专题02 二项式定理全题型归纳（13大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题02 二项式定理全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 二项式定理展开及其逆应用】 3 【题型二 二项展开式第k项】 4 【题型三 二项式系数（和）】 4 【题型四 指定项系数（有理项）】 5 【题型五 各项系数和】 6 【题型六 系数最大（小）项】 6 【题型七 三项展开式系数问题】 7 【题型八 两个二项式相乘展开系数问题】 7 【题型九 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）】 8 【题型十 整除和余数问题】 9 【题型十一 近似计算问题】 9 【题型十二 组合恒等式的证明】 10 【题型十三 杨辉三角】 10 压轴能力测评（26题） 12 一、二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 二、二项式的展开式的特点 ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． 三、两个常用的二项展开式： ①（） ② 四、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 五、二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 六、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 七、赋值法 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 【题型一 二项式定理展开及其逆应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）乘积展开后的项数为（    ） A．6 B．7 C．13 D．42 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． 4．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【题型二 二项展开式第k项】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 2．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 3．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【题型三 二项式系数（和）】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·全国·课堂例题）已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为 . 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【题型四 指定项系数（有理项）】 一、单选题 1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习），则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【题型五 各项系数和】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 3．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 5．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型六 系数最大（小）项】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型七 三项展开式系数问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 2．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 二、填空题 4．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）若，则 【题型八 两个二项式相乘展开系数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南郑州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B．240 C． D．180 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【题型九 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知，则（    ） A． B．28 C．14 D． 3．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【题型十 整除和余数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2024 C．2024 D．2025 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【题型十一 近似计算问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 3．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【题型十二 组合恒等式的证明】 一、解答题 1．（23-24高二·全国·课后作业）求证：． 2．（2024高二·全国·专题练习）求证： 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【题型十三 杨辉三角】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 二、多选题 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 2．（2024高二·全国·专题练习）二项式（x2－）11的展开式中，二项式系数最大的项为（　　） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第6项和第7项 3．（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）二项式的展开式中无理项的项数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）的展开式中的系数是（    ） A．48 B．-48 C．72 D．-72 6．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 7．（24-25高二下·四川成都·开学考试）设，则（   ） A．120 B．84 C．56 D．36 8．（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 9．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 二、多选题 12．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）已知（，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题 15．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为 . 16．（2025高二·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 ． 17．（24-25高二上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 18．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 19．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 20．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若的展开式中的常数项为0，则 . 21．（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 22．（24-25高二·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 四、解答题 23．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 24．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 25．（24-25高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 26．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二项式定理全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 二项式定理展开及其逆应用】 3 【题型二 二项展开式第k项】 5 【题型三 二项式系数（和）】 6 【题型四 指定项系数（有理项）】 8 【题型五 各项系数和】 10 【题型六 系数最大（小）项】 12 【题型七 三项展开式系数问题】 14 【题型八 两个二项式相乘展开系数问题】 15 【题型九 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）】 17 【题型十 整除和余数问题】 20 【题型十一 近似计算问题】 21 【题型十二 组合恒等式的证明】 22 【题型十三 杨辉三角】 24 压轴能力测评（26题） 27 一、二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， 二、二项式的展开式的特点 ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． 三、两个常用的二项展开式： ①（） ② 四、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 五、二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． 六、系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 七、赋值法 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 【常用结论】 奇数项的系数和与偶数项的系数和 ①5当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） ②当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 【题型一 二项式定理展开及其逆应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）乘积展开后的项数为（    ） A．6 B．7 C．13 D．42 【答案】D 【分析】直接利用组合数求出结果． 【详解】乘积展开后的项数为． 故选：D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 二、解答题 3．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式． 4．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果； （2）根据二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 【题型二 二项展开式第k项】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项. 【详解】的展开式中的常数项为. 故选：D 2．（23-24高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 3．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 【题型三 二项式系数（和）】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数和求得，结合展开式通项利用常数项列方程求解即可. 【详解】由条件知，即，在通项中， 令，得.所以常数项为，解得. 故选：C 2．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以n＝8， 二项展开式的通项为， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，求出的值，再利用展开式的通项求出的值即可. 【详解】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 4．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 二、填空题 5．（23-24高二下·全国·课堂例题）已知展开式的奇数项的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由奇数项的二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得奇数项的二项式系数和，所以， 则展开式的通项为，且， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：. 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 【题型四 指定项系数（有理项）】 一、单选题 1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以的展开通项为， 若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个. 故选：C. 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习），则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 【答案】C 【分析】求出二项式通项公式，赋值后代入求解即可. 【详解】，展开式的通项为， 令，解得，故. 故选：C. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）在的展开式中，的系数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出每项中含有的项，利用组合数的性质即可得出结果. 【详解】在的展开式中，的系数为 . 故选：D. 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 【题型五 各项系数和】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若的展开式中各项系数之和为243，则展开式中的系数为（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】令，得到各项系数之和为，解出，利用通项公式解出的系数. 【详解】令，得到各项系数之和为，解得，则的通项公式为， 令，解得，的系数为. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】解：令，得； 令，得， 则， 故选：B 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 5．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】赋值令，得，再由为展开式中的系数，算出，即可得到答案. 