（专项突破篇）第二单元·专项2 圆柱圆锥的关系、体积及容积-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(苏教版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项2 圆柱圆锥的关系、体积及容积 一、仔细想，认真填。 1．一个容积为240毫升的圆柱形容器里面盛有的水，如果把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里，那么水溢出( )毫升。 2．等底等高的圆柱和圆锥的体积和是64立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 3．如图，将直角三角形以直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米，如果以直角边为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是( )立方厘米。 4．一个长方体和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是48立方分米，长方体的体积是( )立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。 5．一根自来水管的内直径是2厘米，管内的水流速度是每秒8厘米。如果这根自来水管上的水龙头忘了关，那么5分钟会浪费( )升水。 6．在探究圆柱的体积计算公式时，是将一个圆柱转化成长方体得出的。如果将长方体翻转一下摆放（如图），翻转后长方体的底面积等于圆柱( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以圆柱的体积也可以用( )来计算。如果圆柱的侧面积是100平方厘米，底面半径是40厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 7．做一个底面直径是4分米，高是6分米的圆柱形无盖铁皮水桶，至少用铁皮( )平方分米；这个水桶最多能盛水( )升。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的4倍，体积也扩大到原来的4倍。( ) 9．一个圆柱的体积缩小为原来的，它就变成了圆锥。( ) 10．一个圆锥的体积可能大于一个圆柱的体积。( ) 11．底面积相等的圆柱与圆锥的体积比是3∶1。( ) 12．一个圆锥的底面积增加，高减少，那么体积就不会改变。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．将圆柱的底面积除以4，高乘2，它的体积就（    ）。 A．除以8 B．乘8 C．除以2 14．一个圆柱形木料，如果把它截成两个小圆柱，它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿直径切成两个半圆柱，它的表面积增加40平方厘米。这个圆柱形木料原来的体积是（    ）立方厘米。 A．86.28 B．31.4 C．69.08 D．62.8 15．一个长10分米，宽8分米的长方形铁片，把它围成一个圆桶，另加一个底形成圆柱形桶，这个桶的最大容积是（    ）立方分米。 A． B． C． 16．如果把体积相同的两个物体，分别浸没在高度相等的甲、乙两个圆柱形水杯中，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升5厘米，两杯水均无溢出。那么甲、乙两个水杯的容积比是（    ）。 A． B． C． D． 17．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是1∶2，它们高的比是2∶3，它们体积的比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 18．将一根体积为600立方厘米的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积是（    ）立方厘米。 A．500 B．100 C．700 D．400 19．一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，圆锥高h米，圆柱高（    ）米。 A．h B．3h C．h 四、计算小能手。 20．计算如图圆柱的表面积及圆锥的体积。 五、解决问题。 21．下图是一块长方形和两块圆形铁皮材料的示意图（单位：分米），用这些铁皮可以做成一个圆柱形汽油桶。用它装每升0.74千克的汽油，最多可以装多少千克？（π取3） 22．一个圆柱形水桶，从里面量，底面直径是，高是。