11.3余弦定理、正弦定理的应用学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

［学习目标］　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 一、距离问题 问题　如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，小宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了几种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，你能帮小宁分析一下这些方案是否可行吗？ 方案A：测量A，B，b； 方案B：测量a，b，C； 方案C：测量A，B，a； 方案D：测量A，B，C. 知识梳理 1.测量中的常用角 名称 定义 示例 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 点A的方向角为南偏西45°(或称西南方向) 2.距离问题 类型 简图 测量 两点A，B均可达 先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB= 两点A，B可视，但有一点不可达 在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB=α，∠CAB=β，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB 两点A，B可视，均不可达 测量者可以在河岸选定两点C，D，测得CD=a，同时在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求A，B两点之间的距离. 跟踪训练1　某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　) A.15 km B.30 km C.15 km D.15 km 二、高度问题 知识梳理 1.仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角，如图所示. 2.高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得BC=a，∠BCA=α，AB=a·tan α 点B与C，D共线 测得CD=a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD=a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 例2　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN=60°，点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从点C测得∠MCA=60°，已知山高BC=100 m，则山高MN=　 　　m.  反思感悟　测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 跟踪训练2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在点C测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是(　　) A.10 m B.10 C. D. m 三、角度问题 例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 跟踪训练3　地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他北偏东30°方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东多少度方向以及他与目标参照物P的距离. 1.知识清单： (1)距离问题. (2)高度问题. (3)角度问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：对方位角和方向角的概念混淆不清导致出错. 1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC=BC，则点A在点B的(　　) A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上 2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿直线航行，航行的方位角为140°，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方位角为110°，在B处观察灯塔，其方位角为65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 C.20 海里 3.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm后捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm后捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x=　　　.  4.如图，为了测量河对岸一座塔楼CD的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线与小王所在河岸成15°角，小王沿河岸向西走了40米到达点M处，测得塔底C与M的连线与小王所在河岸成60°角，则塔楼CD的高度为　　　　米.  答案精析 问题　对于方案A，利用内角和定理先求出C=π-A-B，再利用正弦定理解出c；对于方案D，不知道a与b的长度，显然不能求c. 例1　解　在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°， ∴∠CBD=90°-45°=∠BCD， ∴BD=CD=40(m)， BC=(m). 在△ACD中，∠ADC=30°， ∠ACD=60°+45°=105°， ∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理，得AC==20(m). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =(20cos 60°=2 400(m2)， ∴AB=20(m)， 故A，B两点之间的距离为20 m. 跟踪训练1　A 例2　150 跟踪训练2　D 例3　解　如图所示.设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC=at(海里)，AC=at(海里)， B=180°-60°=120°， 由，得 sin∠CAB=， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB=30°， ∴∠DAC=60°-30°=30°， ∴甲船沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 跟踪训练3　解　如图，在△PAB中，∠PAB=30°，PA=40(m)，AB=40(m). 由余弦定理，得PB= = =40(m). 因为AB=40(m)，所以AB=PB， 所以∠APB=∠PAB=30°， 所以∠PBA=120°. 因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向，且他与目标参照物P的距离为40 m. 随堂演练 1.B　2.A　3. 学科网（北京）股份有限公司 $$