【详解】令，得， 又， 所以. 故选：A. 【题型六 系数最大（小）项】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，利用不等式法可求得结果. 【详解】的展开式通项为：， 设第项的系数最大，则，解得：， 又，或， 的展开式系数最大的项为和，即和. 故选：C. 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 4．（23-24高二上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，，且，结合组合数公式求出的值即可． 【详解】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9． 故选：B． 【题型七 三项展开式系数问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 二、填空题 4．（23-24高二下·天津·阶段练习）已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）若，则 【答案】392 【分析】利用赋值法求出，再利用组合计数问题，结合两个原理求出即可. 【详解】依题意，令，得， 展开式的项是5个多项式中，取1个用，再从余下4个中取1个用，另3个都用2， 或者是5个多项式中，取3个用，另2个都用2， 因此， 所以. 故答案为：392 【题型八 两个二项式相乘展开系数问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南郑州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B．240 C． D．180 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 3．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到含的项为，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数. 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 5．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据题意分别将化简为，然后对每项进行二项式展开求出项的系数，从而可求解. 【详解】由题意可得，然后分别求出和中项的系数， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 对于，其展开式通项为，当时，项的系数为， 所以项的系数，故B正确. 故选：B. 【题型九 赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和）】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 【答案】A 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. 2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知，则（    ） A． B．28 C．14 D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】令，整理得： 与分别是展开式中与的系数，展开式的通项公式为， ， 故选:B. 3．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 4．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 5．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以，， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以， 所以， 所以. 故选：B 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．9 B．10 C．19 D．29 【答案】C 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】因为， 所以 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键将原式两边同时乘以，再将两边对求导. 【题型十 整除和余数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得正确. 【详解】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 2．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2024 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2024，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得，利用二项式定理求出除的余数，即为的值. 【详解】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法， 则 且能被整除， 所以，除的余数为，即. 故选：D. 【题型十一 近似计算问题】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 3．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 【题型十二 组合恒等式的证明】 一、解答题 1．（23-24高二·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由得是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，由组合数的性质可得证. 【详解】证明:因为， 所以， 而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数， 所以． 因为，所以． 2．（2024高二·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 【题型十三 杨辉三角】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用二项式定理求解即可. 【详解】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 二、多选题 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2024行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BD 【分析】选项A，利用组合数的公式计算即可；选项B，利用组合数的性质判断即可；选项C，根据二项式定理得展开式判断即可；选项D，先明确第行所有数字的平方和与第行的中间一项的数字，然后构造等式，计算等式两边的系数即可，利用系数相等，得到答案. 【详解】选项A，因为， 易知 ，故A错误； 选项B，易知第2024行的第1012个和第1013个数分别是，， 由排列数的性质可知，两个同为最大，故B正确； 选项C，由题易知，， 易知，故C错误； 选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 第行的中间一项的数字为， 构造等式， 在等式左边的系数为， 等式右边的系数为， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：选项A，利用递推计算即可；选项D，需要根据题意得到二项式相关的式子，然后观察式子构造等式，利用相对应的系数相等得到答案. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【详解】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）二项式（x2－）11的展开式中，二项式系数最大的项为（　　） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第6项和第7项 【答案】D 【详解】解析：依题意，二项式系数最大的项为第6和第7项． 3．（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为 . 令， 所以展开式的常数项为 故选：B. 4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）二项式的展开式中无理项的项数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，再计算出有理项的项数，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且）， 所以展开式中一共有项，令，则或或或， 所以展开式中有理项共有项，则无理项有项. 故选：B 5．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）的展开式中的系数是（    ） A．48 B．-48 C．72 D．-72 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中，的系数等于. 故选：A. 6．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 【答案】B 【分析】由通项公式列出不等式组可求答案. 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B 7．（24-25高二下·四川成都·开学考试）设，则（   ） A．120 B．84 C．56 D．36 【答案】A 【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答. 【详解】由题意可知：， 故选：A 8．（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 9．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，直接求出的取值，即可求出结果. 【详解】当为偶数时，二项式系数最大项为第项， 又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得， 当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项， 由题有或，得到或， 故选：D. 10．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D. 【详解】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， ，当时，，故D项错误. 故选：C. 11．（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 二、多选题 12．（24-25高二下·甘肃白银·阶段练习）已知（，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式可求判断A；令，又，求解可判断B；令，计算可判断C；对原式求导，结合赋值法可求得的值判断D. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，令，得， 则含有的项为，所以，故A正确； 令，碍①， 而，所以，故B错误； 令，得②， （①-②）÷2得，故C正确； ， 令，得， 所以，故D正确， 故选：ACD． 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解求解AB,根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【分析】根据“杨辉三角”,结合组合数公式，二项式定理，组合数的性质，判断选项. 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 15．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为 . 【答案】 【分析】求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以第四项的系数为，第三项的二项式系数为， 故在的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为. 故答案为：. 16．（2025高二·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 ． 【答案】70 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，则，故常数项为． 故答案为：. 17．（24-25高二上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 【答案】0 【分析】根据二项式定理的逆用，可得答案. 【详解】． 故答案为：. 18．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】依题意可知， 的展开式通项为， 令，则，故的系数为. 故答案为：. 19．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解. 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案为： 20．（24-25高二下·重庆·阶段练习）若的展开式中的常数项为0，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的常数项,由常数项为0,求得. 【详解】的展开式的通项为, 当时,，的展开式有常数项, 当时,，的展开式有常数项， 所以，所以. 故答案为： 21．（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【答案】32 【分析】根据“第 行中从左至右第 11 个数与第 12个数的比为 ”可以列出关于 的等式, 进而可解得正整数 的值. 【详解】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为： 32 22．（24-25高二·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ． 【答案】/ 【分析】由二项式系数最大和系数最大的定义求解. 【详解】由题意得，通项， 当满足时，系数最大， ，即，解得 又 解得， 所以， 故． 故答案为： 四、解答题 23．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【详解】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 24．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 25．（24-25高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 26．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为. (1)求的值； (2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和求出，再由裂项相消法求和可得； （2）结合题意代换写出和式，再利用组合公式运算证明可得. 【详解】（1）由图1可知： 由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ， 故，同理， 故 ； （2）莱布尼茨三角的性质： 证明： . . 故结论正确. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$