这个水桶最多能装水多少千克（每升水重）？ 23．一个圆柱形油桶，底面内直径是40厘米，高是50厘米。它的容积是多少立方分米？如果1立方分米可装柴油0.85千克，这个油桶可装油多少千克（得数保留整千克数） 24．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 25．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AE＝EB＝CD＝5厘米，BC＝DE＝3厘米。以AB边为轴，将梯形ABCD旋转一周，旋转一周之后形成的物体的体积是多少？ 26．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 参考答案 1．40 分析：先用240×，求出圆柱形容器里有水的容积；再根据等底等高的圆锥的容积是圆柱的，用圆柱形容器的容积×，求出圆锥形容积的容积，再用圆柱形容器里面盛水的容积－圆锥形容器的容积，即可求出水溢出的容积。 详解：240×－240× ＝120－80 ＝40（毫升） 一个容积为240毫升的圆柱形容器里面盛有的水，如果把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里，那么水溢出40毫升。 2． 48 16 分析：根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，一共是（3＋1）份； 已知等底等高的圆柱和圆锥的体积和是64立方厘米，用它们的体积和除以份数和，求出一份数，即是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 详解：圆锥的体积： 64÷（3＋1） ＝64÷4 ＝16（立方厘米） 圆柱的体积： 16×3＝48（立方厘米） 圆柱的体积是48立方厘米，圆锥的体积是16立方厘米。 3． 37.68 50.24 分析：根据圆锥的特征可知，将直角三角形以直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；如果以直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （立方厘米） （立方厘米） 将直角三角形以直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。 4． 72 24 分析：长方体的体积长宽高，圆锥的体积底面积高，用字母表示出长方体的长宽高和圆锥底面圆半径，再用字母表示出长方体和圆锥的体积，根据题意：长方体的体积圆锥的体积，即可解答本题。 详解：设长方体的长为分米，宽为分米，高为分米，圆锥的底面半径为分米，高等于长方体的高分米，根据题意可知： 因为长方体的体积长宽高，圆锥的体积底面积高，根据题意可得： 所以：，即 所以（立方分米），即长方体的体积为72立方分米。 圆锥的体积：（立方分米） 长方体的体积是72立方分米，圆锥的体积是24立方分米。 5．7.536 分析：管内水流每秒钟流出来水的体积是一个圆柱体，直径为2厘米，高为8厘米，根据圆柱体积＝，可计算出每秒钟出水量。5分钟＝300秒，乘法计算得出答案，注意得到的单位是立方厘米，根据体积、容积单位换算公式：1立方分米＝1升＝1000立方厘米。 详解：5分钟浪费水： （立方厘米） ＝7.536立方分米 ＝7.536升 6． 侧面积的一半 底面半径 侧面积的一半×底面半径 2000 分析：根据题意得：长方体翻转后，底面积是圆柱侧面积的一半，此时高是圆柱半径，长方体体积＝底面积×高，可转换为圆柱的体积的得出答案。据此可代入数据计算得出答案。 详解：翻转后长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，长方体的高等于圆柱的底面半径，所以圆柱的体积也可用：侧面积的一半×底面半径来计算。如果圆柱侧面积100平方厘米，底面半径是40厘米，则体积为： （立方厘米） 7． 87.92 75.36 分析：根据“圆面积＝πr2”求出底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出侧面积，将底面积和侧面积相加，求出至少用铁皮多少平方分米； 圆柱容积＝底面积×高，据此求出这个水桶最多能盛水多少立方分米。1立方分米＝1升，再据此单位换算。 详解：4÷2＝2（分米） 3.14×22＋3.14×4×6 ＝3.14×4＋75.36 ＝12.56＋75.36 ＝87.92（平方分米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 所以，至少用铁皮87.92平方分米；这个水桶最多能盛水75.36升。 8．