精品解析：山西省晋中市太谷区职业中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

晋 中 市 太 谷 区 职 业 中 学 校 2024—2025学年高二数学第一 学期 期末考试试题 一、单项选择题（在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．每题5分，共40分） 1. 空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直性质，即可求解. 【详解】因为空间向量和，且， 所以， 化简得，解得， 所以，当时，的值为2. 故选：A. 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线经过点坐标计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】因为直线经过两点， 所以， 设直线的倾斜角为，其中， 则，所以， 故选：B. 3. 求圆的圆心到的距离（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为. 故选：C. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式，圆的标准方程，圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】把圆化为标准方程得， 所以圆圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则， 所以圆与圆的位置关系为外切. 故选：B. 5. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】抛物线为， 所以可知抛物线图像开口向左，且， 所以，即准线方程为. 故选：D. 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及两点间距离公式、离心率公式可求. 【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上， 则，， ，， 则，， 则该双曲线的离心率 故选：C. 7. 等差数列的前项和为，若，（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 【详解】因为 ，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知是等比数列，若，，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质即可得到答案． 【详解】由题得，而，则， 故选：A． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知曲线，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则C是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则C是圆，其半径为 C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方程、圆的方程、椭圆的标准方程和双曲线的标准方程及其几何性质，即可判断求解. 【详解】因为曲线， 若，则，曲线方程可化为， 所以曲线C表示的是焦点在轴上的椭圆，故选项A正确； 若，则曲线方程可化为，所以曲线C表示的是半径为的圆， 故选项B错误； 若，曲线方程可化为，则曲线C表示的是双曲线， 当时，双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为； 当时，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为； 故选项C正确； 若，则曲线方程可化为，即，表示两条直线， 故选项D正确； 故选：. 10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及前项和公式得到首项和公差，再逐项分析即可. 【详解】由题意知等差数列的前项和为，，， 所以， 解得，， 对于A：，所以A错误； 对于B：，所以B正确； 对于C：，即， 因为，所以为递减数列，所以C正确； 对于D：， 所以的前5项和为，所以D错误. 故选：BC. 11. 过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线过抛物线的焦点代入可求出p相交于两点，联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式，向量的内积运算公式即可求出. 【详解】∵直线过抛物线的焦点， 将的坐标代入直线方程得：，因此，选项A正确. 当  时，抛物线方程为 ，焦点  坐标为 ， 将直线代入抛物线方程：， 解得 ，则 ， 故点  和  的坐标分别为  和 ， ∴，因此，选项C正确. 向量  和  的坐标分别为  和 ， 则，因此选项D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程得到，进而得到渐近线方程. 【详解】由题意知，焦点在x轴上，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 13. 求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线的交点，再根据直线平行的条件，即可求解. 【详解】由题意设直线和相交于点A， 则联立，解得，，即， 因为直线l过点，且与直线平行， 则设所求直线为， 所以，即， 所以过交点A，且与平行的直线方程为. 故答案为：. 14. 记等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，先求出公差，继而求得首项，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 所以， 即，解得， 又，得到， 因此. 故答案为：. 三、解答题（本题共6小题，共77分） 15. （1）求经过点，且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． （2）若直线与圆交于，两点，求弦长 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由直线在轴和轴上的截距相等可分为两种情况进行讨论，分为截距为和不为两种情况，再将点代入即可求解. （2）利用圆心到直线的距离与半径和弦长的一半可构成直角三角形，再由勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）当直线过原点时，斜率为， 故方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得直线的方程为或. （2）由圆的圆心，半径为， 直线， 圆心到直线的距离为， 即， 故弦长为． 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得等比数列的公比为，再令，解得，据此可求解； （2）根据等比数列的求和公式可求解. 【小问1详解】 因为，故， 所以，即， 故等比数列的公比为. 令，得，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可知 . 17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. （3）求焦点在直线上的抛物线的标准方程． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）分类讨论焦点的位置，再根据长轴长和焦距可求a与c的值，即可求解椭圆的标准方程. （2）根据两个双曲线有相同的渐近线可设双曲线方程，再将点代入双曲线方程即可求解. （3）先求出直线与坐标轴的交点，再根据抛物线方程即可求解. 【详解】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：， 由长轴长知：，； 由焦距知：， ，解得：； 椭圆标准方程为：； 若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：， 同焦点在轴上，可得，， 所以椭圆方程为； 综上，所求椭圆方程为或. （2）所求双曲线与双曲线有共同的渐近线， 可设双曲线标准方程为， 又过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，即为. （3）直线中， 令，可得；令，可得； 所以直线与坐标轴的交点为与， 所以当抛物线焦点为时，即焦点位于y轴的正半轴， 即，解得，即； 当抛物线焦点为时，即焦点位于x轴的负半轴， 即，解得，即； 所以抛物线的标准方程为或. 18. 已知等差数列满足，，且数列的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式,前项和公式即可得解； （2）化简，每一项拆分为两项的差，再相加后即可. 【小问1详解】 由题意得解得. ∴. . 【小问2详解】 ∵. . . . . ∴. . . ． 所以. 19. 已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点，结合直线的点斜式方程，韦达定理，抛物线的弦长公式即可求解. 【详解】由题意得，抛物线，则，解得，所以抛物线的焦点为. 所以斜率为1的直线的方程为：，即. 联立，化简可得，则. 所以. 20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于，两点，求弦的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，椭圆的半焦距为，根据椭圆的离心率公式和a，b，c的关系结合已知条件即可求解. （2）设点、，求出椭圆的右焦点，再求出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 可设椭圆方程为，椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，即，所以，① 因为椭圆过点，所以，② 由①②解得，，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设、的坐标分别为、， 由椭圆的方程知，，则，所以右焦点， 因为直线的斜率为1且过点，所以直线的方程为， 联立方程为，得，所以，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋 中 市 太 谷 区 职 业 中 学 校 2024—2025学年高二数学第一 学期 期末考试试题 一、单项选择题（在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．每题5分，共40分） 1. 空间向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 3. 求圆的圆心到的距离（    ） A. B. 2 C. D. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 5. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 等差数列的前项和为，若，（    ） A. B. C. 1 D. 8. 已知是等比数列，若，，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 81 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知曲线，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则C是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则C是圆，其半径为 C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则C是两条直线 10. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 11. 过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是_____________． 13. 求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程______． 14. 记等差数列的前项和为，若，，则______． 三、解答题（本题共6小题，共77分） 15. （1）求经过点，且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． （2）若直线与圆交于，两点，求弦长 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的通项公式. 17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. （3）求焦点在直线上的抛物线的标准方程． 18. 已知等差数列满足，，且数列的前n项和为． （1）求及； （2）令，求数列的前n项和． 19. 已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于，两点，求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $