（同步讲练篇）第二单元 （圆柱和圆锥组合体的表面积、体积及图形的切拼等·14大考点+13个易错点）-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册（苏教版）

2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第二单元 圆柱和圆锥 （圆柱和圆锥组合体的表面积、体积及图形的切拼等） 【考点1】组合体的表面积与体积 3 【考点2】切割后表面积与体积变化 5 【考点3】半圆围成圆锥的条件 7 【考点4】圆柱侧面展开图的斜剪形状 8 【考点5】熔铸问题中的体积守恒 11 【考点6】体积与底面积、高的比例关系 12 【考点7】水位变化问题 13 【考点8】嵌套问题中的表面积计算 15 【考点9】圆柱与圆锥的纵切特征 17 【考点10】圆柱与圆锥的拼接组合 19 【考点11】不规则组合体的分析 21 【考点12】熔铸问题中的体积守恒 23 【考点13】注水问题中的水位变化 24 【考点14】实际问题中的“进一法”与“去尾法” 26 积木城堡的秘密 "我的圆柱积木能堆得最高！" 壮壮摇晃着圆柱形木块。尖尖举着圆锥屋顶反驳："没有我，你的城堡会漏雨！" 建筑师爸爸提议："用相同材料建座塔，看谁的更稳固。" 壮壮堆了十层圆柱，可风一吹就倒塌；尖尖搭了三层圆锥，却被雨水冲垮了。 "试试组合结构？" 妈妈递来圆柱底座和圆锥顶。壮壮用圆柱打地基，尖尖把圆锥倒扣在顶部。当暴雨来袭时，圆锥形屋顶让雨水快速滑落，圆柱形塔身稳稳立在地面。 "原来圆柱的稳固和圆锥的排水是完美搭档！" 两人兴奋地拥抱。他们的积木城堡成了社区最坚固的模型，而尖尖的圆锥顶总在阳光下闪烁着智慧的光芒。 【考点1】组合体的表面积与体积 组合体体积为各部分体积之和，表面积需扣除重叠部分。 易错点1：组合体表面积的重复计算 错误：直接相加各部分表面积，忽略拼接处的重叠。 纠正：减去重叠面的2倍面积。 ： 求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 1．求体积。（单位：分米） 2．求下面各图形的体积。（单位：分米）        3．求体积。（单位：分米） 【考点2】切割后表面积与体积变化 圆柱沿直径竖直切割：增加2个长方形面积（长=高，宽=直径）。 拼接圆柱：每拼接一次减少2个底面积。 易错点2：切割后体积变化的误判 错误：认为切割后体积会增加。 纠正：体积保持不变。 易错点3：拼接后表面积的减少量计算错误 错误：两个圆柱拼接，误判减少1个底面积。 纠正：减少2个底面积。 ： 把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，求原来这根木料的体积。 1．如下图，把一根圆柱形木料对半锯开，求这根木料的表面积。（单位：分米） 2．一块正方体木料，棱长是4分米，把它加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方分米？ 3．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 【考点3】半圆围成圆锥的条件 半圆的弧长等于圆锥底面周长，解得。 易错点4：半圆围成圆锥的半径计算错误 错误：用半圆直径作为圆锥底面半径。 纠正：底面半径。 ： 小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形．请你在图中画出他的裁剪痕迹．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 1．把圆锥的侧面按如图所示的方式剪开，然后将它展开．想一想，它是一个什么图形？ 答案：扇形 2．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积． 3．如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问： （1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）； （2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？ 【考点4】圆柱侧面展开图的斜剪形状 斜剪可能得到平行四边形或不规则图形，仅沿高剪开为长方形。 易错点5：斜剪展开图的形状误判 错误：认为斜剪一定得到平行四边形。 纠正：形状取决于剪裁方向。 ： （1）许三多想在自己的可乐罐身侧面设计一些春节画的元素，但问题来了：在不平整的侧面做画有些困难，同时掌握不好侧面的大小。爸爸为了提示他，拿来一瓶可乐，用剪刀将包装纸沿着高的方向竖直剪了下来。许三多眼前一亮：包装纸的长是这个圆柱体的（    ），包装纸的宽是这个圆柱体的（    ）。他量出这个包装纸的宽为10厘米，瓶身半径为5厘米，则剪下包装纸展开后的长为（    ）厘米。 （2）爱动脑筋的许三多，在爸爸的提示下，思考着：我可不可以“斜”着剪呢？同学们可以试一试，交流一下，你发现了什么？ 1．在学习圆柱和圆锥这一单元时，李老师带来大小完全相同的圆柱若干。       图一                          图二 （1）探究圆柱的表面积时，一组和二组采用不同的方法进行探究。一组将圆柱的侧面斜着剪开后得到一个平行四边形（如图一），二组则将圆柱的侧面沿着它的一条高展开得到一个长方形（如图二）。以上两个小组剪法不同，得到圆柱侧面展开后的图形不同，这两个小组都能推导出圆柱的侧面积公式吗？请说明理由。 （2）请计算其中一个圆柱的表面积。 （3）如图，一张长方形铁皮按如下方式剪拼成一个圆柱，求这个圆柱的体积。（单位：厘米） 2．小勇把饮料罐上的商标纸沿虚线剪开，展开后得到一个平行四边形（如图），这个圆柱体饮料罐的体积是多少？ 3．一个圆柱的底面直径是2分米，将侧面沿高展开后正好是一个正方形。这个圆柱的侧面积是多少平方分米？表面积是多少平方分米？ 【考点5】熔铸问题中的体积守恒 圆柱熔铸成圆锥后，体积不变，底面积或高需重新计算。 易错点6：等积变形中忽略形状差异 错误：熔铸后直接套用原形状的公式。 纠正：根据新形状的公式反推参数。 ： 把一个底面半径是6厘米，高比底面半径多的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是圆柱底面半径的的圆锥形铁块，熔铸成的圆锥形铁块的高是多少厘米？ 1．将一个底面直径6分米，高5分米的圆柱熔铸成底面半径2分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 2．将一个棱长6分米的正方体钢材熔铸成底面半径为3分米的圆柱体，这个圆柱有多长？ 3．一个圆锥形的铅块，底面半径和高都是12厘米，把它熔铸成等底等高的圆柱，圆柱的底面积是多少？ 【考点6】体积与底面积、高的比例关系 等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍。 易错点7：比例关系中的乘法与除法混淆 错误：误判圆锥的高是圆柱的1/3。 纠正：由公式推导得。 ： 有甲、乙两个圆柱容器（如图）。先把甲容器中的水全部倒入乙容器。乙容器中水深多少？（用比例解答）（图中数据是从容器内部测量得到的，单位：cm。） 1．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求。 2．两个底面积相等的圆柱，一个高为，体积为．另一个高为，它的体积是多少立方分米？（用比例解） 3．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 【考点7】水位变化问题 水位上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 易错点8：水位变化问题的公式误用 错误：将圆锥体积直接作为水位上升高度。 纠正：需通过容器底面积计算。 ： 一个圆锥的底面半径和高都是6厘米，把它浸入一个水槽的水中（如图），量得水位上升了3厘米，再把一个圆柱浸没水中，水面又上升2厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 1．圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它浸入一个水槽内的水中，量得水位上升了4厘米。再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸入水中，水位又上升了3厘米。求圆锥的高。 2．用一个长10cm、宽5cm、高20cm的长方体与一个底面积是60cm2，高20cm的圆柱测量一个马铃薯的体积．