× 分析：圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝π×底面半径2，若底面半径扩大到原来的4倍，则圆柱的体积应扩大到42倍，据此判断即可。 详解：因为圆柱的体积＝π×底面半径2×高，若底面半径扩大到原来的4倍，高不变，则圆柱的体积应扩大到42＝16倍； 故答案为：× 点睛：解答此题的关键是明白：圆柱的高不变，圆柱的体积比就等于底面半径的平方的比。 9．× 分析：此题容易与等底等高的圆锥是圆柱体积的混淆，要理解体积缩小，形状可以还是不变的。 详解：将一个圆柱的体积缩小为原来的，体积缩小3倍，形状还是圆柱，变成缩小版的圆柱。不一定是圆锥。 故答案为：×。 点睛：此题不要因为等底等高的圆锥是圆柱体积的做题的习惯而忽略此题考查的目的。 10．√ 分析：圆柱的体积＝圆柱的底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，题目中没有说是等底等高的圆柱和圆锥，所以一个圆锥的体积可能大于一个圆柱的体积。 详解：一个圆锥的体积可能大于一个圆柱的体积，题目描述正确。 故答案为：√。 点睛：本题主要考查圆柱、圆锥的体积的关系，要注意圆柱和圆锥只有在等底等高的条件下才有3倍或的关系，因此解答此类题目时，一定不能忽视了“等底等高”这个条件。 11．× 分析：等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3∶1；底面面积相等，体积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的高的；高相等，体积相等的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍。据此填空即可。 详解：底面积相等、高也相等的圆柱与圆锥的体积比是3∶1。原题说法错误。 故答案为：× 12．× 分析：设原来圆锥的底面积为，高为。原来的体积是：，变化后圆锥的体积为，把和比较，发现，即可作出判断。 详解：设原来圆锥的底面积为，高为。 原来的体积是： 圆锥的底面积增加，高减少 那么变化后圆锥的底面积为（1＋）＝1.2，高为（1－）＝0.8。 则变化后圆锥的体积为： 因此，一个圆锥的底面积增加，高减少，那么体积就不会改变，这种说法是错误的。 故答案为：× 点睛：本题主要考查了圆锥的体积，解题的关键是掌握圆锥的体积公式。 13．C 分析：积的变化规律：如果一个因数乘或除以几（0除外），另一个因数不变，那么积也乘或除以相同的数；如果一个因数乘几（0除外），另一个因数除以相同的数，那么积不变。圆柱的体积＝底面积×高，则将圆柱的底面积除以4，高乘2，它的体积＝原来的体积÷4×2＝原来的体积÷2，据此解答。 详解：通过分析可得：将圆柱的底面积除以4，高乘2，它的体积就除以2。 故答案为：C 14．B 分析：如果把它截成两个小圆柱，它的表面积增加6.28平方厘米，则增加的表面积是2个圆柱木料的底面圆面积，底面积＝，可计算得出圆柱的底面半径；如果沿直径切成两个半圆柱，它的表面积增加40平方厘米，则增加的面积是2个长方形，2个长方形的宽为圆柱底面直径，长为圆柱的高，据此可计算出圆柱的高。再根据圆柱体积＝，计算得出答案。 详解：如果把它截成两个小圆柱，则增加2个底面积，则圆柱半径的平方为：（平方厘米），即圆柱半径为1厘米。如果沿直径切成两个半圆柱，则增加的面积是2个长方形，2个长方形的宽为圆柱底面直径，长为圆柱的高，则圆柱的高为： （厘米） 圆柱木料的体积为： （立方厘米） 故答案为：B 15．C 分析：根据题意，长方形铁片即为圆柱形桶的侧面，要使围成的圆柱体积最大，要以长边为底面周长，宽为圆柱的高。则桶的高是8分米，底面周长是10分米。再根据圆的周长＝圆周率×半径×2，可得半径＝圆的周长÷圆周率÷2，代入数据可求出圆柱的底面半径。再根据圆柱容积＝圆周率×半径²×高，代入数据即可求出桶的容积，据此对选项进行选择即可。 详解：圆柱形桶的底面半径为： 10÷π÷2 ＝× ＝（分米） 圆柱形桶的容积为： π×（）2×8 ＝π××8 ＝×8 ＝（立方分米） 所以这个桶的最大容积是立方分米。 故答案为：C 16．C 分析：由于这两个物体体积相同，甲杯水面上升3厘米，乙杯水面上升5厘米，设甲水杯的底面积（内）为，则乙水杯的底面积（内）为，再设甲、乙水杯高为。根据圆柱的体积计算公式“”，分别求出甲、乙两个水杯的容积，再根据比的意义，即可写出甲、乙两个水杯的容积，再化成最简整数比。 详解：解：设设甲水杯的底面积（内）为，则乙水杯的底面积（内）为，再设甲、乙水杯高为。 即甲、乙两个水杯的容积比是。 故答案为：C 点睛：解答此题的关键是根据题意弄清甲、乙两个水杯的底面积（内）之间的关系。 17．