题二、 排列及排列数 考点四、排列的概念 7.下列问题是排列问题的是(　　) A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 专题二、 排列及排列数 考点四、排列的概念 8.下列问题是排列问题的是(　　) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 专题二、 排列及排列数 专题二、 排列及排列数 专题二、 排列及排列数 专题二、 排列及排列数 专题二、 排列及排列数 考点六、排队问题 12.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ） A．360 B．720 C．2160 D．4320 专题二、 排列及排列数 考点七、数字问题 13.现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字. （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？ （3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 专题二、 排列及排列数 考点七、数字问题 14.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）个 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 考点十、组合应用 19.男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员． 专题三、 组合及组合数 专题三、 组合及组合数 考点十、组合应用 20.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核． （Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率； （Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率． 专题三、 组合及组合数 专题四、 排列组合的综合运用 考点十一、全排列 21.2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（ ） A．64种 B．48种 C．24种 D．12种 专题四、 排列组合的综合运用 考点十一、全排列 22.3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（ ） A．3种 B．6种 C．12种 D．5种 专题四、 排列组合的综合运用 考点十二、相邻问题 23.某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（ ） A．24 B．36 C．48 D．60 专题四、 排列组合的综合运用 考点十二、相邻问题 24.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 专题四、 排列组合的综合运用 考点十三、不相邻问题 25.省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式. A．12 B．24 C．36 D．48 专题四、 排列组合的综合运用 考点十三、不相邻问题 26.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ） A．12种 B．14种 C．5种 D．4种 专题四、 排列组合的综合运用 考点十四、分组分配 27.疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 专题四、 排列组合的综合运用 考点十四、分组分配 28.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ） A．24 B．14 C．12 D．8 专题四、 排列组合的综合运用 考点十五、几何问题 29.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个 A．70 B．64 C．60 D．58 专题四、 排列组合的综合运用 专题四、 排列组合的综合运用 专题四、 排列组合的综合运用 专题四、 排列组合的综合运用 专题四、 排列组合的综合运用 专题四、 排列组合的综合运用 考点十七、数字问题 34.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( ) A．6 B．12 C．18 D．24 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 专题五、 二项式定理 数学思想归纳 (一)分类讨论思想 【方法解读】解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)． 【例1】车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 【例1】车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ (二)正难则反思想 【方法解读】在解决一些数学问题时，有时候会碰到正面解决非常复杂的情况，对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考． 【例2】 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为 (　　) A．78 B．76 C．83 D．84 【答案】C 【解析】若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类．分类较多，而其对立面a3－a2＞6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决． (三)特殊化思想 【方法解读】与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过特殊化思想求解，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 【例3】 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求a2； (2)求a1＋a2＋…＋a10； (3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2. (3)令x＝－1，可得 (a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65， 再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0， 把这两个等式相乘可得(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0. 课本复习参考题 （2）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________； 525 （3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 480 （4）5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________； 5 （5）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 243 （6）正十二边形的对角线的条数是________； 54 2．一个集合有5个元素． （1）这个集合的含有3个元素的子集有多少个？ （2）这个集合的子集共有多少个？ 6 （2）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 192 （3）某人设计的电脑开机密码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不相同，该密码可能的个数是___________； 650 0000 （4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________； A B C D D1 C1 B1 A1 58 4．（1）平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？ （2）空间有n个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？ 7．（1）平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成多少个平行四边形？ 7．（2）空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有l个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？ （2）要构成平行六面体，需要有3组对面分别平行， 8．某种产品的加工需要经过5道工序． （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ 8．某种产品的加工需要经过5道工序． （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 1.(2021年乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目中进行培训，每名志愿者只分配到1个项目中，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 (　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 排列与组合的综合应用 高考链接 2．(2022年新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有(　　 ) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 3．(2022年北京)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝ (　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 【答案】B 二项式定理的应用 【答案】C 5．(2022年上海)二项式(3＋x)n(n为正整数)的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝________. 【答案】10 【答案】－28 项目 排列数 组合数 公式 排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 组合数公式 C＝＝ ＝ 性质 当m＝n时，A为全排列A＝n！；0！