2024-2025学年人教版八年级下册第一次月考数学试卷（3月份）（拓展B卷）（考查范围：第16～17章）

2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拓展B卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是，，的面积为：， 故选：B． 2．（3分）（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的范围，把原式化简，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（3分）（24-25八年级·山西长治·期末）松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：A． 5．（3分）（2025八年级·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（3分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 7．（3分）（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键． 8．（3分）（24-25八年级·重庆铜梁·期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时， 故该选项①正确； ②， 当，则 当则． 故选项②正确； ③， 当时， ，所以不存在， 故该选项③正确； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故该选项④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 9．（3分）（24-25八年级·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 10．（3分）（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可知，，，易证明，，得是等腰直角三角形，结合勾股定理得，当最小时，即；当最大时，即点与点重合；同理证明，，得，，即可作答． 【详解】解：连接，，，，，如图： 因为动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，， 则，， 所以，， 因为等腰中，，， 所以， 即， 因为， 所以是等腰直角三角形， 则， 当最小时，即，此时， 所以的最小值为； 当最大时，即点与点重合，，此时， 所以； 故甲对； 因为，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、， 所以，，，，， 则，， 所以，， 因为， 则， 故乙对， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的性质等知识，解题的关键证明是等腰直角三角形． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·甘肃天水·开学考试）如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识．过点B作于点H，证明，则．设，得到在中，，求出，即可得到． 【详解】解：如图，过点B作于点H，则． ∵， ∴， ∴． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 14．（3分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理．分为腰，为底两种情况，当为腰时，；当为底时，，利用勾股定理先求出，再求出，最后再利用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：分两种情况： 当为腰时，； 当为底时，则， ， ， ， ， 综上可知，边的长为5或． 故答案为：5或． 15．（3分）（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解： ，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 16．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则 ，若延长线段交于点，则 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质和已知条件证明，即可得出，再运用勾股定理求得，即可求得；可证得，得出，，设，则，再运用勾股定理建立方程求得，即可求得． 【详解】解：如图，连接， 分别以，为边作等边和等边， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， , ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 设，则， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 故答案为：2，． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 18．（6分）（24-25八年级·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 19．（8分）（2025八年级·安徽芜湖·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“平衡数”的定义，即得答案； （2）若与是关于1的“平衡数”，则，求得，但是当时，，即可判断答案． 【详解】（1）解：， 4与是关于1的“平衡数”， ， 与是关于1的“平衡数”； 故答案为：，； （2）解：与不是关于1的“平衡数”． 理由：若与是关于1的“平衡数”， 则， ， 当时，， 故与不是关于1的“平衡数”． 20．（8分）（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据证明可得结论； （2）连接，由对称性得，，，可得出 （3）作，垂足为．证明，再根据勾股定理可得结论 【详解】（1）证明：平分，， ， ，， ， ； （2）解：连接． 点与点关于直线对称， ， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 作，垂足为． ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 21．（10分）（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化． （1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， 即， ， ， 原式． 22．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 23．（12分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； (3)在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数、等腰直角三角形、勾股定理及逆定理的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理的性质； （1）过点A作轴于点P，根据等腰直角三角形三线合一的性质分析，即可得到答案； （2）过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接，根据勾股定理及逆定理的性质计算，即可得到答案； （3）过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N，根据，结合勾股定理，分别得到，，从而得到，同理推算出，从而得到等式，设点的坐标，建立等式即可得到答案． 【详解】（1）如图，过点A作轴于点P， ∵ ∴ ∴点A的坐标为； （2）如图，过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接， 根据（1）的结论，得点A的坐标为， ∴,, ∵点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点， ∴，， ∴ ∵ ∴，即, ∴，即； （3）如下图所示，过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N， 得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标， 在直角三角形中，, ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即点的坐标为． 24．（12分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．     问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拓展B卷） 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~17章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级·山西长治·期末）松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为12m；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15m；③松松身高为1.6m，若松松同学想使风筝沿方向下降4m，则他应该往回收线（   ）米． A．2 B．5 C．5.4 D．3.6 5．（3分）（2025八年级·浙江温州·学业考试）若，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·重庆铜梁·期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）（24-25八年级·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、． 甲：我发现线段的最大值为2，最小值为； 乙：我连接，，发现的大小不变，始终是． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 12．（3分）（24-25八年级·甘肃天水·开学考试）如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为 ． 13．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． 14．（3分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 15．（3分）（24-25八年级·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 16．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连接，若，，则 ，若延长线段交于点，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（6分）（24-25八年级·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 19．（8分）（2025八年级·安徽芜湖·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 20．（8分）（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 21．（10分）（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，，． ． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 22．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 23．（12分）（24-25八年级·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； (3)在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 24．（12分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．     问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$