已知这两个容器中都现有水10cm高，把马铃薯放在圆柱体容器中水位升高2cm，那么把马铃薯放在长方体容器中水位会上升多高？ 3．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 【考点8】嵌套问题中的表面积计算 仅计算暴露在外的表面积，扣除接触部分。 易错点9：嵌套问题中忽略实际接触面积 错误：重复计算接触部分的表面积。 纠正：接触部分不重复计算。 ： 为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 1．“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 2．只列综合算式或方程，不计算。 一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 3．将高都是1米，底面半径分别是1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个立体图形（如下图），这个立体图形的表面积是多少平方米？ 【考点9】圆柱与圆锥的纵切特征 圆柱纵切：沿直径竖直切割后，切面为长方形，表面积增加。 圆锥纵切：过顶点和底面直径切割后，切面为等腰三角形，表面积增加。 易错点10：纵切后表面积的计算错误 错误：圆柱纵切后仅增加1个长方形面积。 纠正：需增加2个长方形面积。 易错点11：圆锥纵切后的体积误判 错误：认为纵切后体积减少。 纠正：切割不改变体积。 ： 将下面的圆柱切成3段，切完后这个圆柱的表面积增加了多少平方厘米？ 1．把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 2．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 3．如图，圆柱形木料的上方挖空了一个圆锥形，求剩余木料的体积。 【考点10】圆柱与圆锥的拼接组合 体积计算：组合体体积为各部分体积之和。 表面积计算：需扣除拼接处的重叠面积。 易错点12：组合体表面积的重复计算 错误：直接相加各部分表面积，忽略重叠。 纠正：减去重叠面的2倍面积。 ： 一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？ 1．如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 （1）已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ （2）如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 2．一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 3．哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡、门组合而成。如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 【考点11】不规则组合体的分析 方法：分解为规则图形，分别计算后整合。 ： 某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 1．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 2．一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加25.12平方厘米，原来这个物体的体积是多少立方厘米？（只列综合算式或方程，不计算。） 3．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 【考点12】熔铸问题中的体积守恒 示例：将圆柱熔铸成圆锥，体积相等，需重新计算圆锥的高或底面积。 易错点13：熔铸后形状差异的忽略 错误：直接套用原形状的高或底面积。 纠正：代入新形状公式求解。 ： 把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12分米的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？ 1．把一块长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方形铁块熔铸成底面积为600平方厘米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 2．把一根底面直径为20dm，高为2dm的圆柱形铜材，熔铸成一个底面直径为10dm的圆锥，熔铸成的圆锥的高是多少dm？ 3．把一个底面直径为8分米，高3分米的圆柱形钢材，熔成一个直径为12分米的圆锥形，能熔多高？ 【考点13】注水问题中的水位变化 公式：水位上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 ： 一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，内盛18厘米高的水，将一个底面半径为2厘米，高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，水面上升多少厘米？ 1．如图所示是一个由圆柱和圆锥组成的容器，圆柱高是10厘米，圆锥的高是6厘米，容器里的水深6厘米，将这个容器倒过来如右图放置时，圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？请先算一算，并在右图中画出水深的情况。 2．林叔叔是环保卫士，他为树林中的小鸟们修建了一个露天饮水器，即圆柱形的蓄水池，从蓄水池里面量得底面直径是20分米，高是5分米。在水池的内部四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方分米？ 3．张阿姨家鱼缸内的假山体积是4立方分米，水深3分米。张阿姨准备换去鱼缸内的水，就用圆柱形的水桶来装鱼缸内排出的水。你帮张阿姨算一算，当鱼缸内的水排完时，桶内水的深度是多少？（桶内底面积为8平方分米，高为5分米） 【考点14】实际问题中的“进一法”与“去尾法” 情境：材料不足时用“进一法”，装液体时用“去尾法”。 ： 一台饮水机上的水桶，圆柱部分的高是4分米。（壁厚忽略不计） （1）圆柱部分能装多少升水？ （2）张涛家饮用一天水，水面下降8厘米。这一天饮用了多少升水？（得数保留一位小数） 1．如图，一个粮仓的主体部分是近似的圆柱，顶部是近似的圆锥，高如图所示，量得底面内部周长是18.84米。 （1）这个粮仓的空间有多大？ （2）将这个粮仓装满稻谷，如果每立方米稻谷大约重0.6吨，用一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 2．建筑工地有一个近似圆锥体的沙堆，底面周长是25.12米，高是1.5米，每立方米沙重2.5吨，这堆沙大约重多少吨？一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 3．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第二单元 圆柱和圆锥 （圆柱和圆锥组合体的表面积、体积及图形的切拼等） 【考点1】组合体的表面积与体积 3 【考点2】切割后表面积与体积变化 6 【考点3】半圆围成圆锥的条件 9 【考点4】圆柱侧面展开图的斜剪形状 11 【考点5】熔铸问题中的体积守恒 15 【考点6】体积与底面积、高的比例关系 18 【考点7】水位变化问题 20 【考点8】嵌套问题中的表面积计算 23 【考点9】圆柱与圆锥的纵切特征 25 【考点10】圆柱与圆锥的拼接组合 28 【考点11】不规则组合体的分析 32 【考点12】熔铸问题中的体积守恒 35 【考点13】注水问题中的水位变化 37 【考点14】实际问题中的“进一法”与“去尾法” 40 积木城堡的秘密 "我的圆柱积木能堆得最高！" 壮壮摇晃着圆柱形木块。尖尖举着圆锥屋顶反驳："没有我，你的城堡会漏雨！" 建筑师爸爸提议："用相同材料建座塔，看谁的更稳固。" 壮壮堆了十层圆柱，可风一吹就倒塌；尖尖搭了三层圆锥，却被雨水冲垮了。 "试试组合结构？" 妈妈递来圆柱底座和圆锥顶。壮壮用圆柱打地基，尖尖把圆锥倒扣在顶部。当暴雨来袭时，圆锥形屋顶让雨水快速滑落，圆柱形塔身稳稳立在地面。 "原来圆柱的稳固和圆锥的排水是完美搭档！" 两人兴奋地拥抱。他们的积木城堡成了社区最坚固的模型，而尖尖的圆锥顶总在阳光下闪烁着智慧的光芒。 【考点1】组合体的表面积与体积 组合体体积为各部分体积之和，表面积需扣除重叠部分。 易错点1：组合体表面积的重复计算 错误：直接相加各部分表面积，忽略拼接处的重叠。 纠正：减去重叠面的2倍面积。 ： 求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 答案：​135.275平方厘米；175.84立方厘米 分析：半圆柱的表面积＝一个底面的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积，右图组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积。据此解答即可。 详解：3.14×（5÷2）2＋3.14×5×9÷2＋9×5 ＝3.14×2.52＋15.7×9÷2＋45 ＝3.14×6.25＋141.3÷2＋45 ＝19.625＋70.65＋45 ＝90.275＋45 ＝135.275（平方厘米） 3.14×（4÷2）2×123.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×123.14×22×6 ＝3.14×4×123.14×4×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝150.72＋12.56×2 ＝150.72＋25.12 ＝175.84（立方厘米） 左图的表面积是135.275平方厘米，右图的体积是175.84立方厘米。 1．求体积。（单位：分米） 答案：4019.2立方分米；100.48立方分米 分析：第一个：是一个大圆柱减去一个小圆柱，根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解； 第二个：一个圆柱和一个圆锥组成，根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入公式即可求解。 详解：第一个：3.14×（10÷2）2×80－3.14×（6÷2）2×80 ＝3.14×25×80－3.14×9×80 ＝6280－2260.8 ＝4019.2（立方分米） 第二个：3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方分米） 2．求下面各图形的体积。（单位：分米）        答案：左图体积：89.12立方分米 右图体积：立方分米 分析：左图是正方体和圆柱体的组合；右图是圆柱和圆锥体的组合。 利用正方体体积：、圆柱的体积：、圆锥的体积：，将数值代入计算，再根据组合相加即可。 详解：（分米） ＝ ＝ ＝89.12（立方分米 ） 左图的体积是89.12立分米。 （分米 ） ＝423.9＋56.52 ＝480.42（立方分米） 右图的体积是480.42立方分米。 3．求体积。（单位：分米） 答案：75.36立方分米 分析：由图可知，此图形是由一个底面直径是4分米、高是6分米的圆柱和一个底面半径是4分米、高是3分米的圆锥组成的图形，根据圆柱的体积＝和圆锥的体积＝，把数据代入公式即可求解。 详解：3.14××5＋ ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个图形的体积是75.36立方分米。 【考点2】切割后表面积与体积变化 圆柱沿直径竖直切割：增加2个长方形面积（长=高，宽=直径）。 拼接圆柱：每拼接一次减少2个底面积。 易错点2：切割后体积变化的误判 错误：认为切割后体积会增加。 纠正：体积保持不变。 易错点3：拼接后表面积的减少量计算错误 错误：两个圆柱拼接，误判减少1个底面积。 纠正：减少2个底面积。 ： 把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，求原来这根木料的体积。 答案：1507.2立方分米 分析：根据题意，把一根6米长的圆柱形木料横截成两段小圆柱，表面积增加了50.24平方分米，那么增加的表面积是圆柱的2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来这根木料的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 详解：6米＝60分米 50.24÷2＝25.12（平方分米） 25.12×60＝1507.2（立方分米） 答：原来这根木料的体积是1507.2立方分米。 1．如下图，把一根圆柱形木料对半锯开，求这根木料的表面积。（单位：分米） 答案：182.46平方分米 分析：由图形可知，这是一个半圆柱，它的表面积是两个底面（半圆）的面积加上侧面积的加上以高为长、底面直径为宽的长方形的面积；据此解答。 详解：3.14×（6÷2）2＋3.14×6×10÷2＋10×6 ＝3.14×32＋18.84×10÷2＋60 ＝3.14×9＋188.4÷2＋60 ＝28.26＋94.2＋60 ＝122.46＋60 ＝182.46（平方分米） 答：这根木料的表面积182.46平方分米。 2．一块正方体木料，棱长是4分米，把它加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方分米？ 答案：50.24立方分米 分析：根据正方体的特征、圆柱的特征可知，把一块正方体木料削成一个最大的圆柱，也就是削成的圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （立方分米） 答：这个圆柱的体积是50.24立方分米。 3．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 答案：25.12立方厘米 分析：把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 详解：24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 【考点3】半圆围成圆锥的条件 半圆的弧长等于圆锥底面周长，解得。 易错点4：半圆围成圆锥的半径计算错误 错误：用半圆直径作为圆锥底面半径。 纠正：底面半径。 ： 小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为1：2的两个扇形．请你在图中画出他的裁剪痕迹．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 答案： 详解：先作出直径AB的垂直平分线，找到圆心O，进而以点B为圆心，以圆的半径为半径画弧，交圆于一点C，作直线OC即为裁剪的直线． 1．把圆锥的侧面按如图所示的方式剪开，然后将它展开．想一想，它是一个什么图形？ 答案：扇形 2．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积． 答案：300π，400π 详解：试题分析：根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线长，进而求得侧面积． 解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr=20π， 所以r=10； =20π， 所以底面面积=100π，R=30，侧面面积=300π， 所以全面积=300π+100π=400π． 点评：本题利用了圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 3．如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问： （1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）； （2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？ 答案：（1）B′C即为最短路线．（2）线段B′D即为最短路线．解答作图如下： 分析：（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”线段B′C即为最短路线．（2）根据“垂线段最短”，在圆锥的侧面展开图中，从点B′向AC所在的直线作垂线，垂线段B′D即为最短路线。 详解：解答作图如下： 点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，运用弧长公式即可求出扇形的圆心角。 【考点4】圆柱侧面展开图的斜剪形状 斜剪可能得到平行四边形或不规则图形，仅沿高剪开为长方形。 易错点5：斜剪展开图的形状误判 错误：认为斜剪一定得到平行四边形。 纠正：形状取决于剪裁方向。 ： （1）许三多想在自己的可乐罐身侧面设计一些春节画的元素，但问题来了：在不平整的侧面做画有些困难，同时掌握不好侧面的大小。爸爸为了提示他，拿来一瓶可乐，用剪刀将包装纸沿着高的方向竖直剪了下来。许三多眼前一亮：包装纸的长是这个圆柱体的（    ），包装纸的宽是这个圆柱体的（    ）。他量出这个包装纸的宽为10厘米，瓶身半径为5厘米，则剪下包装纸展开后的长为（    ）厘米。 （2）爱动脑筋的许三多，在爸爸的提示下，思考着：我可不可以“斜”着剪呢？同学们可以试一试，交流一下，你发现了什么？ 答案：（1）底面周长；高；31.4； （2）将圆柱“斜”着剪开后，得到的图形是平行四边形，圆柱的底面周长等于平行四边形的底，圆柱的高与平行四边形的高相等。 分析：（1）根据题意可知，沿着高的方向竖直剪开圆柱体，包装纸的长与圆柱底面周长相等，包装纸的宽与圆柱的高相等；根据圆的周长公式：进行解答即可； （2）根据观察图形后可知，将圆柱“斜”着剪开后，得到的图形是平行四边形。 详解：（1）通过分析可知，一瓶可乐用剪刀将包装纸沿着高的方向竖直剪开，得到的包装纸是长方形，长是这个圆柱体的底面周长，包装纸的宽是这个圆柱体的高。 3.14×2×5 ＝6.28×5 ＝31.4（厘米） （2）通过分析可知，将圆柱“斜”着剪开后，得到的图形是平行四边形，圆柱的底面周长等于平行四边形的底，圆柱的高与平行四边形的高相等。 点睛：此题主要考查学生对圆柱侧面展开图的理解与灵活应用，需要认识到“竖剪”和“斜剪”的侧面展开图的不同点。 1．在学习圆柱和圆锥这一单元时，李老师带来大小完全相同的圆柱若干。       图一                          图二 （1）探究圆柱的表面积时，一组和二组采用不同的方法进行探究。一组将圆柱的侧面斜着剪开后得到一个平行四边形（如图一），二组则将圆柱的侧面沿着它的一条高展开得到一个长方形（如图二）。以上两个小组剪法不同，得到圆柱侧面展开后的图形不同，这两个小组都能推导出圆柱的侧面积公式吗？请说明理由。 （2）请计算其中一个圆柱的表面积。 （3）如图，一张长方形铁皮按如下方式剪拼成一个圆柱，求这个圆柱的体积。（单位：厘米） 答案：（1）都能；理由见详解 （2）351.68平方厘米 （3）100.48立方厘米 分析：（1）无论是将圆柱的侧面斜着剪开后得到一个平行四边形，还是将圆柱的侧面沿着它的一条高展开得到一个长方形，得到的平行四边形和长方形面积都是圆柱侧面积，平行四边形面积＝底×高，长方形面积＝长×宽，据此分析平行四边形底和高，长方形长和宽，与圆柱底面周长和高的关系，即可得出圆柱侧面积公式。 （2）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，据此先求出底面半径，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，列式解答即可。 （3）看图可知，长方形铁皮的长＝圆柱底面周长＋底面直径，长方形铁皮的宽＝圆柱的高＝底面直径×2，设底面直径d厘米，根据圆周率×底面直径＋直径＝长方形铁皮的长，列出方程求出d的值，即直径，根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 详解：（1）这两个小组都能推导出圆柱的侧面积公式。 图一：平行四边形面积＝圆柱侧面积，平行四边形的底＝圆柱底面周长，平行四边形的高＝圆柱的高，因为平行四边形面积＝底×高，所以圆柱侧面积＝底面周长×高； 图二：长方形面积＝圆柱侧面积，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，因为长方形面积＝长×宽，所以圆柱侧面积＝底面周长×高。 （2）25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42×2＋25.12×10 ＝3.14×16×2＋251.2 ＝100.48＋251.2 ＝351.68（平方厘米） 答：其中一个圆柱的表面积是351.68平方厘米。 （3）解：设底面直径d厘米。 3.14×d＋d＝16.56 4.14d＝16.56 4.14d÷4.14＝16.56÷4.14 d＝4 4×2＝8（厘米） 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是100.48立方厘米。 2．小勇把饮料罐上的商标纸沿虚线剪开，展开后得到一个平行四边形（如图），这个圆柱体饮料罐的体积是多少？ 答案：1570立方厘米 分析：根据题意可知，平行四边形的底就是圆柱体饮料罐的底面周长，平行四边形的高就是圆柱体饮料罐的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（31.4÷3.14÷2）2×20 ＝3.14×（10÷2）2×20 ＝3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆柱体饮料罐的体积是1570立方厘米。 3．一个圆柱的底面直径是2分米，将侧面沿高展开后正好是一个正方形。这个圆柱的侧面积是多少平方分米？表面积是多少平方分米？ 答案：39.4384平方分米；45.7184平方分米 分析：侧面展开是正方形，说明底面周长＝高，利用圆的周长＝求得这个圆柱的高和底面周长，然后再根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求得侧面积，最后再根据圆的面积＝求出两个底面圆的面积，把圆柱的侧面积和两个底面圆的面积加起来，就是这个圆柱的表面积，据此解答即可。 详解：3.14×2＝6.28（分米） 6.28×6.28＝39.4384（平方分米） 2÷2＝1（分米） 3.14××2 ＝3.14×2 ＝6.28（平方分米） 39.4384＋6.28＝45.7184（平方分米） 答：这个圆柱的侧面积是39.4384平方分米？表面积是45.7184平方分米。 【考点5】熔铸问题中的体积守恒 圆柱熔铸成圆锥后，体积不变，底面积或高需重新计算。 易错点6：等积变形中忽略形状差异 错误：熔铸后直接套用原形状的公式。 纠正：根据新形状的公式反推参数。 ： 把一个底面半径是6厘米，高比底面半径多的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是圆柱底面半径的的圆锥形铁块，熔铸成的圆锥形铁块的高是多少厘米？ 答案：54厘米 分析：把底面半径看作单位“1”，高是半径的（1＋），用半径×（1＋），求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积；圆柱铸成圆锥，圆柱的体积等于圆锥的体积；把圆柱的半径看作单位“1”，用圆柱的半径×，代入数据，求出圆锥的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。 详解：3.14×62×[6×（1＋）] ＝3.14×36×[6×] ＝113.04×8 ＝904.32（立方厘米） 6×＝4（厘米） 904.32÷（3.14×42）÷ ＝904.32÷（3.14×16）÷ ＝904.32÷50.24÷ ＝18×3 ＝54（厘米） 答：熔铸成的圆锥形铁块的高是54厘米。 点睛：解答本题的关键明确圆柱形铁块熔铸圆锥形铁块，体积不变。 1．将一个底面直径6分米，高5分米的圆柱熔铸成底面半径2分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 答案：33.75分米 分析：根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。由于熔铸前后体积不变，带入圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出高即可。 详解：3.14×（6÷2）2×5÷（×3.14×22） ＝3.14×9×5×3÷3.14÷4 ＝135÷4 ＝33.75（分米） 答：这个圆锥的高是33.75分米。 点睛：本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的应用，解题的关键是理解熔铸前后体积不变。 2．将一个棱长6分米的正方体钢材熔铸成底面半径为3分米的圆柱体，这个圆柱有多长？ 答案：7.64分米 分析：首先根据正方体的体积公式：v＝a3，求出体积；由题意可知，形状改变但体积没有发生变化；由圆柱的地面半径算出圆柱的底面积，根据圆柱的体积公式：v＝sh，用体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高（长）。 详解：正方体钢材的体积：6×6×6＝216（立方分米） 圆柱的底面积：3.14×32＝28.26（平方分米） 圆柱的长：216÷28.26≈7.64（分米） 答：这个圆柱大约7.64分米长。 