＝1 C＝C＝1； C＝C； C＋C＝C 备注 n，m∈N*且m≤n 4．二项式定理 (1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式； (2)与通项公式有关：主要是求特定项，比如常数项、有理项、含x的某次幂的项等，此时要特别注意二项式展开式的通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…，n)，其二项式系数是C，而不是C，这是一个易错点． 考点一、分类加法计数原理 1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A．5种 B．4种 C．9种 D．45种 考点一、分类加法计数原理 2.将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ） A．16种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】D 【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有 （种）.故选：D 考点二、分步乘法计数原理 4.从集合 中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ） A．10个 B．12个 C．16个 D．20个 【答案】 【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，2个班为高一和高二各一个班有 ，2个班为高二和高三各一个班有 ，2个班为高三和高一各一个班有 ，所以不同的选法共有 .故答案为： . 【答案】B 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一， 此时高一的安排方法有 种，高二的选法有种，则此时有 种安排分法， ②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有 种安排方法，则此时有 种安排方法；故有 种安排方法；安排方案的种数有12+24=36故选：B． 【答案】B 【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B. 【答案】　B 【解析】　排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B. 考点五、排列数 9.对于满足 的正整数n，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为 ， 选取个数为 ， .故选：C． 考点五、排列数 10.若 ，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 ,化解得解得：m= （舍）或m=5故选：A 考点六、排队问题 11.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720. 【解析】（1）从7人中选5人排列，共有 （种 ． （2）分两步完成，先选3人站前排，有 种方法，余下4人站后排，有 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有 （种 . （3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有 种，再与3名男生进行全排列有 种，共有 （种 ． （4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有 （种 ． （5）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 (种). （6）7名学生全排列，有 种方法，其中甲在最左边时，有 种方法，乙在最右边时，有 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种方法，故共有 (种). 【答案】B 【解析】分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排： 种不同排法； 第二步：剩下的3人排后排： 种不同排法，再按照分步乘法计数原理： 种不同排法，故选：B. 【答案】（1）648；（2）156；（3）2296； 【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有 个； （2）当百位为1时，共有 个数；当百位为2时，共有 个数； 当百位为3时，共有 个数，所以315是第 个数； （3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0， 当个位上为0时，共有 个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有 个数，所以无重复的四位偶数共有 个数； 【答案】B 【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个． 故选B 考点八、组合的概念 15.给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号). 【答案】②④ 【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④. 考点八、组合的概念 16.下列问题属于排列问题的是（ ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为 中的底数与真数 A．①④ B．①② C．④ D．①③④ 【答案】A 【解析】排列的概念：从 个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列， 由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序， 由此可判断出：①④是排列问题，故选：A 考点九、组合数 17.若 ，则n等于（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】根据题意， 变形可得，； 由组合性质可得， ，即 ，则可得到 .故选：B. 考点九、组合数 18.设n为满足不等式 的最大正整数，则n的值为（ ）． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解析】设 ，则， 又 ， ， ，由 得： ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 的值为 .故选： . 【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191 【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有Ceq \o\al(3,6)种选法；第二步，选2名女运动员，有Ceq \o\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(2,4)＝120(种)选法． (2)方法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(2,6)＋Ceq \o\al(4,4)Ceq \o\al(1,6)＝246(种)． 方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解． 从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,6)＝246(种)． (3)方法一　(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq \o\al(4,8)； “男、女队长都入选”的选法种数为Ceq \o\al(3,8)，所以共有2Ceq \o\al(4,8)＋Ceq \o\al(3,8)＝196(种)选法． 方法二　(间接法)从10人中任选5人有Ceq \o\al(5,10)种选法， 其中不选队长的方法有Ceq \o\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq \o\al(5,10)－Ceq \o\al(5,8)＝196(种)． (4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \o\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \o\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \o\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq \o\al(4,9)＋Ceq \o\al(4,8)－Ceq \o\al(4,5)＝191(种)． 【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ） ；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是 ，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1； （Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人， 所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率 ； （Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率 ． 【答案】C 【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有 种方法． 故选：C． 【答案】B 【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列： . 故选：B 【答案】C 【解析】先安排甲､乙相邻，有 种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为.故选：C 【答案】C 【解析】当甲排在第一位时，共有 种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有 种不同的发言顺序.故选：C. 【答案】B 【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为 .故选：B. 【答案】A 【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有 种排法.故答案选A 【答案】C 【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况； 分为1，2，2时安排有 ;分为1，1，3时安排有 所以一共有 故选：C 【答案】C 【解析】先把4名数学教师平分为2组，有 种方法， 再把2名体育教师分别放入这两组，有 种方法， 最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有 种方法.