专题01 一元一次不等式 单元阶段复习（十五大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

专题01 一元一次不等式 单元阶段复习（十五大题型） 目录： 题型1：概念辨析及应用 题型2：列不等式 题型3：不等式的性质 题型4：图解不等式的传递性 题型5：不等式性质的应用 题型6：不等式的解集 题型7：解一元一次不等式（组） 题型8：一元一次不等式（组）的整数解 题型9：一元一次不等式（组）的代数应用 题型10：根据一元一次不等式（组）的解集求参数 题型11：二元一次方程组与一元一次不等式（组） 题型12：作差法比较大小 题型13：一元一次不等式（组）的实际应用 题型14：程序框图 题型15：压轴题 题型1：概念辨析及应用 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【解析】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 2．有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【解析】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 3．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 4．现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 题型2：列不等式 5．的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【解析】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为． 6．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【解析】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式． 7．x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是： ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可． 【解析】解：根据题意可列不等式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据题意列出不等式，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式，掌握不小于即为大于或等于． 题型3：不等式的性质 8．若，那么下列式子中错误的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【解析】解：A.， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符合题意． 故选：D 9．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】用作差法比较即可． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果，，那么． 10．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【解析】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 题型4：图解不等式的传递性 11．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得，，再根据不等式的性质可得答案． 【解析】解：由题意得，，， ， 、、三人中体重最小的是， 故答案为：B 12．如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是 ． 【答案】R 【分析】此题考查了杠杆和不等式的有关知识．根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可． 【解析】解：由图1可知：， 由图2可知：， ∴，， ∴， 由图3可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以最重， 故答案为：． 题型5：不等式性质的应用 13．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a－1），且a－1≠0，根据不等式的解集为x＜1发现，不等号的方向发生了改变，由此可知a－1小于0，进而可以推出a的取值范围． 【解析】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a－1）且a≠1，不等号右边变为1， ∵不等号的方向发生了改变， ∴a－1＜0，解得a＜1， 故选C. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，能够熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 14．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 15．已知，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，结合求出；；再根据即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 故答案为：． 题型6：不等式的解集 16．下列说法中，错误的是（    ） A．不等式的正整数解有一个 B．不等式的整数解有无数个 C．－2是不等式的一个解 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】解出不等式即可判断C，D，根据不等式的整数解，即可判断A，B． 【解析】解：A，不等式的正整数解只有1，故选项正确，不符合题意； B，不等式的整数解有无数个，故选项正确，不符合题意； C，不等式的解集是，所以－2是不等式的一个解，故选项正确，不符合题意； D，不等式的解集是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的求解，不等式的整数解，解题的关键是：会解不等式，理解不等式的整数解． 17．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【解析】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 题型7：解一元一次不等式（组） 18．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边都乘以6即可得解. 【解析】解:不等式两边都乘以6得， 故选: D. 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质: (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; . (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 19．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【解析】解：∵， 在数轴上表示如图 故选B． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 20．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断． 【解析】由，解得：， A、由，解得：，故符合题意； B、由，解得：，故不符合题意； C、由，解得：，故不符合题意； D、由，解得：，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键． 21．解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法为解题关键． （1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可． 【解析】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． 22．解不等式（组）： (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解析】（1）解：去括号，得， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 23．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； （2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； 【解析】（1）解：（1）解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 题型8：一元一次不等式（组）的整数解 24．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【解析】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 25．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 26．不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【解析】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解是， 故答案为：． 题型9：一元一次不等式（组）的代数应用 27．当 时，代数式的值是非负数． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可． 