第05讲 平行四边形（4个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习） 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第05讲 平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................7 题型04判断能否构成平行四边形.............................................................................................................................................10 题型05添一个条件成为平行四边形.........................................................................................................................................15 题型06证明四边形是平行四边形.............................................................................................................................................17 题型07利用平行四边形的判定与性质求解.............................................................................................................................20 题型08平行四边形性质和判定的应用.....................................................................................................................................25 题型09反证法证明中的假设.....................................................................................................................................................29 分层练习.......................................................................................................................................................................................31 夯实基础.......................................................................................................................................................................................31 能力提升.......................................................................................................................................................................................51 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 知识点4．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在平行四边形中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在平行四边形中，，则 ． 3．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，若，求、的度数． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则 ． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 8．（八年级下·江苏徐州·期中）“平行四边形的对角线互相垂直平分”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 9．（八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知各图面积均被l平分： （1）观察上图中各图特征，你一定有所感悟，请根据得出的结论或启示将下图中阴影部分平分． （2）如图所示，下图是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（只用直尺在原图上作，保留作图痕迹，不写作法） 题型04判断能否构成平行四边形 10．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 11．（八年级下·江苏镇江·期中）在平行四边形中，在对角线上取不同的两点(点B、E、F、D依次排列)，下列条件中，能得出四边形一定为平行四边形的是 ．（A．BE=DF；B．AE=CF    C． AE∥CF；D．∠BAE=∠DCF） 12．（八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC=12cm，AD=18cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以4cm/s的速度由C向B运动，问当多少秒时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）四边形中，，添加一个条件 ，可得四边形成为平行四边形． 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 题型06证明四边形是平行四边形 16．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A． B． C． D．， 17．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）对于四边形，如果从条件：①，②，③，④中选出两个，那么能说明四边形ABCD是平行四边形的有 ．（填序号对） 18．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，四边形中，对角线，点E，F分别在线段，且，证明四边形是平行四边形 题型07利用平行四边形的判定与性质求解 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 20．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 题型08平行四边形性质和判定的应用 22．（八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 23．（八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则= ． 24．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 题型09反证法证明中的假设 25．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（  ） A．同旁内角互补的两条直线平行 B．同旁内角互补的两条直线不平行 C．同旁内角不互补的两条直线平行 D．同旁内角不互补的两条直线不平行 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设 ． 27．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 夯实基础 一、单选题 1．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（    ） A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 2．如图，在中，，则的周长是（    ）    A．18 B．14 C．16 D．20 3．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是(    ) A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 4．如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE=5，DF=10，则的面积等于(    ) A．87.5 B．80 C．75 D．72.5 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD＝BC，∠A＝∠C D．AB∥CD，∠B＝∠D 6．如图，梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若 cm， cm，那么（ ）cm. A．4 B．5 C．6.5 D．9 7．□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AC=10cm，则OA=（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．如图，平行四边形的周长是对角线与交于点是中点，的周长比的周长多，则的长度为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．平行四边形的判定： 一组对边 的四边形是平行四边形． 两组对边 的四边形是平行四边形． 对角线 的四边形是平行四边形． 10．如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件 ，使得四边形AFCE是一个平行四边形． 11．填空： （1）如图，已知，与之间的距离为，，则_____________． （2）如图，在中，，则与之间的距离为_____________． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH是 . 13．如图，在四边形中，的平分线交于点E，且，则四边形的面积为 ． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，合适的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E．若，则的长为 ．    三、解答题 15．如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度． 16．如图，已知：四边形ABCD关于O点成中心对称图形.   求证：四边形ABCD是平行四边形.   17．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．    18．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连结，设点的运动时间为秒．    (1)①______（用含的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图2），求∠BDG的度数． 20．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，以此方法继续操作，即可拼成一个新的正方形DEFG． 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状，大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形，要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）． （2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE，所得□MNPQ面积为 ． 能力提升 一、单选题 21．在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（  ） A． B． C． D． 22．如图，在▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．10 二、填空题 23．如图，在中，，则 ．    24．如图,已知△ABC与▱DEFG,点D,G分别在边AB,AC上,点E,F在边BC上,已知BE=DE,CF=FG,则∠A等于 . 三、解答题 25．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 26．如图，直线MN过□ABCD的顶点D，过A，B，C三点，分别作MN的垂线，垂足分别是E，F，G． 求证：DE＝FG． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................7 题型04判断能否构成平行四边形.............................................................................................................................................10 题型05添一个条件成为平行四边形.........................................................................................................................................15 题型06证明四边形是平行四边形.............................................................................................................................................17 题型07利用平行四边形的判定与性质求解.............................................................................................................................20 题型08平行四边形性质和判定的应用.....................................................................................................................................25 题型09反证法证明中的假设.....................................................................................................................................................29 分层练习.......................................................................................................................................................................................31 夯实基础.......................................................................................................................................................................................31 能力提升.......................................................................................................................................................................................51 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 知识点4．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在平行四边形中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】利用四边形是平行四边形，可知，即可求解．本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉并正确运用平行四边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， （平行四边形对角相等）， ， ． 故选：D 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在平行四边形中，，则 ． 【答案】55 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到一组邻角互补，即，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，若，求、的度数． 【答案】， 【知识点】利用平行四边形的性质求解、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对边平行，对角相等，邻角互补，是解题的关键．根据，得到，进而求出的度数，再利用平行四边形的性质，即可得出结果． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 的平分线交于点， ， ， ． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查度数平行四边形的性质，根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】A、矩形的对角线相等，而平行四边形对角线不一定相等，所以对角线的一半也不一定相等，A错误，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，而平行四边形对角线不一定互相垂直，B错误，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，C正确，符合题意； D、菱形的对角线平分每一组对角，而平行四边形对角线不一定平分每一组对角，D错误，不符合题意． 故选：C． 5．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则 ． 【答案】/60度 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于，列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，再结合已知条件可得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ； 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、平行四边形性质的其他应用、用勾股定理解三角形 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（19-20八年级下·江苏徐州·期中）“平行四边形的对角线互相垂直平分”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【知识点】事件的分类、平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质和随机事件的概念即可判断． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直 ∴“平行四边形的对角线互相垂直平分”是随机事件； 故答案为：随机． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系是解答本题的关键． 9．