4 整式的除法-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

整式的乘除 第一章 自主导学 典例精析 例题 1 计算： （ 1 ） （ －0.5a 2 bc 2）÷ - 2 5 ac c " 2 ； （ 2 ） （ 6×10 8 ） ÷ （ 3×10 5 ）； （ 3 ） （ 2x 2 y 3 z ） 2 ÷ （ －3xy 2 ） 2 。 【分析】 （ 1 ） （ 2 ） 运用单项式除以单项式的法则运算； （ 3 ） 按照运算顺序， 先算乘方， 再算除法。 【解答】 （ 1 ） （ －0.5a 2 bc 2 ） ÷ - 2 5 ac c " 2 ＝ - 1 2 c " × - 5 2 c "2 $ a 2－1 bc 2－2 ＝ 5 4 ab ； （ 2 ） （ 6×10 8 ） ÷ （ 3×10 5 ） ＝ （ 6÷3 ） ×10 8－5 ＝2×10 3 ； （ 3 ） （ 2x 2 y 3 z ） 2 ÷ （ －3xy 2 ） 2 ＝4x 4 y 6 z 2 ÷9x 2 y 4 ＝ （ 4÷9 ） x 4－2 y 6－4 z 2 ＝ 4 9 x 2 y 2 z 2 。 【点拨】 单项式除以单项式的结果仍为单项式。 例题 2 计算： （ 1 ） （ 36x 4 y 3 -24x 3 y 2 +3x 2 y 2 ） ÷ （ -6x 2 y ）； （ 2 ） ［（ 2x+y ） 2 -y （ y+4x ） -8x ］ ÷2x 。 【分析】 （ 1 ） 直接运用多项式除单项式法则运算； （ 2 ） 先将括号内的式子化为最简形 式后， 再做除法。 【解答】 （ 1 ） （ 36x 4 y 3 -24x 3 y 2 +3x 2 y 2 ） ÷ （ -6x 2 y ） =-6x 2 y 2 +4xy- 1 2 y ； （ 2 ） ［（ 2x+y ） 2 -y （ y+4x ） -8x ］ ÷2x= （ 4x 2 +4xy+y 2 -y 2 -4xy-8x ） ÷2x= （ 4x 2 -8x ） ÷2x=2x-4 。 【点拨】 多项式除以单项式是将多项式除以单项式运算转化为单项式除以单项式的运算。 在进行整式的混合运算时， 首先要观察算式中含有哪些运算， 确定好运算顺序后， 再进行运 算， 特别要注意算式中含有括号时， 要将括号内的式子化为最简形式 （先算括号内的式子）， 然后再去括号， 并与括号外式子进行相应的运算。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： （ 1 ） 8a 2 b 2 ÷ （ 4ab ） = ； （ 2 ） （ －3ab 2 ） 2 ÷ （ 9ab 3 ） = ； （ 3 ） （ 6x 2 y 3 ） 2 ÷ （ 3xy 2 ） 2 = ； （ 4 ） （ 4×10 9 ） ÷ （ －2×10 3 ） = 。 2. 计算： ［（ a+b ） 5 － （ a+b ） 3 ］ ÷ （ a+b ） 3 = 。 3. 若 8a 3 b 4 ÷ （ 12a m b 3 ） = 2 3 b ， 则 m= 。 4. 计算： （ 3a 2 -6ab ） ÷3a= 。 5. 已知长方形的面积为 6a 2 +18ab ， 长为 3a ， 则该长方形的周长为 。 6. 若 （ 6x 4 -2x 2-n ） ÷2x 3 =3x-x 2 （ n 为常数）， 则 n 的值为 。 7. 已知 6x 4 y 3 ÷★=2xy 2 ， 则 “ ★ ” 所表示的式子是 （ ） 4 整式的除法 31 七年级下册 （北师大版）数学 A． 12x 5 y 5 B． 3x 3 y C． 3x 3 y 2 D． 4x 3 y 8. 计算： （ 28a 3 b 2 c-7ab 2 ） ÷7ab 2 的结果是 （ ） A． 4a 2 c-1 B． 4a 2 c C． 4a 2 c-b D． 4a 2 -1 9. 小明在爬一座小山时， 第一阶段的平均速度为 2v ， 所用时间为 t ， 第二阶段的平均速 度为 v ， 所用时间为 1 2 t ， 则小明在爬这一小山的平均速度为 （ ） A． 3 2 v B． 3v C． 5 2 v D． 5 3 v 10. 已知多项式 （ 17x 2 -3x+4 ） - （ ax 2 +bx+c ） 能被 5x 整除， 且商式为 2x+1 ， 则 a+b+c= （ ） A． 3 B． 8 C． 15 D． 19 11. 计算： （ 1 ） - 2 3 x 2 y · 6x 3 y÷ （ -2xy ） 2 ； （ 2 ） （ 3x 2 y ） 2 ÷ （ -9x 4 y ） － （ 2xy 2 ） 3 ÷x 3 y 5 ； （ 3 ） （ x 2 y 4 -x 3 y 3 +2x 4 yz ） ÷x 2 y ； （ 4 ） 3 4 a 4 b 7 － 1 8 a 2 b b " 6 ÷ - 1 4 ab b " 2 2 ； （ 5 ） 4x－ 1 2 b " y 2 -4y x+ 1 16 b " y y $ ÷8x ； （ 6 ） 2 025 2 －2 022×2 028 。 