点睛：此题解答关键是明确：把正方体熔铸成圆柱，只是形状改变了，体积不变。 3．一个圆锥形的铅块，底面半径和高都是12厘米，把它熔铸成等底等高的圆柱，圆柱的底面积是多少？ 答案：150.72平方厘米 分析：一个圆锥形的铅块，底面半径和高都是12厘米，把它熔铸成等底等高的圆柱，体积不变，先求出这个圆锥的体积，列式为× 3.14×12²×12=1808.64立方厘米，再求出圆柱的底面积是多少，列式为1808.64÷12=150.72平方厘米． 详解：× 3.14×12²×12 =×3.14×144×12 =1808.64（立方厘米） 1808.64÷12=150.72（平方厘米） 答：这个圆柱的底面积是150.72平方厘米． 【考点6】体积与底面积、高的比例关系 等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍。 易错点7：比例关系中的乘法与除法混淆 错误：误判圆锥的高是圆柱的1/3。 纠正：由公式推导得。 ： 有甲、乙两个圆柱容器（如图）。先把甲容器中的水全部倒入乙容器。乙容器中水深多少？（用比例解答）（图中数据是从容器内部测量得到的，单位：cm。） 答案：5厘米 分析：把甲容器中的水全部倒入乙容器，那么前后水的体积是不变的，水的体积等于圆柱的底面积乘水面的高度，圆柱的底面积＝。 详解：解：设乙容器水深厘米 答：乙容器中水深5厘米。 点睛：考查圆柱体积的相关知识，要知道水的体积前后是一样的，水的体积就是圆柱的底面积乘水面的高度。 1．把长为1.2米长的圆柱形钢材按的比例截成三段底面都相同的小圆柱，所得三段小圆柱的表面积之和比原来增加了56平方厘米，设这三段小圆柱钢中，最长一段小圆柱的体积为立方厘米，最短一段小圆柱的体积为立方厘米，求。 答案：560立方厘米 分析：将原来的圆柱形截成三个相同的小圆柱，则增加了4个底面的面积为56平方厘米，则圆柱的底面积为14平方厘米。再根据圆柱形钢材按1∶2∶3的比例截成三段，得出最长的一段占总体积的，最短的一段占总体积的，根据圆柱的体积＝底面积×高得出圆柱的体积，进而求出最长的一段的体积与最短的一段的体积，再据最长的一段体积与最短的一段体积，即可求出最长的一段与最短的一段的体积，进而相减即可得解。 详解：56÷4＝14（平方厘米） 1.2米＝120厘米 120×14＝1680（立方厘米） 1680×＝1680×＝840（立方厘米） 1680×＝1680×＝280（立方厘米） 840－280＝560（立方厘米） 答：这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多560立方厘米，即x－y的值是560立方厘米。 2．两个底面积相等的圆柱，一个高为，体积为．另一个高为，它的体积是多少立方分米？（用比例解） 答案：30立方分米 详解：解：设它的体积是x立方分米 20:6=x：9 解得，x=30 答：它的体积是30立方分米． 3．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 答案：90立方分米 分析：设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 详解：解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 【考点7】水位变化问题 水位上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 易错点8：水位变化问题的公式误用 错误：将圆锥体积直接作为水位上升高度。 纠正：需通过容器底面积计算。 ： 一个圆锥的底面半径和高都是6厘米，把它浸入一个水槽的水中（如图），量得水位上升了3厘米，再把一个圆柱浸没水中，水面又上升2厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 答案：150.72立方厘米 分析：根据题意可知，水面上升3厘米的体积就是圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，再用圆锥的体积÷3，求出水槽的底面积；水面上升2厘米部分的体积，就是圆柱的体积；再用水槽的底面积×水面上升的高度，即可求出圆柱的体积。 详解：3.14×62×6×÷3 ＝3.14×36×6×÷3 ＝113.04×6×÷3 ＝678.24×÷3 ＝226.08÷3 ＝75.36（平方厘米） 75.36×2＝150.72（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是150.72立方厘米。 1．圆柱的底面半径和高都是2厘米，把它浸入一个水槽内的水中，量得水位上升了4厘米。再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸入水中，水位又上升了3厘米。求圆锥的高。 答案：2厘米 分析：已知圆柱的底面半径和高，先应用圆柱的体积计算公式计算出放入水中的圆柱的体积；根据“容器的底面积×水面上升的高度＝放入的物体的体积”，再用“圆柱的体积÷4”求出水槽的底面积；然后用“水槽的底面积×3”求出放入的圆锥的体积；最后根据圆锥的体积，用“圆锥的体积÷÷底面积”求出圆锥的高。 详解：圆柱的体积：3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（立方厘米） 水槽的底面积：25.12÷4＝6.28（平方厘米） 圆锥的体积：6.28×3＝18.84（立方厘米） 圆锥的高：18.84÷÷[3.14×（6÷2）2] ＝18.84×3÷[3.14×32] ＝56.52÷[3.14×9] ＝56.52÷28.26 ＝2（厘米） 答：圆锥的高是2厘米。 点睛：解决此题时，应明确水槽中水面升高的那段水柱的体积就是全部浸入水中的物体的体积。 2．用一个长10cm、宽5cm、高20cm的长方体与一个底面积是60cm2，高20cm的圆柱测量一个马铃薯的体积．已知这两个容器中都现有水10cm高，把马铃薯放在圆柱体容器中水位升高2cm，那么把马铃薯放在长方体容器中水位会上升多高？ 答案：2.4厘米 分析：根据题意，先由圆柱形容器中放入马铃薯水位升高2cm，圆柱的底面积是60平方厘米，马铃薯的体积就等于它排开的水的体积，根据圆柱的体积公式v＝sh，计算出马铃薯的体积，用马铃薯的体积再除以长方体容器的底面积，就是把马铃薯放在长方体容器中水位会上升的高度；由此列式解答。 详解：60×2÷（10×5） ＝120÷50 ＝2.4（厘米）； 答：把马铃薯放在长方体容器中水位会上升2.4厘米。 点睛：此题主要考查不规则物体的体积的计算方法，把不规则物体放在长方体或圆柱体的容器中，水再容器中上升或下降的体积就等于这个不规则物体的体积；此题根据圆柱的体积计算方法和长方体的体积计算方法进行解决问题。 3．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 答案：6分米 分析：把容器的高度看作单位“1”，根据容器里装有的水，可知此时水的高度是（8×）分米。圆锥放入其中〈全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，说明容器内水面上升了（8－8×）分米。由此利用圆柱的体积公式先求出容器中上升部分的水的体积，即得出圆锥的体积，再利用圆锥的高＝3×体积÷圆锥的底面积，即可解决问题。 详解：8－8× ＝8－6 ＝2（分米） 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷（3.14×4） ＝75.36÷12.56 ＝6（分米） 答：这个圆锥的高是6分米。 【考点8】嵌套问题中的表面积计算 仅计算暴露在外的表面积，扣除接触部分。 易错点9：嵌套问题中忽略实际接触面积 错误：重复计算接触部分的表面积。 纠正：接触部分不重复计算。 ： 为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 答案：4082平方厘米 分析：帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 详解：20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 点睛：本题关键是求出大圆的半径，明确帽檐的面积与帽顶的面积和等于大圆的面积。 1．“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 答案：1402.4平方厘米 分析：根据题意，这种“博士帽”的上面是正方形，下面是无盖无底的圆柱，所以制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S＝πdh，代入数据计算，求出制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积。 详解：3.14×16×10＋30×30 ＝50.24×10＋900 ＝502.4＋900 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作这样的一顶“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 2．只列综合算式或方程，不计算。 一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 答案：3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 分析：涂色部分等于底面半径是8厘米，高是10厘米的圆柱的表面积加上底面半径是4厘米，高是10厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 详解：3.14×82×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 ＝3.14×64×2＋25.12×2×10＋12.56×2×10 ＝401.92＋502.4＋251.2 ＝1155.52（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1155.52平方厘米。 3．将高都是1米，底面半径分别是1.5米，1米和0.5米的三个圆柱组成一个立体图形（如下图），这个立体图形的表面积是多少平方米？ 答案：32.97平方米 分析：根据题意得：立体图形由三个圆柱叠加组成，立体图形表面积＝三个圆柱的侧面积之和＋最下面圆柱的底面积×2，根据圆柱侧面积＝，底面积＝。据此计算可得出答案。 详解：最下面的圆柱侧面积为：3.14×1.5×2×1＝9.42（平方米） 中间的圆柱侧面积为：3.14×1×2×1＝6.28（平方米） 最上面的圆柱侧面积为：3.14×0.5×2×1＝3.14（平方米） 侧面积之和为：9.42＋6.28＋3.14＝18.84（平方米） 最下面圆柱的2个底面积为：3.14×1.52×2＝14.13（平方米） 则立体图形表面积为：18.84＋14.13＝32.97（平方米） 答：这个立体图形的表面积是32.97平方米。 【考点9】圆柱与圆锥的纵切特征 圆柱纵切：沿直径竖直切割后，切面为长方形，表面积增加。 圆锥纵切：过顶点和底面直径切割后，切面为等腰三角形，表面积增加。 易错点10：纵切后表面积的计算错误 错误：圆柱纵切后仅增加1个长方形面积。 纠正：需增加2个长方形面积。 易错点11：圆锥纵切后的体积误判 错误：认为纵切后体积减少。 纠正：切割不改变体积。 ： 将下面的圆柱切成3段，切完后这个圆柱的表面积增加了多少平方厘米？ 答案：50.24平方厘米 分析：由图可知，将这个圆柱切成3段，表面积增加了4个底面圆的面积。已知这个圆柱底面直径为4厘米，则半径为（4÷2）厘米，代入圆柱的底面积S＝πr2可求出一个底面圆的面积，再乘4即可求出切完后这个圆柱的表面积增加了多少平方厘米。 详解：3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 答：切完后这个圆柱的表面积增加了50.24平方厘米。 1．把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 答案：6厘米；8厘米 分析：长方体削成最大的圆柱有三种情况： 圆柱的底面直径是12厘米，高为8厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为16厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为12厘米； 根据圆柱的体积分别计算出三种情况下的圆柱的体积，再比较体积大小选出即可。 详解：12÷2＝6（厘米） ＝π×36×8 ＝288π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×16 ＝256π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×12 ＝192π（立方厘米） ＞＞ 所以当圆柱底面直径是12厘米，高为8厘米时，圆柱的体积最大。 答：这个圆柱的底面半径是6厘米，高是8厘米。 2．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 答案：等腰三角形；12平方厘米 分析：当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两部分时，增加2个等腰三角形的面，等腰三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。 三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据进行解答。 详解：12.56÷3.14＝4（厘米） 4×6÷2＝12（平方厘米） 答：切面是等腰三角形，每个切面的面积是12平方厘米。 3．如图，圆柱形木料的上方挖空了一个圆锥形，求剩余木料的体积。 答案：942立方厘米 分析：剩余木料的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式解答。 详解：3.14×62×（5＋5）－×3.14×62×5 ＝3.14×36×10－×3.14×36×5 ＝1130.4－188.4 ＝942（立方厘米） 答：剩余木料的体积是942立方厘米。 【考点10】圆柱与圆锥的拼接组合 体积计算：组合体体积为各部分体积之和。 表面积计算：需扣除拼接处的重叠面积。 易错点12：组合体表面积的重复计算 错误：直接相加各部分表面积，忽略重叠。 纠正：减去重叠面的2倍面积。 ： 一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？ 答案：3736.6千克 分析：从图中可知，粮仓的上面是圆锥、下面是圆柱；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱、圆锥的容积，再相加，即是这个粮仓的容积；然后用每立方米粮食的质量乘粮仓的容积，即可求出这个粮仓最多能装粮食的质量。 详解：2÷2＝1（米） 3.14×12×1.5＋×3.14×12×0.6 ＝3.14×1×1.5＋×3.14×1×0.6 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（立方米） 700×5.338＝3736.6（千克） 答：这个粮仓最多能装3736.6千克粮食。 1．如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 （1）已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ （2）如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 答案：（1）502.4立方厘米； （2）576平方厘米 分析：（1）由于圆锥的高是圆柱高的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即8×即可求出圆锥的高，根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入即可求出这两部分的体积，再相加即可； （2）要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒，那么这个包装盒的长和宽是底面的直径，高是圆柱和圆锥的高的和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 详解：（1）8×＝6（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×8＋3.14×42×6× ＝3.14×16×8＋3.14×16×6× ＝401.92＋100.48 ＝502.4（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是502.4立方厘米。 （2）8＋6＝14（厘米） 长是8厘米，宽是8厘米，高是14厘米。 （8×8＋8×14＋8×14）×2 ＝（64＋112＋112）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：至少需要576平方厘米硬纸板。 2．一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 答案：35.325立方厘米 分析：圆锥的高是圆柱高的，则圆锥的高为4×＝3厘米；圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高÷3，根据圆柱和圆锥的体积计算公式求出它们的体积和即可。 详解：底面半径：3÷2＝1.5（厘米） 圆柱的体积： 3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝7.065×4 ＝28.26（立方厘米） 圆锥的高：4×＝3（厘米） 3.14×1.52×3÷3 ＝3.14×2.25×3÷3 ＝7.065×3÷3 ＝21.195÷3 ＝7.065（立方厘米） 28.26＋7.065＝35.325（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是35.325立方厘米。 3．哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡、门组合而成。如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 答案：263.76立方米 分析：毡房里面的空间＝圆柱容积＋圆锥容积，根据底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱容积＝底面积×高，圆锥容积＝底面积×高÷3，列式解答即可。 详解：（米） （立方米） 答：这样一个毡房里面的空间大约是263.76立方米。 【考点11】不规则组合体的分析 方法：分解为规则图形，分别计算后整合。 ： 某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 答案：3.2956立方米 分析：从图中可知：这个底座的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积，根据圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据计算，求出体积再相加即可。 详解：（1.2÷2）2×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.62×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.36×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝1.6956＋1.6 ＝3.2956（立方米） 答：做这个底座至少需要3.2956立方米混凝土 1．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 答案：122.46立方厘米 分析：由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 详解：3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 2．一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加25.12平方厘米，原来这个物体的体积是多少立方厘米？（只列综合算式或方程，不计算。） 答案：25.12÷2×3＋25.12÷2×3× 分析：如果把圆柱和圆锥重新分开，则表面积增加2个底面积，圆柱和圆锥的底面积相同，用25.12÷2即可求出每个底面积；然后根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 详解：25.12÷2×3＋25.12÷2×3× ＝37.68＋12.56 ＝50.24（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是50.24立方厘米。 3．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 答案：（1）200.96千克 （2）455.3平方分米 分析：（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。 （2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 详解：（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（立方分米） 401.92×0.5＝200.96（千克） 答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋376.8 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方分米） 答：至少需要455.3平方分米铁皮。 【考点12】熔铸问题中的体积守恒 示例：将圆柱熔铸成圆锥，体积相等，需重新计算圆锥的高或底面积。 易错点13：熔铸后形状差异的忽略 错误：直接套用原形状的高或底面积。 纠正：代入新形状公式求解。 ： 把一根底面直径为12分米、高为5分米的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12分米的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？ 答案：141.3平方分米 分析：已知圆柱形钢材的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这根钢材的体积；再把这根钢材熔铸成一个圆锥，钢材的形状变了，但体积不变； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的底面积。 详解：钢材的体积： 3.14×（12÷2）2×5 ＝3.14×36×5 ＝565.2（立方分米） 圆锥的底面积： 565.2×3÷12 ＝1695.6÷12 ＝141.3（平方分米） 答：熔铸成的这个圆锥的底面积是141.3平方分米。 点睛：本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 1．把一块长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方形铁块熔铸成底面积为600平方厘米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 答案：45厘米 分析：根据体积的意义可知，把长方体铁块熔铸成圆锥，体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，把数据代入公式解答。 详解：30×20×15÷÷600 ＝600×15×3÷600 ＝9000×3÷600 ＝27000÷600 ＝45（厘米） 答：圆锥形铁块的高是45厘米。 点睛：此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．把一根底面直径为20dm，高为2dm的圆柱形铜材，熔铸成一个底面直径为10dm的圆锥，熔铸成的圆锥的高是多少dm？ 答案：24dm 分析：根据圆柱体积＝底面积×高，先求出铜材体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。 详解：3.14×（20÷2）²×2 ＝3.14×100×2 ＝628（dm³） 628×3÷[3.14×（10÷2）²] ＝1884÷78.5 ＝24（dm） 答：熔铸成的圆锥的高是24dm。 点睛：关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式。 3．把一个底面直径为8分米，高3分米的圆柱形钢材，熔成一个直径为12分米的圆锥形，能熔多高？ 答案：4分米 分析：由题意可知：一个圆柱熔成圆锥，体积没有发生变化，只是形状改变。根据圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高。圆柱的直径已知，可以求出半径，进而求出底面积，圆柱的高也是已知的，就可以求出圆柱的体积；圆锥的底面直径已知，同样可以求出底面积，从而求出圆锥的高。 