（20-21八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知各图面积均被l平分： （1）观察上图中各图特征，你一定有所感悟，请根据得出的结论或启示将下图中阴影部分平分． （2）如图所示，下图是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（只用直尺在原图上作，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）根据例题可以得出只要过矩形的中心即可平分面积，以及找到圆心与矩形的中心即可平分面积； （2）将图形分成两个部分，分别找到中心，连接即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了应用与设计图案，主要是平分图形面积，根据已知得出图形中心是解题关键． 题型04判断能否构成平行四边形 10．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 11．（八年级下·江苏镇江·期中）在平行四边形中，在对角线上取不同的两点(点B、E、F、D依次排列)，下列条件中，能得出四边形一定为平行四边形的是 ．（A．BE=DF；B．AE=CF    C． AE∥CF；D．∠BAE=∠DCF） 【答案】ACD 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【详解】解：如图，连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可； A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本选项不符合题意； B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意； C、AE∥CF能够利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意； D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意； 故答案为：ACD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 12．（八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC=12cm，AD=18cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以4cm/s的速度由C向B运动，问当多少秒时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【答案】2或3秒 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】此题应分两种情况讨论：①构成的是平行四边形APQB，此时BQ=AP，②构成的是平行四边形CQPD，此时CQ=PD；用时间t表示出CQ、BQ、AP、PD的长，然后根据上面的等量关系求得t的值． 【详解】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意有：CQ=4t， BQ=12-4t，AP=2t，  PD=18-2t； ∵AD∥BC， ∴①当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形， 即12-4t=2t， 解得t=2； ②当CQ=PD时，四边形CQPD是平行四边形， 即4t=18-2t， 解得t=3； 所以当2或3秒时，直线QP将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】本题考查梯形的性质、平行四边形的判定；熟练掌握梯形的性质和平行四边形的判定方法，并能进行推理计算是解题关键． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 14．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）四边形中，，添加一个条件 ，可得四边形成为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】添加条件为：，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 题型06证明四边形是平行四边形 16．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A． B． C． D．， 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； B、根据，可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形是平行四边形，错误，故本选项符合题意； C、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； D、，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 17．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）对于四边形，如果从条件：①，②，③，④中选出两个，那么能说明四边形ABCD是平行四边形的有 ．（填序号对） 【答案】①②，①③，②④，③④ 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定，即可得出答案． 【详解】解：能判断四边形的条件有： ①②（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ①③（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ②④（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ③④（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：①②，①③，②④，③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④有两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 18．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，四边形中，对角线，点E，F分别在线段，且，证明四边形是平行四边形 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，对顶角相等，先证明，得到，推出，再结合即可得出结论． 【详解】证明：与是对顶角， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 题型07利用平行四边形的判定与性质求解 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 20．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】0或4或或8 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、一元一次方程的几何应用，根据平行四边形的性质得到，只需，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，故分情况讨论列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴，，即， 若，则以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形； 设运动时间为，当P到D的时间为，点Q到B的时间为， 根据题意，分四种情况： ①当时，，，则，， ∴，解得； ②当时，，，则， ∴，解得； ③当时，，，则， ∴，解得； ④当时，，，则， ∴，解得， 综上，当t为0或4或或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点在点的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或． 理由如下： 点，， ，， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 题型08平行四边形性质和判定的应用 22．（八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 23．（八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则= ． 【答案】2 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可． 【详解】解：连接AC、BD，如图， ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴AC、BD交于点O， ∴S△AOB=S△BOC， ∵EF=AB， ∴S△EOF=S△AOB， ∵GH=BC， ∴S△OGH=S△BOC， ∴S△EOF：S△OGH=3：2, ∵， ∴=2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键． 24．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 题型09反证法证明中的假设 25．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（  ） A．同旁内角互补的两条直线平行 B．同旁内角互补的两条直线不平行 C．同旁内角不互补的两条直线平行 D．同旁内角不互补的两条直线不平行 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】首先明确什么是反证法，然后根据命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”可以得到应先假设什么，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故答案为：． 27．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 夯实基础 一、单选题 1．