精品解析：2023-2024学年内蒙古赤峰市中职学校高三数学4.10试题

2024年内蒙古自治区高等职业学校对口招收中等职业学校 毕业生考试4.10数学综合试卷 注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考试作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案） 1. 设全集，集合 ，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 3. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（ ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 由正数构成的等比数列中 ，，则（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知椭圆的标准方程是，它的两焦点分别是，且，弦过点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 若过点的直线与过点的直线平行，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 11. 若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 函数的定义域是R，则的取值集合为______________ 14. 已知的边a，b是方程的两个根，，则边______________ 15. 某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数是__________ 16. 在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是______． 17. 抛物线上一点到焦点的距离等于6，则_____________ 18. 将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，所得图像经过，则_________________. 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， ，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 20. 已知，与的夹角为. （1）求 的坐标； （2）若与同向，且与垂直，求. 21. 已知等比数列中，公比，前4项的和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列是等差数列，若，，求数列的前项的和的值. 22. 已知点E，F分别是正方形的边的中点，现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，若图所示. （1）若点G，H分别是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 23. 已知函数的最小值为4，函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设函数若，求的取值范围. 24. 已知圆C经过点两点，且圆心在直线上， （1）求圆C的标准方程; （2）求过点且与圆相切的直线l方程; （3）已知点Q在圆C上运动，直线m经过点且交圆C于点两点，当最小时，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年内蒙古自治区高等职业学校对口招收中等职业学校 毕业生考试4.10数学综合试卷 注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考试作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案） 1. 设全集，集合 ，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数不等式和二次不等式求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以由，可解得， 由，可得，解得， 所以，， 则. 故选：B. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，再根据函数的奇偶性求值即可. 【详解】已知函数， 设，则其定义域为， 且， 所以为奇函数， 则，即， 解得，则， 所以， 故选：D. 3. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数解析式，解绝对值不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】函数， 因为，若， 即，可得，解得. 故选：C. 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（ ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题可设，根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由函数可知，其对称轴为， 因为Р在函数图象的对称轴上，故设， 又，故， 因为， 所以，即，解得或， 所以点P的坐标是或. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式进行化简，再由已知角的范围求出角即可解得. 【详解】由题，， 则，故. 故选：A 7. 由正数构成的等比数列中 ，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算法则计算即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 则 ， 故选：C. 8. 已知椭圆的标准方程是，它的两焦点分别是，且，弦过点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点的位置特征和椭圆的定义和性质列出等式即可解得. 【详解】由题，椭圆方程为， 则椭圆焦点位于轴上，且， 解得， 由椭圆的定义可知的周长为. 故选：B 9. 若过点的直线与过点的直线平行，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点式求出直线AB与直线CD的斜率，根据两直线平行的条件列式即可求解. 【详解】因为直线AB与直线CD平行，故， 则，， 所以，解得， 经检验，满足题意. 故选：B. 10. 已知表示平面，，表示直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】C 【解析】 【分析】由平面与直线的位置关系，直线与直线的位置关系，面面平行的性质及判断逐项判断即可得解. 【详解】选项，若，则或，故错误. 选项，若，则或直线异面，故错误. 选项，若，则，故正确. 选项，若，只有相交，才有，故错误. 故选：. 11. 若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析7人全排列的方法，再利用捆绑法和插空法计算位置有限制的情况，即可求解. 【详解】不考虑排列限制，总共有种排列方法. 再考虑排列限制，先利用捆绑法将甲、乙进行捆绑并全排列，有种排列方法， 将甲、乙作为一个整体，除去丙、丁将其他人进行全排列，有种排列方法， 再利用插空法将丙、丁进行插空，有种排列方法； 故满足甲、乙两名同学相邻，丙、丁两名同学不相邻的排列方法有种. 所以，概率为． 故选：A. 12. 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由椭圆的方程确定，再由椭圆中的关系求出确定焦点，和离心率，再由双曲线的离心率求出的值，再由双曲线中的值求出即可写出方程. 