【解析】依题意 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 化系数为1，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 28．已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 题型10：根据一元一次不等式（组）的解集求参数 29．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可． 【解析】解：解不等组式得：， ∵不等式组的解集为， ∴的范围为． 故选：D． 30．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【解析】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 31．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得． 【解析】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 32．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出的取值范围是解题关键． （1）先求出不等式组的解集为，再根据不等式组的最小整数解为，列出关于a的不等式求解即可； （2）根据不等式组的解集为以及所有整数解的和为14可得整数解为，再列出关于a的不等式组求解即可． 【解析】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为， ∴，解得． 题型11：二元一次方程组与一元一次不等式（组） 33．已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为2024 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式； （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据均为正数，建立不等式求解即可． 【解析】（1）解： ①+②，得，即③， 代入， 得， 解得， 故的值为2024； （2）解方程组， 得 均为正数, 解得． 34．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【解析】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 题型12：作差法比较大小 35．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【解析】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 36．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 【答案】(1)①＜；②＝；③＞； (2)①；②． 【分析】（1）①根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；③根据不等式性质即可解答； （2）①直接运用作差法进行比较即可；②先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定a、b的大小即可． 【解析】（1）解：①如果，，那么； 故答案为＜； ②如果，，那么； 故答案为=； ③如果，，那么； 故答案为＞． （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要等式的性质、不等式的性质、代数式大小比较等知识点，掌握运用作差法比较大小成为解答本题的关键． 37．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】(1)①>  ②=  ③< (2)能，见解析 (3)能，见解析 【分析】该题主要考查了不等式的性质，整式的加减等知识点，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质和等式的性质，移项即可； （2）作差法比较a，b两数，即可根据差的情况得出结论； （3）作差：，化简和0比较大小，即可得出结论． 【解析】（1）解：①>；②=；③<． （2）解：能． 叙述：如果a减b的值大于0，那么a大于b； 如果a减b的值等于0，那么a等于b； 如果a减b的值小于0，那么a小于b． （3）解：能． ∵， ∴． 题型13：一元一次不等式（组）的实际应用 38．采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长至少是 ． 【答案】80 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设导火线的长度至少需要，根据导火线燃烧速度是，人离开的速度是，到以外的安全区域可列不等式求解． 【解析】解：设导火线的长度需要， ， 解得． 故导火线的长度至少需要， 故答案为：80． 39．来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对 道题才能获奖． 【答案】18 【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设应选对x道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【解析】解:：设应选对x道题，则不选或错选的有道， 依题意得：， 解得： ∴至少应选对18道题才能获奖， 故答案为：18． 40．有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 【答案】31 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设还能搭载x箱纸，利用总重量小于等于，进而得出答案． 【解析】解：设还能搭载x箱纸，根据题意可得： ， 解得：， 所以，该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载31箱纸． 故答案为：31． 41．某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但商店要保证利润率不低于．设该商品降价x元，用含x的不等式表示该商品的降价范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．利润率不低于，即利润要大于或等于元，设该商品降价x元，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求解即可． 【解析】解：设该商品降价x元，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 42．某学校为美化校园环境，计划安排甲、乙两个工程队对面积为的区域进行绿化．已知乙队每天能绿化的面积是，甲队每天能绿化的面积是乙队的2倍，学校每天需付给甲队和乙队的绿化费用分别为万元、万元．要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】至少应安排甲队工作11天 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题干条件抽象出一元一次不等式是解题的关键．根据题意“甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，每天需付给乙队为万元，这次的绿化总费用不超过8万元”列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解析】解：设安排甲队工作x天． 根据题意，得， 解得． 因为x为整数，所以x的最小值为11． 答：至少应安排甲队工作11天． 43．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可． 【解析】（1）解：方案一的费用是元， 方案二的费用是（元）； （2）解：令， 解得， 答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱． 44．某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元 (2)有种购买方案．购买台型健身器材，台型健身器材最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，根据“购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，根据“购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【解析】（1）解：设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元， 依题意得：， 解得：， 答：型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元； （2）解：设购买台型健身器材，则购买台型健身器材， 依题意得：， 解得：，   又为整数， 可以为，， 共有种购买方案， 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； ， 最省钱的购物方案为：购买台型健身器材，台型健身器材． 题型14：程序框图 45．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 【答案】64 【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 【解析】解：根据题意，得 解得， ∴x的最大值是64． 故答案为：64 46．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【解析】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 题型15：压轴题 47．