32 整式的乘除 第一章 能力提升 综合拓展 12. 先化简， 再求值： （ 1 ） ［（ 2x+y ） 2 + （ x-y ）（ 3y+x ） +2y 2 ］ ÷ （ -x ）， 其中 x=-2 ， y=1 ； （ 2 ） ［（ 3a+2b ） 2 - （ 2b+3a ）（ 3a-2b ） -6b （ b-a ）］ ÷ 1 2 b ， 其中 a=- 1 ３ ， b= ３ ４ 。 13. 已知 A-2x （ x+y ） = （ -4x 2 y 2 -6xy 3 ） ÷2xy- （ x-2y ）（ x+2y ）， 其中 A 是关于 x ， y 的多项式。 （ 1 ） 求多项式 A 。 （ 2 ） 若 x+y=4 ， xy=3 ， 求 A 的值。 14. 某居民小区响应党的号召， 开展全民健身活动。 该小区准备修建一个健身场地， 其 设计方案如图所示， A 区为成年人活动场地， B 区为未成年人活动场地， 其余地方均种花 草。 （ π 取 3 ） （ 1 ） 成年人活动场地、 未成年人活动场地、 花草区域的面积各是多少？ （ 2 ） 整个健身场地的面积是成年人活动场地面积的多少倍？ 第 14 题图 A B 3a 3a 1.5a 1.5a 4a 5aa 33 七年级下册 （北师大版）数学 15. 现有 4 个单项式 2a 3 b ， 1 3 a 4 b 2 ， -a 2 b 3 ， 7ab 2 ， 规定只能用乘法或除法运算， 使由这四 个单项式组成的算式的计算结果是一个常数。 请你写出该算式， 并进行计算。 * 16. 生活中处处有数学， 比如在日历上就有许多数学规律。 如图是 2024 年 9 月的日历。 （ 1 ） 我们任意用一个 2×2 的方框框出 4 个数， 将其中 4 个位置上的数交叉相乘， 再用较 大的数减去较小的数， 你会发现其中蕴含的规律。 ① 图中方框框出的 4 个数， 按照题目所说的计算规则， 结果是多少？ ② 换一个位置试一下， 是否有同样的规律？ 如果有， 请你利用整式的运算对你发现的规 律加以证明； 如果没有， 请说明理由。 （ 2 ） 如果任意选择在十字形位置 （不包括中间交叉位置） 的 4 个数， 分别将每组数中相 对的两数相乘， 再用较大的数减去较小的数， 你还会发现其中蕴含的规律。 ① 图中十字形框框出的 4 个数， 按照题目所说的计算规则， 结果是多少？ ② 换一个位置试一下， 是否有同样的规律？ 如果有， 请你利用整式的运算对你发现的规 律加以证明； 如果没有， 请说明理由。 中考链接 真题演练 17. （ 2024 ·南充） 先化简， 再求值： （ x+2 ） 2 - （ x 3 +3x ） ÷x ， 其中 x=-2 。 18. （ 2024 ·甘肃） 先化简， 再求值： ［（ 2a+b ） 2 - （ 2a+b ）（ 2a-b ）］ ÷2b ， 其中 a=2 ， b=-1 。 2024 年 9 月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 第 16 题图 34 参考答案与提示 9 个方格中填上相应的代数式如图 1 。 因为大正方形的面积为 （ a+b+c ） 2 ， 9 个长方形的面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+ 2ac ， 所以 （ a+b+c ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac 。 （ 2 ） 如图 2 ， 因为大正方形的面积为 （ a+b+c+d ） 2 ， 16 个长方形的 面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ， 所以 （ a+b+c+d ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 。 （ 3 ） 因为大正方体的体积为 （ a+b ） 3 ， 分割为 8 个长方体， 这 8 个长方体的体积和为 a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ， 所以 （ a+b ） 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 。 * 12. 解： （ 1 ） 由题意， 得 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） ＝x 2 +y 2 -kxy 。 因为 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） 是一个完全 平方式， 所以 -k＝±2 ， 即 k＝±2 。 （ 2 ） 因为 F （ 2x+3y ， 2x-3y ） +H （ 7 ， x 2 +2y 2 ） ＝13 ， 所以（ 2x+3y ） 2 + （ 2x-3y ） 2 -7 （ x 2 +2y 2 ） ＝13 。 所以 x 2 +4y 2 ＝13 。 因 为 x+2y＝5 ， 所以 x 2 +4xy+4y 2 ＝25 。 所以 4xy+13＝25 。 所以 xy＝3 。 所以 （ x-2y ） 2 ＝x 2 -4xy+4y 2 ＝13-12＝1 。 （ 3 ） 因为 S 梯形 ABCD -S △ABE ＝2 ， 所以 1 2 · nx ·（ x+y ） - 1 2 AD · EF＝2 。 所以 nx （ x+y ） -y · 4ny＝4 ， 即 nx 2 +nxy-4ny 2 ＝4 。 由 （ 2 ） 知： xy＝3 ， x-2y＝±1 ， x+2y＝5 ， 所以当 x-2y＝1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5×1×n＝4 。 所以 n＝ 1 2 。 当 x-2y＝-1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5× （ -1 ） ×n＝4 。 ∴n＝-2 。 综上， n 的值是 1 2 或 -2 。 13. 29 14. 解： 原式 =x 2 +2xy+y 2 +x 2 -2xy=2x 2 +y 2 ， 当 x=1 ， y=-2 时， 原式 =2×1 2 + （ -2 ） 2 =6 。 15. 解： （ 1 ） 由图可知 S 1 ＝ （ a+ 2 ）（ a+1 ） ＝a 2 +3a+2 ， S 2 ＝ （ 5a+1 ） ×1＝5a+1 ， 当 a＝2 时， S 1 +S 2 ＝4+6+2+10+1＝23 。 （ 2 ） S 1 ＞S 2 。 理由： 因为 S 1 -S 2 ＝a 2 +3a+ 2-5a-1＝a 2 -2a+1＝ （ a-1 ） 2 >0 ， 所以 S 1 ＞S 2 。 3 乘法公式 （第 4 课时） 1. 10 2. 9 3. -8xy 4. x 4 -2x 2 +1 5. - 1 2 1 4 6. 34 7. D 8. C 9. B 10. D 11. 解： （ 1 ） 87 2 = （ 90－3 ） 2 = 90 2 －2×3×90+3 2 =8 100－540+9=7 569 。 （ 2 ） 504 2 = （ 500+4 ） 2 =500 2 +2×4×500+4 2 =250 000+4 000+16=254 016 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 -5x+2 2 # 5 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 +5x-25=10x 。 （ 2 ） 原式 = （ m 2 -n 2 ）（ m 2 +n 2 ）（ m 4 - n 4 ） = （ m 4 -n 4 ） 2 =m 8 －2m 4 n 4 +n 8 。 （ 3 ） 原式 = 3a+ 1 2 2 2 b 2 －4 2 =9a 2 +3ab+ 1 4 b 2 －16 。 （ 4 ） 原式 =3 （ m 2 +2m+1 ） －5 （ m 2 －1 ） + 2 （ m 2 －2m+1 ） =3m 2 +6m+3－5m 2 +5+2m 2 －4m+2=2m+10 。 13. 解： 【验证】 10 的一半等于 5 ， 5=1+4=1 2 +2 2 。 【探究】 理由： （ m+n ） 2 + （ m-n ） 2 =m 2 +2mn+n 2 +m 2 -2mn+n 2 =2m 2 +2n 2 =2 （ m 2 +n 2 ）， 所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差 的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。 14. 2a+1 15. -1 012 提示： 将等 式转化为完全平方和的形式。 4 整式的除法 1. （ 1 ） 2ab （ 2 ） ab （ 3 ） 4x 2 y 2 （ 4 ） -2×10 6 2. a 2 +2ab+b 2 -1 3. 3 4. a-2b 5. 10a+12b 6. -3 7. B 8. A 9. D 10. A 11. 解 ： （ 1 ） 原式 =- 2 3 x 2 y · 6x 3 y÷4x 2 y 2 =-4x 5 y 2 ÷4x 2 y 2 =-x 3 。 （ 2 ） 原式 =9x 4 y 2 ÷ （ -9x 4 y ） - 8x 3 y 6 ÷x 3 y 5 =-y-8y=-9y 。 （ 3 ） 原式 =y 3 －xy 2 +2x 2 z 。 （ 4 ） 原式 = 3 4 a 4 b 7 － 1 8 a 2 b 6 6 2 ÷ 1 16 a 2 b 4 =12a 2 b 3 －2b 2 。 （ 5 ） 原式 = 16x 2 －4xy+ 1 4 y 2 －4xy 2 － 1 4 y 2 2 ÷8x= （ 16x 2 －8xy ） ÷8x=2x－y 。 （ 6 ） 原式 =2 025 2 － （ 2 025－3 ） × （ 2 025+3 ） =2 025 2 － （ 2 025 2 － 9 ） =9 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = （ 4x 2 +4xy+y 2 +3xy+x 2 -3y 2 -xy+2y 2 ） ÷ （ -x ） = （ 5x 2 +6xy ） ÷ （ -x ） =-5x-6y 。 将 x=-2 ， y=1 代 入， 原式 =-5× （ -2 ） -6×1=4 。 （ 2 ） 原式 = （ 9a 2 +4b 2 +12ab-9a 2 +4b 2 -6b 2 +6ab ） ÷ 1 2 b= （ 2b 2 +18ab ） ÷ 1 2 b=4b+36a 。 将 a=- 1 3 ， b= 3 4 代入， 原式 =4× 3 4 +36× - 1 3 2 2 =-9 。 13. 解： （ 1 ） 由已知得 A=-2xy-3y 2 -x 2 +4y 2 +2x 2 +2xy=x 2 +y 2 。 （ 2 ） ∵x+ y=4 ， xy=3 ， ∴A=x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=4 2 -2×3=10 。 14. 解： （ 1 ） 由图形， 得 S 成年人 =4a · 3a=12a 2 ， S 未成年人 =π · 3 2 2 2 a 2 = 27 4 a 2 ， 整个健身场地的面积 = （ a+4a+5a ）（ 1.5a+3a+1.5a ） =10a · 6a=60a 2 ， ∴S 花草 =60a 2 -12a 2 - 27 4 a 2 = 165 4 a 2 。 （ 2 ） 由 题意， 得 60a 2 ÷12a 2 =5 。 答 ： 整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的 5 倍 。 15. 解 ： （ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ） ÷ 1 3 a 4 b 2 2 2 （ 7ab 2 2 ' ） =- 6 7 或 1 3 a 4 b 6 # 2 （ 7ab 2 ） ÷ ［（ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ）］ =- 7 6 。 * 16. 解： （ 1 ） ①3×9－2×10=27－20=7 。 ② 再换 一组 19×13－20×12=247－240=7 。 证明： 设方框框出的四个数分别为 a ， a+1 ， a+7 ， a+8 ， 则 （ a+1 ）（ a+7 ） －a （ a+8 ） =a 2 +8a+7－a 2 －8a=7 。 （ 2 ） ①12×14－6×20=168－120=48 。 ② 再换一组 9×11－3×17=99－51=48 。 证明： 设选择的四个 数的中间数字为 x ， 则四个数为 x－1 ， x+1 ， x－7 ， x+7 ， 则 （ x－1 ）（ x+1 ） － （ x-7 ）（ x+7 ） =x 2 －1－ （ x 2 －49 ） =x 2 －1－x 2 +49=48 。 17. 解： 原式 = （ x 2 +4x+4 ） - （ x 2 +3 ） =x 2 +4x+4-x 2 -3=4x+1 。 当 x=-2 时， 原式 =4× （ -2 ） +1=-8+1=-7 。 18. 解： 原式 = （ 4a 2 +4ab+b 2 -4a 2 +b 2 ） ÷2b= （ 4ab+2b 2 ） ÷2b=2a+b 。 当 a=2 ， b=-1 时， 原式 =2×2-1=3 。 第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 （第 1 课时） 1． 140° 2． 45° 3． ∠2-∠1=90° 4． 75° 5． B 6． D 7． 解： 设这个角为 x ， 则它的余角为 90°-x ， 补角为 180°-x 。 依题意有 180°-x=4 （ 90°-x ）， 解得 x=60° 。 所以这个角的度数为 60° 。 8． 解： （ 1 ） 因为 ∠BOC 与 ∠BOD 第 11 题答图 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 图 1 图 2 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 ad bd cd a 2 d ad bd cd d 175