详解：圆柱的底面半径：8÷2＝4（分米）， 圆柱的体积：3.14×4×4×3 ＝3.14×16×3 ＝3.14×48 ＝150.72（立方分米） 圆锥的底面半径：12÷2＝6（分米） 圆锥的高：150.72÷（3.14×6×6）×3 ＝150.72÷（3.14×36）×3 ＝150.72÷113.04×3 ＝150.72×3÷113.04 ＝452.16÷113.04 ＝4（分米） 答：能熔4分米高。 点睛：此题是关于圆柱和圆锥体积的计算，要掌握他们的计算公式，还需额外注意在计算过程中不要把给忽略了。 【考点13】注水问题中的水位变化 公式：水位上升高度 = 物体体积 ÷ 容器底面积。 ： 一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，内盛18厘米高的水，将一个底面半径为2厘米，高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，水面上升多少厘米？ 答案：厘米 分析：根据题意，一圆柱形容器内盛18厘米高的水，将一个高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，因为18＞15，所以金属圆柱完全浸没在水中，则水上升部分的体积等于金属圆柱的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出金属圆柱的体积，也就是水上升部分的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积； 根据圆柱的高h＝V÷S，用水上升部分的体积除以圆柱形容器的底面积，即可求出水面上升的高度。 详解：金属圆柱的体积（水上升部分的体积）： π×22×15 ＝π×4×15 ＝60π（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： π×32＝9π（平方厘米） 水面上升： 60π÷9π＝（厘米） 答：水面上升厘米。 1．如图所示是一个由圆柱和圆锥组成的容器，圆柱高是10厘米，圆锥的高是6厘米，容器里的水深6厘米，将这个容器倒过来如右图放置时，圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？请先算一算，并在右图中画出水深的情况。 答案：10厘米；图见详解 分析：根据题意，根据等底等高圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此可知题目中圆柱内6厘米高的液体的体积是这个圆锥的体积的3倍。把圆柱内2厘米高的水倒入高6厘米的圆锥容器内即可装满，则圆柱内水还剩下（6－2）厘米高的液体。再加上圆锥的高就是圆锥的顶点到水面的距离，据此解答即可。 详解：6－6÷3＋6 ＝6－2＋6 ＝4＋6 ＝10（厘米） 水深如图所示： 答：圆锥的顶点到水面的距离是10厘米。 点睛：等底等高圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，是解决此题的关键。 2．林叔叔是环保卫士，他为树林中的小鸟们修建了一个露天饮水器，即圆柱形的蓄水池，从蓄水池里面量得底面直径是20分米，高是5分米。在水池的内部四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方分米？ 答案：628平方分米 分析：由于蓄水池无盖，剩余只求这个圆柱的一个底面和侧面积的总和，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 详解：20×3.14×5＋3.14×（20÷2）2 ＝62.8×5＋3.14×100 ＝314＋314 ＝628（平方分米） 答：抹水泥的面积是628平方分米。 3．张阿姨家鱼缸内的假山体积是4立方分米，水深3分米。张阿姨准备换去鱼缸内的水，就用圆柱形的水桶来装鱼缸内排出的水。你帮张阿姨算一算，当鱼缸内的水排完时，桶内水的深度是多少？（桶内底面积为8平方分米，高为5分米） 答案：4分米 分析： 根据题意，鱼缸内有体积为4立方分米的假山，此时水深3分米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水深3分米时水和假山的总体积，再减去假山的体积，即是鱼缸内水的体积，也就是要排出的水的体积； 又已知桶的底面积是8平方分米，桶内的水就是排出来的水，用桶内水的体积除以桶的底面积，即可求出桶内水的深度。 详解：水和假山的总体积： 4.8×2.5×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 水的体积：36－4＝32（立方分米） 桶内水的深度：32÷8＝4（分米） 答：桶内水的深度是4分米。 【考点14】实际问题中的“进一法”与“去尾法” 情境：材料不足时用“进一法”，装液体时用“去尾法”。 ： 一台饮水机上的水桶，圆柱部分的高是4分米。（壁厚忽略不计） （1）圆柱部分能装多少升水？ （2）张涛家饮用一天水，水面下降8厘米。这一天饮用了多少升水？（得数保留一位小数） 答案：（1）28.26升 （2）5.7升 分析：（1）已知圆柱形水桶的底面直径是30厘米即3分米，高4分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出圆柱部分能装多少升水。 （2）已知张涛家饮用一天水，水面下降8厘米，那么水下降部分的体积就是张涛家这一天饮用水的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”求解，得数根据“四舍五入”法保留一位小数。 详解：（1）30厘米＝3分米 3.14×（3÷2）2×4 ＝3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝28.26（立方分米） 28.26立方分米＝28.26升 答：圆柱部分能装28.26升水。 （2）8厘米＝0.8分米 3.14×（3÷2）2×0.8 ＝3.14×1.52×0.8 ＝3.14×2.25×0.8 ＝5.652（立方分米） 5.652立方分米＝5.652升≈5.7升 答：这一天饮用了5.7升水。 1．如图，一个粮仓的主体部分是近似的圆柱，顶部是近似的圆锥，高如图所示，量得底面内部周长是18.84米。 （1）这个粮仓的空间有多大？ （2）将这个粮仓装满稻谷，如果每立方米稻谷大约重0.6吨，用一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 答案：（1）94.2立方米 （2）6次 分析：（1）粮仓的空间＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此列式解答； （2）粮仓的容积就是稻谷的体积，稻谷体积×每立方米吨数＝稻谷总吨数；稻谷总吨数÷卡车载重，最后无论剩下多少稻谷，都得需要运一次，结果用进一法保留近似数即可。 详解：（1）18.84÷3.14÷2＝3（米） 3.14×32×3＋3.14×32×1÷3 ＝3.14×9×3＋3.14×9×1÷3 ＝84.78＋9.42 ＝94.2（立方米） 答：这个粮仓的空间有94.2立方米。 （2）94.2×0.6÷10 ＝56.52÷10 ≈6（次） 答：用一辆载重10吨的卡车至少要运6次才能把它运完。 2．建筑工地有一个近似圆锥体的沙堆，底面周长是25.12米，高是1.5米，每立方米沙重2.5吨，这堆沙大约重多少吨？一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 答案：62.8吨；7次 分析：根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这堆沙的体积，用沙的体积乘米立方米沙的质量求出这堆的重多少吨，再用沙堆的重量除以每辆卡车的载重，最后注意根据实际情况用“进一法”解答。 详解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×1.5×2.5 ＝3.14×（8÷2）2×1.5×2.5 ＝3.14×42×1.5×2.5 3.14×16×1.5×2.5 50.24×1.5×2.5 75.36×2.5 188.4 ＝62.8（吨） 62.8÷10≈7（次） 答：这堆沙大约重62.8吨，一辆载重10吨的卡车至少要运7次才能把它运完。 3．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 答案：6次 分析：根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值计算出这堆煤的总体积；用这堆煤的总体积除以每次可以运的量，所得结果用“进一法”保留整数。 详解： （次） 答：至少需要6次才能运完。 学科网（北京）股份有限公司 $$