故选：C. 【答案】D 【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有 种取法， 排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个， 可得不同的三棱锥有 个.故选：D. 考点十五、几何问题 30.以长方体 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种 A．1480 B．1468 C．1516 D．1492 【答案】B 【解析】因为平行六面体 的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，从中任选两个，共有 种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B. 考点十六、方程不等式问题 31.方程 的正整数解的个数__________. 【答案】 【解析】问题中的 看作是三个盒子，问题则转化为把 个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将 个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的 个空内． 共有 种．故答案为： 考点十六、方程不等式问题 32.三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____. 【答案】 【解析】由 ,则 设 ，则 且 ，则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于 , 的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有 种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有 个，故答案为： . 考点十七、数字问题 33.从 ，， ， ， ， 中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为 ， 和的最大值为 ，所以当从 ， ， ， ， ， 中任取三个数相加时， 则不同结果有 种．故选：C. 【答案】A 【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有 种，故选：． 考点十八、二项式定理展开式 35.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　) A．(2x+2)5 B．2x5 C．(2x-1)5 D．32x5 【答案】D 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作 ，故为的展开式，化简 .故选D. 考点十八、二项式定理展开式 36.化简： _________. 【答案】 【解析】 则 所以 故答案为： . 考点十九、二项式指定项的系数与二项式系数 37.二项式 的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60 【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为： 令 可得 ，此时 . 考点十九、二项式指定项的系数与二项式系数 38.若 的展开式中的系数为7，则实数 =______. 【答案】 【解析】根据二项展开式的通项公式可得： ， 令 ，可得 ， ，解得： ，故答案为： 考点二十、多项式系数或二项式系数 39. 展开式中常数项为（ ）. A．11 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】将 看成一个整体，展开得到： 的展开式为： 取 当 时， 系数为： 当 时， 系数为： 常数项为 故答案选B 考点二十、多项式系数或二项式系数 40. 的展开式中常数项为() A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的通项为， EMBED Equation.DSMT4 ， 根据式子可知当 或 时有常数项， 令 EMBED Equation.DSMT4 ;令 ; 故所求常数项为 EMBED Equation.DSMT4 ，故选C. 考点二十一、二项式定理的性质 41.在 的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（ ） A．960 B．1120 C．-560 D．-960 【答案】B 【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则 =的二项展开式的通项公式为Tr+1= •28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 •24•（﹣1）4=1120，故选B． 考点二十一、二项式定理的性质 42.已知 展开式中各项系数的和为m，且，求 展开式中二项式系数最大的项的系数. 【答案】59136 【解析】设 ，令，得 ， 所以 ，则 展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为 .故所求的系数为59136. 考点二十二、二项式系数或系数和 43.在 的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为 ， 令 可得所有项的系数之和为 ，故答案为： ， 考点二十二、二项式系数或系数和 44.已知 ，则_____. 【答案】 【解析】对等式 EMBED Equation.DSMT4 两边求导，得 EMBED Equation.DSMT4 ， 令 ，则 . 考点二十三、二项式定理运用 45.已知 能够被15整除，则________. 【答案】14 【解析】由题可知， EMBED Equation.DSMT4 所以 ， 而75能被15整除，要使 能够被15整除，只需 能被15整除即可， 所以 ，解得： .故答案为：14. A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)， A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)， A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)， 所以选派方法共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)． 解：方法一　设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)， A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)， A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)， 方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)， 4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)， 4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)， 所以共有35＋120＋30＝185(种)． 5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)， 所以共有75＋100＋10＝185(种)． 方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)， 集合S的含有三个元素的子集的个数为C＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1＜a2＜a3且a3－a2＞6的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84－1＝83. 解：(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展开式中x2的系数， ∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C·(－2)4＋C(－1)3·C(－2)5＝800. (2)令x＝1，代入已知式可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0， 而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32. 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组，有C种选法； 然后连同其余3人，看成4个元素，4个项目看成4个不同的位置，有A种排法． 所以共有CA＝240种不同的分配方案． 【解析】先把丙和丁捆绑在一起，与乙、戊排，有AA种排法， 再用插空法排甲，有C种排法， 所以共有AAC＝24种不同的排列方式． 【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1； 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝81. 两式相加，得a0＋a2＋a4＝(1＋81)＝41. 4．(2020年新课标卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 【解析】(x＋y)5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－ryr. 所以xTr＋1＝Cx6－ryr，Tr＋1＝Cx4－ryr＋2.在xTr＋1＝Cx6－ryr中， 令r＝3，可得xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为C＝10. 在Tr＋1＝Cx4－ryr＋2中，令r＝1，可得T2＝Cx3y3， 该项中x3y3的系数为C＝5.所以x3y3的系数为10＋5＝15. 【解析】(3＋x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝C3n－rxr， 令r＝2，得T3＝C3n－2x2； 令r＝0，得T1＝C3n.由题意，得C3n－2＝5C3n， 解得n＝－9(舍去)或n＝10. 6．(2022年新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 【解析】原式等于(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理， 其展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. $$