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（    ） A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】C 【分析】设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程解答即可． 【详解】解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为3：2， ∴设平行四边形的两邻边分别为3x和2x， ∵周长为20cm， ∴2(3x+2x)=20， 解得x=2， ∴3x=3×2=6， 即平行四边形中较长一边的长为6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长．关键是根据平行四边形的周长公式列出方程． 2．如图，在中，，则的周长是（    ）    A．18 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴的周长是， 故选：A． 3．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是(    ) A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 【答案】B 【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断． 【详解】由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8-3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11． 只有选项B在此范围内， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解． 4．如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若的周长为48，DE=5，DF=10，则的面积等于(    ) A．87.5 B．80 C．75 D．72.5 【答案】B 【详解】试题分析：先求出AB长，设AB长是x，BC长就是（24-x），列面积相等的式子：5x=10（24-x），解得x=16，16×5=80，故选B． 考点：平行四边形性质及面积的计算． 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD＝BC，∠A＝∠C D．AB∥CD，∠B＝∠D 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，A、B、D均能判断是平行四边形，唯有C不能判定． 【详解】因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B正确； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确； 由AB∥CD，∠B＝∠D，可求得∠A＝∠C，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可以判定，故D也可以判定． 连接BD，利用“SSA”不能判断△ABD与△CDB，C不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故选C． 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6．如图，梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若 cm， cm，那么（ ）cm. A．4 B．5 C．6.5 D．9 【答案】A 【详解】如图，作EG∥AB，EH∥DC， 因为∠，所以∠. 因为四边形和四边形都是平行四边形，所以. 又因为 cm， cm，所以cm，. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得(cm). 7．□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AC=10cm，则OA=（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC．∵AC=10cm，∴OA=5cm．故选C． 8．如图，平行四边形的周长是对角线与交于点是中点，的周长比的周长多，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到，由的周长比的周长多，则，求出AD的长度，即可求出AE的长度． 【详解】解：∵平行四边形的周长是， ∴， ∵BD是平行四边形的对角线，则BO=DO， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴，， ∴， ∵，点E是中点， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题． 二、填空题 9．平行四边形的判定： 一组对边 的四边形是平行四边形． 两组对边 的四边形是平行四边形． 对角线 的四边形是平行四边形． 【答案】 平行且相等 分别平行或相等 互相平分 【分析】根据平行四边形的判定定理填空即可． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故答案为：平行且相等；分别平行或相等；互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 10．如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件 ，使得四边形AFCE是一个平行四边形． 【答案】DE=BF 【分析】根据平行四边形的判定，可加一条件，答案不唯一． 【详解】解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DE=BF， ∵AD∥BC， ∴∠EDA=∠FBC， ∵AD=BC，DE=BF， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE=FC， 同理，△ABF≌△CED， ∴CE=AF， ∴四边形AECF是平行四边形． 故答案为：DE=BF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过证△ADE≌△CBF和△ABF≌△CED，得到AE=FC和CE=AF，再利用两组对边分别相等来判定平行四边形． 11．填空： （1）如图，已知，与之间的距离为，，则_____________． （2）如图，在中，，则与之间的距离为_____________． 【答案】（1）2；（2）1 【分析】（1）过点B作于点C，利用含30度角的直角三角形的性质得，根据勾股定理列方程，即可求出； （2）过点D作于点E，根据平行四边形的性质得，证明是等腰直角三角形，推出，即可求出． 【详解】解：（1）如图，过点B作于点C，则． ，， ， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍）， 故答案为：2； （2）过点D作于点E， 四边形是平行四边形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，即与之间的距离为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、平行线间的距离、含30度角的直角三角形的性质等，难度较小，解题的关键是熟练掌握并综合运用上述知识． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH是 . 【答案】平行四边形 【分析】先运用平行四边形的性质可得∠A＝∠C，AD＝BC，再运用DH＝BF可得AH＝CF；再运用全等三角形的判定可得△AEH≌△CGH，进而可得EH＝FG，同理可得GH＝EF，最后运用平行四边形的判定即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC， ∵DH＝BF， ∴AH＝CF， 又∵AE＝CG， ∴△AEH≌△CGH， ∴EH＝FG， 同理可得GH＝EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 【点睛】本题主要是平行四边形的性质以及判断问题，熟悉掌握判断条件是解题关键. 13．如图，在四边形中，的平分线交于点E，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可以判定是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形的高．所以利用梯形的面积公式进行解答． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 即是等边三角形， 过A作于F，则， 由勾股定理得：， ∵， 四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；关键是得出是等边三角形． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，合适的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E．若，则的长为 ．    【答案】6 【分析】由作图方法可知是的角平分线，则，再由平行四边的性质得到，进而推出，则，由得到，求出的长进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题 15．如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度． 【答案】其他三边的长为9m，16m，9m． 【分析】根据平行四边形的对边相等利用周长和一边的长求得其余各边的长度即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵周长为50， ∴AB+BC=25， ∵一边长为16m， ∴另一边长为9m， ∴其他三边的长为9m，16m，9m． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等． 16．如图，已知：四边形ABCD关于O点成中心对称图形.   求证：四边形ABCD是平行四边形.   【答案】见解析 【分析】连结AC、BD.由中心对称的性质可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形. 【详解】连结AC、BD.   ∵ 四边形ABCD关于O点成中心对称图形， ∴ O点在AC上，也在BD上，并且 ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【点睛】本题考查了中心对称的性质和平行四边形的判定方法. 平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 17．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的定义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出． 【详解】证明：连接，，如图所示：    ∵四边形是平行四边形, ∴, ∵分别是的中点, ， ∴, ∴是平行四边形， ∴. 18．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连结，设点的运动时间为秒．    (1)①______（用含的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②的长为 (2)存在，或，理由见详解 【分析】（1）①根据动点运动的规律，线段的和、差关系即可求解；②如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系例含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，，点以每秒的速度运动，点以每秒的速度运动，设点的运动时间为秒， ①由运动可知，， ∵在线段上取点，使得， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，综合运用分类讨论，方程思想，图形结合等方法，掌握相关性质，判定等知识是解题的关键． 19．如图，在中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图2），求∠BDG的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）60°． 【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可． （2）延长AB、FG交于H，连接HD．根据AD∥GF，AB∥DF易得四边形AHFD为平行四边形，由∠ABC=120°，AF平分∠BAD，易得△DAF为等腰三角形，进而推出AD=DF=HF=AH，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形；根据SAS判定△BHD≌△GFD，推出∠BDH=∠GDF，根据∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG进而求解即可． 【详解】（1）∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF． （2）延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形AHFD为平行四边形， ∴AD=HF， AH=DF， ∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD， ∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°， ∴∠DAH=∠HFD=60°， ∴△DAF为等腰三角形， ∴AD=DF=HF=AH， ∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形， ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°． ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴BH=GF， 在△BHD与△GFD中， ∵， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF， ∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 20．阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，以此方法继续操作，即可拼成一个新的正方形DEFG． 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状，大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形，要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）． （2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE，所得□MNPQ面积为 ． 【答案】 【详解】试题分析：（1）参考5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形的方法去解； （2）采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积．把它返回到5个相同的平行四边形的状态，进而得出平行四边形MNPQ面积． 试题解析：(1)如图所示：拼接成的四边形是平行四边形； (2)如图所示： 根据题意可得出：图形是5个相同的平行四边形的状态， 那么其中一个的面积为原图形的,那么平行四边形MNPQ面积×2=. 故答案为：. 能力提升 一、单选题 21．在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可推出DE=2OD，则可得当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小，过O作OF⊥AC于点F，利用等边三角形及直角三角形性质可求得AF=OA=，则可利用勾股定理求得OF的长，即可得出结论． 【详解】解：设AB与DE相交于点O， ∵四边形是平行四边形，是边长为2的等边三角形， ∴OA=OB=AB=1，OD=OE=DE． 即DE=2OD． ∴当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小． 如图，过O作OF⊥AC于点F， ∴∠AFO =90°． ∵是等边三角形， ∴∠BAC =60°． ∴∠AOF =30°． ∴AF=OA=． ∴OF=． 当OD=OF时，DO的值最小，即DE的值最小， ∴DE=2OF=． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、等边三角形及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22．如图，在▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x变化的关系图象，通过勾股定理及可求解； 【详解】如下图， 根据图2可知， 当P到达B点时AP=AB=3， 当AP⊥BC时，AB+BP=4.8， ∴BP=BE=1.8， ∴， 当到达点C时，AP=AC=4， ∴， ∴BC=BE+EC=1.8+=5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动的规律，结合关系图解题是关键． 二、填空题 23．如图，在中，，则 ．    【答案】/度 【分析】根据平行四边形的性质可知，再利用两直线平行同旁内角互补可求出的度数． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是解答本题的关键． 24．如图,已知△ABC与▱DEFG,点D,G分别在边AB,AC上,点E,F在边BC上,已知BE=DE,CF=FG,则∠A等于 . 【答案】90° 【分析】由题中条件可得∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形邻角互补，即可得出结论． 【详解】解：∵BE=DE，CF=FG， ∴∠B=∠BDE，∠C=∠CGF，∠DEF=∠B+∠BDE=2∠B，则∠EFG=2∠C， ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴∠DEF+∠EFG=180°， ∴ （∠DEF+∠EFG）=∠B+∠C=90°， ∴∠A=90°． 故答案为90°． 【点睛】本题考查相似三角形、平行四边形的性质以及三角形的内角和定理，应熟练掌握． 三、解答题 25．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边EH=FG．同理可证：HG=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：在平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，AD=BC． ∵BF=DH， ∴AH=CF． ∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF， ∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=FG（全等三角形的对应边相等）． 同理可证： HG=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 26．如图，直线MN过□ABCD的顶点D，过A，B，C三点，分别作MN的垂线，垂足分别是E，F，G． 求证：DE＝FG． 【答案】答案见解析 【详解】试题分析：作CH⊥BF与H．可证△AED≌△BHC，得到ED=HC，再由平行线间的距离处处相等得到FG=CH，即可得到结论． 试题解析：证明：作CH⊥BF与H． ∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴AE∥BF，∴∠EAD+∠DAB+∠ABF=180°． ∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAB+∠ABF+∠HBC=180°，∴∠EAD=∠HBC．在△AED和△BHC中，∵∠EAD=∠HBC，∠AED=∠BHC=90°，AD=BC，∴△AED≌△BHC，∴ED=HC． ∵BF⊥MN，CG⊥MN，∴BF∥CG． ∵GF⊥FB，CH⊥FB，∴FG=CH（平行线间的距离处处相等）． ∵ED=HC，∴ED=FG． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明三角形全等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$