B 分析：根据圆柱和圆锥的底面半径的比和高的比，将圆柱底面半径看作1，高看作2，圆锥底面半径看作2，高看作3，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，两数相除又叫两个数的比，据此写出圆柱和圆锥的体积比，化简即可。 详解：（3.14×12×2）∶（3.14×22×3÷3） ＝（12×2）∶22 ＝（1×2）∶4 ＝2∶4 ＝（2÷2）∶（4÷2） ＝1∶2 它们体积的比是1∶2。 故答案为：B 18．D 分析：将大圆柱的体积除以2，求出大圆柱体积的一半。陀螺是由一个小圆柱和小圆锥组成的，并且小圆锥和小圆柱等底等高。小圆柱是大圆柱的一半。将小圆柱的体积乘，求出小圆锥的体积。将小圆柱和小圆锥的体积相加，即可求出陀螺的体积。 详解：600÷2×＋600÷2 ＝300×＋300 ＝100＋300 ＝400（立方厘米） 所以，陀螺的体积是400立方厘米。 故答案为：D 19．C 分析：等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆锥的高÷3＝圆柱的高，据此用字母表示出圆柱的高。 详解：h÷3＝h（米） 圆柱高h米。 故答案为：C 20．圆柱表面积：87.92平方厘米；圆锥体积：2立方厘米 分析：根据圆柱的表面积计算公式：圆柱的表面积＝圆柱的底面积×2＋圆柱的侧面积，圆锥体积的计算公式：圆锥的体积＝×圆锥的底面积×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×5 ＝3.14×22×2＋12.56×5 ＝3.14×4×2＋62.8 ＝12.56×2＋62.8 ＝25.12＋62.8 ＝87.92（平方厘米） ×2×3 ＝×3 ＝2（立方厘米） 圆柱的表面积是87.92平方厘米，圆锥的体积是2立方厘米。 21．555千克 分析：从图中可知：这个圆柱的底面半径是5分米，高是10分米，根据圆柱的体积（容积）：V＝sh＝πr2h，以及1升＝1立方分米，代入数据即可计算出圆柱形汽油桶的容积；再用0.74×容积即可求出有多少千克汽油。 详解：52×3×10 ＝25×3×10 ＝750（立方分米） 750立方分米＝750升 0.74×750＝555（千克） 答：最多可以装555千克的汽油。 22．282.6千克 分析：根据圆柱的体积公式，求得水桶的体积，即水桶的容，再乘每升水的 重量即满桶水的重量。 详解：底面半径：（分米） （千克） 答：这个水桶最多能装水282.6千克。 点睛：此题主要考查圆柱的体积公式，关键要先求出水的体积多少升，再乘每升水的重量。 23．（1）62.8立方分米；（2）53千克 分析：根据圆柱的容积(体积)公式: V=Sh,计算出容积; 求这个油桶可装柴油多少千克，用油桶的容积乘每升柴油的重量即可。 详解：油桶容积： （立方厘米） （立方分米） 62.8立方分米升 答：它的容积是62.8立方分米。 （千克） 答：这个油桶可装柴油53千克。 点睛：此题属于圆柱的表面积和体积(容积) 的实际应用，解答此题除了把问题转换为求圆柱的体积，运用公式计算外，还要注意单位的换算。 24．2499立方厘米 分析：已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 详解：解：设圆锥的高为厘米， 体积： （立方厘米） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 25．188.4立方厘米 分析：根据题意可知，当图形按AB边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥体和圆柱体的组合体，圆柱和圆锥底面半径为3厘米，圆柱高5为厘米，圆锥高为5厘米，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥体的体积是与其等底等高的圆柱体的体积的，求出圆柱的体积，再乘求出圆锥的体积，再加上圆柱的体积即为旋转一周之后形成的物体的体积。 详解：3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 141.3×＋141.3 ＝47.1＋141.3 ＝188.4（立方厘米） 答；旋转一周之后形成的物体的体积是188.4立方厘米。 点睛：考查了组合体的体积，解题的关键是分析出这个组合体是圆锥和圆柱的组合。 26．（1）立方米 （2）157吨 分析：（1）根据圆柱的体积（容积）公式，圆锥的体积（容积）公式，圆柱的容积加上圆锥的容积，即可算出这个粮仓的容积。 （2）粮仓的容积乘每立方粮食的重量，即可算出这个粮仓可以储粮食的重量，结果单位要换算为吨。 详解：（1） （立方米） 答：这个粮仓的容积是立方米。 （2）（千克） 157000千克＝157吨 答：这个粮仓可以储粮食157吨。 学科网（北京）股份有限公司 $$