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解析】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 48．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【解析】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 49．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【解析】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 50．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． 【答案】【问题解决】（1）这个数在数轴上对应的点到2和4两个点的距离之和，2；（2）2，3；（3）9；（4）1023132；【拓展应用】 【分析】【问题解决】（1）根据题目提供的方法，说明即可； （2）根据题目提供的方法，当在2和4之间，且处于中点时，即当时，最小； （3）根据题目提供的方法，当在1和6之间，且处于中点时，所求式子最小； （4）根据题目提供的方法，当在1和2022之间，且处于中点时，即当时，所求式子最小； 【拓展应用】分①当时，②当时，③当时，求出的范围，再合并即可． 【解析】解：【问题解决】（1）根据题目提供的方法，可知：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；此时最小值为2； 故答案为：这个数在数轴上对应的点到表示2和4两个数的点的距离之和；2； （2）根据题目提供的方法，可知：当处于2和4的中点，即时最小，最小值为：； 故答案为：2；3； （3）根据题目提供的方法，可知：当在1和6之间，取最小值， 当在2和5之间，取最小值， 当在3和4之间，取最小值， ∴当在3和4之间，所求式子最小； 不妨取，最小值为：； 故答案为：9； （4）总结规律可知，最中间一个数或者中间两个数之间取最小值. 1，2，3，4，的中间数为：1012 ； 故答案为：； 【拓展应用】使它到，2的距离之和小于4， ， ①当时，则有， 解得：． ； ②当时，则有， ； ③当时，则有， 解得：， ； 由①②③不得式得出：． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的几何意义，简单的一元一次不等式的解法等知识，解题的关键是理解题目提供的方法，灵活运用这一方法解题． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式 单元阶段复习（十五大题型） 目录： 题型1：概念辨析及应用 题型2：列不等式 题型3：不等式的性质 题型4：图解不等式的传递性 题型5：不等式性质的应用 题型6：不等式的解集 题型7：解一元一次不等式（组） 题型8：一元一次不等式（组）的整数解 题型9：一元一次不等式（组）的代数应用 题型10：根据一元一次不等式（组）的解集求参数 题型11：二元一次方程组与一元一次不等式（组） 题型12：作差法比较大小 题型13：一元一次不等式（组）的实际应用 题型14：程序框图 题型15：压轴题 题型1：概念辨析及应用 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 4．现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2：列不等式 5．的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 6．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 7．x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是： ． 题型3：不等式的性质 8．若，那么下列式子中错误的是（　　　） A． B． C． D． 9．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 10．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型4：图解不等式的传递性 11．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    12．如图，有P、Q、R、S四个小朋友去公园玩跷跷板，则这四个小朋友中，最重的是 ． 题型5：不等式性质的应用 13．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0 14．若，则x的取值范围是 ． 15．已知，且．若，则的取值范围是 ． 题型6：不等式的解集 16．下列说法中，错误的是（    ） A．不等式的正整数解有一个 B．不等式的整数解有无数个 C．－2是不等式的一个解 D．不等式的解集是 17．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 题型7：解一元一次不等式（组） 18．解不等式时，去分母步骤正确的是（     ） A． B． C． D． 19．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B． C．D． 20．与不等式的解集相同的不等式是（    ） A． B． C． D． 21．解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 22．解不等式（组）： (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 23．解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 题型8：一元一次不等式（组）的整数解 24．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 26．不等式组的最小整数解是 ． 题型9：一元一次不等式（组）的代数应用 27．当 时，代数式的值是非负数． 28．已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型10：根据一元一次不等式（组）的解集求参数 29．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 31．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 题型11：二元一次方程组与一元一次不等式（组） 33．已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 34．已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型12：作差法比较大小 35．阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 36．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 37．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 题型13：一元一次不等式（组）的实际应用 38．采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长至少是 ． 39．来宾市某校组织开展了“民族团结”的知识竞赛，共有30道竞赛题，选对一题得5分，不选或者错选一道题扣2分，若得分不低于60分获奖，那么至少答对 道题才能获奖． 40．有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 41．某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但商店要保证利润率不低于．设该商品降价x元，用含x的不等式表示该商品的降价范围为 ． 42．某学校为美化校园环境，计划安排甲、乙两个工程队对面积为的区域进行绿化．已知乙队每天能绿化的面积是，甲队每天能绿化的面积是乙队的2倍，学校每天需付给甲队和乙队的绿化费用分别为万元、万元．要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 43．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 44．某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 题型14：程序框图 45．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 46．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 题型15：压轴题 47．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 48．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 49．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 50．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 所以a到1和2的距离之和最小值是1． 【问题解决】 （1）的几何意义是_______；请你结合数轴探究：的最小值是_____； （2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______； （3）的最小值为_____； （4）的最小值为_____． 【拓展应用】 如图⑤，已知a到，2的距离之和小于4，请写出a的范围为_____． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$