【详解】由椭圆可得， 所以，焦点坐标为，离心率 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以，由它们的离心率之和为， 可得双曲线的离心率为， 即，解得，则 且焦点在轴上，所以双曲线方程为， 故选：D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 函数的定义域是R，则的取值集合为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于0和偶次根式被开方数大于等于0列不等式，再由不等式的解集为R得出关于的不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则， 由于函数的定义域是R， 当时，恒成立，符合题意， 当时，则，即， 解得， 所以的取值集合为， 故答案为：. 14. 已知的边a，b是方程的两个根，，则边______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合余弦定理即可解得. 【详解】由题，的边a，b分别为的两个根， 则，又， 由余弦定理可知，. 故答案为： 15. 某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数是__________ 【答案】种 【解析】 【分析】分情况讨论，再结合组合数的计算和分类加法计数原理即可解得. 【详解】由题，若人为男女，则不同选法为种， 若人为男女，则不同选法为种， 故所有不同选法为种. 故答案为：种 16. 在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第2项与第5项的二项式系数相等确定，再利用二项展开式通项公式即可求解. 【详解】由第2项与第5项的二项式系数相等，可得， 即， 根据二项展开式通项公式知第4项为 . 所以第4项的系数为. 所以答案是： 17. 抛物线上一点到焦点的距离等于6，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义列出等式即可解得. 【详解】由题，抛物线上一点到焦点距离为， 则，解得，故， 将点代入抛物线方程，可得， 解得. 故答案为：. 18. 将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，所得图像经过，则_________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦型函数平移变换规律得到平移后的解析式，再代入，即可解得. 【详解】由题，将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度， 可得到平移后的函数解析式为， 将代入平移后的函数解析式，解得. 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， ，且. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示和正弦定理列出等式，结合同角三角函数间的关系求出对应角即可解得. （2）根据三角形面积公式即可解得. 【小问1详解】 由题，，则， 由正弦定理可得, 又知，则，则， 又知，则解得. 【小问2详解】 由题，，则， 故. 20. 已知，与的夹角为. （1）求 的坐标； （2）若与同向，且与垂直，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求出，利用向量的模的坐标表示分别求出，再由内积的定义列方程求解即可. （2）根据与同向，可设，再由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【小问1详解】 已知， 则， ，， 由与的夹角为，可得， 即，得， 解得或，因为，所以， 即的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知，的坐标为， 由与同向，设，且， 则， 由与垂直，得， 即，， 解得，所以，即. 21. 已知等比数列中，公比，前4项的和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列是等差数列，若，，求数列的前项的和的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列求和公式基本量的计算结合等比数列通项公式即可解得. （2）根据等差数列项之间的关系和等差数列求和公式即可解得. 【小问1详解】 由题，等比数列中，前4项的和，且公比， 则，解得， 则等比数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题，数列是等差数列，，解得， 设等差数列公差为，则， ，则. 22. 已知点E，F分别是正方形的边的中点，现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，若图所示. （1）若点G，H分别是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构建三角形根据中位线定理证明面面平行，再根据面面平行证明线线平行； （2）利用面面垂直的性质定理，将线面角转化为平面角求解即可解得. 【小问1详解】 连接，设点O为的中点，连接， 在中，又因为点G为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又知为中点，则， 又因为E，F分别为正方形的边的中点，故， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为为正方形，E，F分别是的中点， 所以四边形为矩形，则， 又因为二面角为直二面角，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面内的射影， 因为为直线与平面所成的角， 不妨设正方形边长为a，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 23. 已知函数的最小值为4，函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设函数若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值，再由二次函数最值的公式列方程求出的值. （2）根据对数函数单调性列不等式求解即可. 【小问1详解】 已知函数， 则 即， 因为为偶函数， 所以， 即，所以， 又因为函数的最小值为4， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，因为， 所以若，则， 又在为减函数， 所以，即， 解得，所以的取值范围为. 24. 已知圆C经过点两点，且圆心在直线上， （1）求圆C的标准方程; （2）求过点且与圆相切的直线l方程; （3）已知点Q在圆C上运动，直线m经过点且交圆C于点两点，当最小时，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，再将点代入列方程中求解即可. （2）首先判断点与圆的位置关系，再设切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. （3）首先判断点与圆的位置关系，根据两条直线垂直的条件求出直线的方程，再由弦长公式求出的值，再由以为底，为高时面积最大，并由三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 圆心为， 由圆C经过点两点，且圆心在直线可得， ，即 解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆的方程为， 且圆心为，半径， 由点到圆心的距离为， 所以点在圆上，当斜率不存在时， 到圆心的距离为，不符合题意， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 即，则， 解得，所以切线方程为. 【小问3详解】 点，圆心为， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆内， 又直线m经过点且交圆C于点两点， 当最小时，即与垂直时， 则，所以，即， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则当的面积为最大时，， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $