（同步讲练篇）第二单元 （圆柱和圆锥的侧面积、表面积、体积·8大考点+12个易错点）-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册（苏教版）

2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第二单元 圆柱和圆锥 （圆柱和圆锥的侧面积、表面积、体积） 【考点1】圆柱与圆锥的几何特征 3 【考点2】表面积公式与特殊情境 6 【考点3】圆柱与圆锥的体积公式 9 【考点4】水中物体体积与切割问题 13 【考点5】圆锥侧面展开图的扇形半径 15 【考点6】圆柱侧面展开为正方形的条件 17 【考点7】已知体积求底面积或高 20 【考点8】体积单位与容积单位的转换 24 冰淇淋店里的数学魔法 "我能装更多的冰淇淋！"圆柱杯杯骄傲地挺着圆肚皮。圆锥尖尖不服气地晃了晃甜筒："我的造型才最受欢迎！" 老店长递来两个模具："你们各做10个甜筒，看谁先完成。"杯杯快速盛满圆柱模具，可奶油总是溢出来；尖尖小心翼翼填圆锥，却总填不满。 "试试交换模具？"路过的数学老师提议。杯杯把奶油倒入圆锥模具，三次刚好填满圆柱；尖尖用圆柱模具量奶油，一次就能装满三个圆锥。 "原来等底等高时，圆柱体积是圆锥的三倍！"两人异口同声。他们分工合作：杯杯负责精准量取奶油，尖尖专注塑形，很快做出了又快又好的甜筒。 夕阳下，杯杯和尖尖的影子在地面交织成完美的几何图形。"我们就像数学公式里的搭档，缺一不可！"他们望着橱窗里旋转的冰淇淋灯，开心地笑了。 【考点1】圆柱与圆锥的几何特征 圆柱：两全等圆形底面，侧面展开为长方形（长=底面周长，宽=高），无数条高。 圆锥：1个圆形底面，侧面展开为扇形，唯一高（顶点到底面圆心）。 易错点1：圆锥高的数量判断错误 错误：误认为圆锥有无数条高。 纠正：圆锥只有1条高。 易错点2：圆柱侧面展开图的长与宽混淆 错误：将长方形的宽误认为是底面直径。 纠正：长=底面周长（），宽=高。 ： 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 答案： ① ③ 分析：圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 详解：以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 1．圆柱有( )个面是弯曲的，圆锥的侧面是一个( )面。 答案： 1 扇形/曲 详解： 如图，圆柱有1个面是弯曲的，如图，圆锥的侧面是一个扇形面。 2．下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是( )，从左面看到的形状是( )。 答案： ② ④ 分析：单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的两个相同的圆形； 单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形； 题中，圆锥在左，圆柱在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个有圆心的圆形，右边是一个无圆心的圆形； 从左面看，圆锥挡住了圆柱的一部分，可以看到三角形和长方形重合。据此解答 详解：由分析可知： 等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。 3．（1）在下图中标出圆柱和圆锥各部分的名称。      （2）上面的圆柱，从前面看，看到的图形是一个（    ）形；从右面看，看到的图形是一个（    ）形；从上面看，看到的图形是一个（    ）。 答案：（1）见详解 （2）长方；长方；圆 分析：（1）圆柱的底面是圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高； 圆锥的底面是一个圆，顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 （2）圆柱从前面看、从右面看都是一个长方形，从上面看是一个圆。 详解：（1）如图： （2）上面的圆柱，从前面看，看到的图形是一个长方形；从右面看，看到的图形是一个长方形；从上面看，看到的图形是一个圆。 【考点2】表面积公式与特殊情境 表面积 = 侧面积 + 2×底面积（）。 特殊情况：无盖水桶（1个底面）、通风管（无底面）。 易错点3：忽略实际情境中的“无盖”问题 错误：计算无盖水桶时仍加2个底面。 纠正：根据题意调整公式。 易错点4：单位不统一 错误：半径用cm、高用dm时直接计算。 纠正：先统一单位再代入公式。 ： 一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒（如图），至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带15厘米） 答案：（1）3297平方厘米 （2）215厘米 分析：（1）求蛋糕盒的硬纸板的面积就是求圆柱的表面积，根据，，圆的周长公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 （2）根据直径＝半径×2，观察可知，彩带的长度等于4条底面直径加4条高加打结处的长，代入数据计算即可。 详解：（1） （平方厘米） 答：做这个蛋糕盒大约要用硬纸板3297平方厘米。 （2） （厘米） 答：至少需要彩带215厘米。 1．一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 答案：77.9976平方米 分析：这个圆柱形铁皮水桶是由圆柱的侧面和一个底面构成的，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求出圆柱的侧面积，圆的底面积＝圆周率×半径的平方，求出圆柱的底面积，再把圆柱的侧面积和一个底面积相加即可解答。 详解：2×3.14×1.8×6＋3.14× ＝6.28×1.8×6＋3.14×3.24 ＝11.304×6＋10.1736 ＝67.824＋10.1736 ＝77.9976（平方分米） 答：做这个水桶大约要用铁皮77.9976平方分米。 2．如图所示，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶。这个水桶的表面积是多少？（接头处忽略不计） 答案：62.8平方分米 分析：由图意可知：长方形的宽等于圆的直径、等于油桶的高，且圆的直径底面周长长方形的长，长方形的长已知，设直径是，则从而求得底面直径和油桶的高，再利用求出底面积，阴影的长方形的面积等于侧面积，最后相加求出这个水桶的表面积。 详解：设圆的直径为分米。 则 （分米） （平方分米） 答：这个水桶的表面积是62.8平方分米。 3．如图，将一块长分米的大长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以和左侧的小长方形焊接成一个无盖水桶（接头处忽略不计）。在这个水桶的桶壁和底面涂防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是多少？ 答案：282.6平方分米 分析：通过观察图形可知，设圆柱的底面直径为分米，做成的圆柱形水桶的底面周长加上底面直径等于24.84分米，据此列方程求出底面圆的直径。由图可知，水桶的高等于底面直径，根据圆柱的侧面积＝Ch＝πdh，圆柱的底面积＝πr2，据此求出这个没有盖的圆柱形铁皮水桶的表面积，因为内外都要涂油漆，所以用其表面积乘2，即可求出涂防锈油漆部分的面积，据此解答即可。 详解：解：设圆柱的底面直径为d分米。 3.14d＋d＝24.84 4.14d＝24.84 d＝6 3.14×6×6＋3.14×（6÷2）2 ＝3.14×36＋3.14×9 ＝3.14×（36＋9） ＝3.14×45 ＝141.3（平方分米） 141.3×2＝282.6（平方分米） 答：涂防锈漆部分的面积是282.6平方分米。 点睛：此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式及应用，关键是熟记公式，重点是求出圆柱的底面直径。 【考点3】圆柱与圆锥的体积公式 圆柱体积 。 圆锥体积 。 易错点5：圆锥体积漏乘 错误：直接用底面积×高计算圆锥体积。 纠正：必须乘以。 易错点6：忽略“等底等高”的前提 错误：认为任意圆柱体积都是圆锥的3倍。 纠正：仅当等底等高时成立。 ： 下面哪个杯里的饮料最多？ 答案：第一个杯里的饮料最多。 分析：把各杯饮料看作圆柱体，已知各杯饮料的底面直径和高，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算即可得解。 详解： （cm3） （cm3） （cm3） 答：第一个杯里的饮料最多。 1．张师傅要把一根圆柱形木料（如图）加工成圆锥形。 （1）圆锥的体积最大是多少立方分米？ （2）你还能提出什么问题？ 答案：（1）3.14立方分米 （2）圆柱形木料的体积是多少立方分米？；9.42立方分米（答案不唯一） 分析：（1）加工成圆锥形，圆锥的体积最大，则圆锥的底面半径等于圆柱的底面半径，圆锥的高等于圆柱的高，根据圆锥的体积公式：，代入数据，求出圆锥的体积。 （2）提问这个圆柱形木料的体积？根据圆柱的体积公式：，代入数据，即可解答（答案不唯一）。 详解：（1）3.14×（2÷2）2×3× ＝3.14×12×3× ＝3.14×1×3× ＝3.14（立方分米） 答：圆锥的体积最大是3.14立方分米。 （2）圆柱形木料的体积？（答案不唯一） 3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝3.14×3 ＝9.42（立方分米） 答：圆柱形木料的体积是9.42立方分米。 2．有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面直径是4米，高是1.5米。如果每立方米稻谷大约重0.55吨，这堆稻谷大约重多少吨？（得数保留整数） 答案：3吨 分析：已知圆锥的底面直径，根据公式：r＝d÷2，求出底面半径；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2求出稻谷堆的体积，最后用稻谷堆的体积乘每立方米稻谷的质量，就是这堆稻谷的总重量；再按照四舍五入的方法保留整数即可。 详解：4÷2＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×0.55≈3（吨） 答：这堆稻谷大约重3吨。 3．南京某景区推出系列文创冰激凌，商家设计了和两种包装（每种包装都刚好装满），两种包装及定价如图所示。 （1）两种包装的体积各是多少立方厘米？ （2）你认为这样的定价合理吗？说明理由。 答案：（1）602.88立方厘米；200.96立方厘米 （2）不合理；理由见详解 分析：（1）利用圆柱体积公式：，圆锥的体积公式：计算两种包装的体积即可； （2）两数相除又叫两个数的比，据此写出两种包装的体积比与价格的比，化简并求比值，比值相等说明合理，比值不相等，说明不合理。（理由合理即可） 详解：（1） （立方厘米） （立方厘米） 答：包装的体积是602.88立方厘米，包装的体积是200.96立方厘米。 （2）体积比是： 单价比是： 答：这样的定价不合理。 【考点4】水中物体体积与切割问题 物体体积 = 容器底面积 × 水面变化高度。 平行切圆柱：每切一次增加2个底面积。 易错点7：水中物体体积的错误转换 错误：将圆锥体积直接代入，未理解“上升水的体积等于物体体积”。 纠正：用容器底面积计算水位变化。 易错点8：切割后表面积增加量计算错误 错误：平行切圆柱3段，认为增加3个底面积。 纠正：切2次，增加4个底面积。 ： 把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？ 答案：565.2立方厘米 分析：根据题意，磁铁的体积就等于上升的水的体积（水未溢出），上升的水的体积就相当于一个底面半径是6厘米高是5厘米的圆柱的体积，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算即可。 详解：3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝113.04×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这块磁铁的体积是565.2立方厘米。 1．小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 答案：50.24立方厘米 分析：水面上升的体积就是鸡蛋的体积，根据圆柱体积公式，圆柱形玻璃杯的底面积×水面上升的高度＝鸡蛋的体积，据此列式解答。 详解：3.14×（8÷2）2×（6－5） ＝3.14×42×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积大约是50.24立方厘米。 2．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 答案：3立方厘米；14立方厘米 分析：看图可知，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积是17立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积是23立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积－1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积＝2个小玻璃球的体积，2个小玻璃球的体积÷2＝1个小玻璃球的体积，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积－1个小玻璃球的体积＝1个大玻璃球的体积。 详解：（23－17）÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（立方厘米） 17－3＝14（立方厘米） 答：一个小玻璃球的体积是3立方厘米，一个大玻璃球的体积是14立方厘米。 3．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 答案：7348克 分析：水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的形状是圆柱，铁块体积＝圆柱形玻璃杯底面积×水面上升高度，铁块体积×每立方厘米质量＝这个铁块质量，据此列式解答。根据四舍五入法保留近似数。 详解：3.14×102×（15－12）×7.8 ＝3.14×100×3×7.8 ＝942×7.8 ≈7348（克） 答：这个铁块重7348克。 【考点5】圆锥侧面展开图的扇形半径 扇形半径是圆锥的母线长（顶点到底面圆周的距离）。 易错点9：圆锥侧面展开图的扇形半径混淆 错误：认为扇形半径等于底面半径。 纠正：母线长需通过勾股定理计算（母线²=半径²+高²）。 ： 如图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积．（接缝处忽略不计） 答案：37.68立方分米 详解：试题分析：扇形薄铁片的弧长18.84分米，即为圆锥的底面周长，根据圆的周长公式可求底面半径，再根据圆锥的容积公式：V=πr2h，列式即可求解． 解：×3.14×（18.84÷3.14÷2）2×4， =×3.14×32×4， =3.14×12， =37.68（立方分米）． 答：圆锥的容积是37.68立方分米． 点评：考查了圆锥的体积，解题的关键是求出圆锥的底面半径，本题需要理解扇形薄铁片的弧长18.84分米，即为圆锥的底面周长． 1．半径是10，圆心角216°的扇形围成一个圆锥体，圆锥体的体积是多少？ 答案：301.44 详解：试题分析：由已知利用弧长公式先求出这个圆弧长，圆弧长就是围成的圆锥的底面周长，由此可以求出圆锥的底面半径为及高，代入圆锥体积公式，即可得到答案． 解：圆心角216°的圆弧长为：=37.68； 则圆锥体的底面周长为37.68，则圆锥的底面半径为：37.68÷3.14÷2=6； 因为母线长是10，所以：设圆柱的高为h， 则：h2=102﹣62=100﹣36=64， 因为8×8=64， 所以h=8； 所以圆锥的体积为：×3.14×62×8=301.44； 答：圆锥的体积是301.44． 点评：本题考查的知识点是圆锥的体积公式，其中根据已知计算出圆锥的底面半径为及高，是解答本题的关键． 2．⊙O的半径为8厘米，扇形OAA′是⊙O的四分之一，（如图1）．把扇形OAA′卷成圆锥面（如图2），取母线OA中点B及AB中点M．从M拉一绳子，围绕圆锥面转到下底面A点，（如图2），试求此绳的最短长度． 答案：10厘米 详解：试题分析：将圆锥面沿母线OA剪开，把圆锥面摊成平面（如下页图1），则A1M为绳长的最短距离，根据勾股定理：MA1 2=OM2+OA12=（4+2）2+82=100（平方厘米），所以MA1=10厘米； 解：MA1 2=OM2+OA12=（4+2）2+82=100（平方厘米）， 所以MA1=10厘米； 答：此绳的最短长度是10厘米． 点评：此题较难，属于中学知识，应明确勾股定理：a2+b2=c2，并能灵活运用． 【考点6】圆柱侧面展开为正方形的条件 底面周长 = 高（）。 易错点10：圆柱侧面展开为正方形的条件误判 错误：误认为高与直径相等。 纠正：需满足。 ： 一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 答案：2464.9立方厘米 分析：如下图：如果圆柱的高减少2厘米，表面积就比原来减少62.8平方厘米，那么表面积减少的是高为2厘米的圆柱的侧面积；圆柱侧面积＝底面周长×高，则底面周长＝圆柱侧面积÷高，用62.3平方厘米除以2计算出底面周长。 又知：圆的底面周长＝2×π×底面半径，进而代入数据计算出圆柱的底面半径。 由题意知：圆柱的侧面展开后是一个正方形，所以圆柱的底面周长和高相等。利用圆柱的体积＝底面积×高，计算出圆柱的体积即可。 详解：圆柱的底面周长（也是原来圆柱的高）：62.8÷2＝31.4（厘米） 圆柱的底面半径：31.4÷2÷3.14 ＝15.7÷3.14 ＝5（厘米） 圆柱的底面积： ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆柱的体积：78.5×31.4＝2464.9（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是2464.9立方厘米。 点睛：圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明这个圆柱的底面周长和高相等。 1．一个圆柱的侧面展开是正方形，这个圆柱的高是6.28厘米，它的表面积和体积分别是多少？（得数保留两位小数） 答案：45.72平方厘米；19.72立方厘米 分析：根据“圆柱的侧面展开图是一个正方形”可知，圆柱的高就是圆柱的底面周长，根据底面周长求出底面的半径，再根据圆柱的表面积和体积公式来进行计算。 详解：6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12×2＋6.28×6.28 ＝3.14×1×2＋39.4384 ＝6.28＋39.4384 ＝45.7184 ≈45.72（平方厘米） 3.14×12×6.28 ＝3.14×1×6.28 ＝19.7192 ≈19.72（立方厘米） 答：它的表面积约是45.72平方厘米、体积约是19.72立方厘米。 点睛：这题是考查学生对圆柱表面积和体积的掌握情况，要知道圆柱的表面积计算方法：；明确圆柱的体积计算公式： ；本题解题的关键是求出圆柱底面的半径。 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的底面直径与高的比。 答案：1∶π 分析：根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（或正方形），这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；当圆柱的侧面沿高展开是一个正方形时，这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆柱的周长公式：C＝πd，再根据比的意义解答即可。 详解：圆柱的高等于圆柱的底面直径，即h＝πd，圆柱的底面直径与高的比为： d∶πd ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 答：这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。 点睛：掌握圆柱侧面展开图的特征、圆的周长公式、比的意义及应用是解题的关键。 3．学校有一个圆柱形储水箱，它的侧面由一块边长6.28分米的正方形铁皮围成。这个储水箱最多能储水多少升？（得数保留一位小数，接缝处所用材料略去不计） 答案：19.7升 分析：这个圆柱形状的储水箱的底面周长＝正方形铁皮的边长＝6.28分米，由此即可求得储水箱的底面半径为：6.28÷3.14÷2＝1分米，这个圆柱形状的储水箱的高＝正方形铁皮的边长＝6.28分米，由此利用圆柱体容积公式代入数据即可解决问题。 详解：储水箱的底面半径为： 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 它的容积为： 3.14×12×6.28 ＝3.14×6.28 ＝19.7192 ≈19.7（立方分米） 19.7立方分米＝19.7升 答：这个储水箱最多能储水19.7升。 点睛：解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决。 【考点7】已知体积求底面积或高 圆柱：，圆锥：。 易错点11：公式变形中的运算顺序错误 错误：计算圆锥底面积时漏乘3。 纠正：先乘3再除以高。 ： 一个长方体铁块长4分米，宽3分米，高5分米，把它熔铸成一个高6分米的圆柱，这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 答案：10平方分米 分析：根据题意，把长方体熔铸成圆柱，则长方体的体积等于圆柱的体积，先根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出长方体的体积，再根据圆柱的底面积＝体积÷高列式求出圆柱的底面积即可。 详解：4×3×5 ＝12×5 ＝60（立方分米） 60÷6＝10（平方分米） 答：这个圆柱的底面积是10平方分米。 1．一个圆柱形水杯的容积是1.8升，从里面量，底面积是1.2平方分米。用这个水杯装杯水，水面高多少分米？ 答案：1分米 分析：已知容积是1.8升，底面积是1.2平方分米，由圆柱体积公式变形，那么圆柱的高为1.8÷1.2＝1.5（分米），因为装了杯水，则水面高为1.5×分米。据此解答即可。 详解：1.8升＝1.8立方分米 1.8÷1.2× ＝1.5× ＝1（分米） 答：水面高1分米。 2．向下面的容器（上面圆柱，下面长方体组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示 （1）把下面的长方体注满需（    ）小时。 （2）上面的圆柱高（    ）米。 （3）如果下面的长方体底面积是24平方米，那么它的体积是多少立方米？上面圆柱的底面积是多少平方米？ 答案：（1）； （2）2； （3）72立方米；平方米 分析：（1）通过观察统计图可知，把下面的大圆柱注满需分钟。 （2）上面小圆柱的高是（5－3）米。 （3）根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出下面长方体的体积，因为注油的速度相同，根据“等分”除法的意义，用除法求出1小时注油多少立方米，用1小时注油的体积乘注满上面小圆柱用的时间即可求出小圆柱的体积，然后用小圆柱的体积除以小圆柱的高就是小圆柱的底面积。 详解：（1）把下面的大圆柱注满需小时。 （2）5－3＝2（米） 上面小圆柱的高是2米。 （3）24×3＝72（立方米） 72÷×÷2 ＝72××÷2 ＝×÷2 ＝× ＝（平方米） 答：长方体的体积是72立方米，小圆柱的底面积是平方米。 3．将底面积相等的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，圆锥高是圆柱高的2倍，水面变化情况如图所示。已知圆锥形铁块的底面积为15平方厘米。 （1）圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 答案：（1）72立方厘米 （2）9.6厘米 分析：（1）通过观察图形可知，上升部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积和，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，因为圆柱和圆锥的底面积相等，圆锥高是圆柱高的2倍，所以这个圆锥的体积是圆柱体积的。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出圆柱的体积。 （2）根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，把数据代入公式解答。 详解：（1）920－800＝120（毫升） 120毫升＝120立方厘米 120÷（1＋） ＝120÷ ＝120× ＝72（立方厘米） 答：圆柱形铁块的体积是72立方厘米。 （2）（120－72）÷÷15 ＝48×3÷15 ＝144÷15 ＝9.6（厘米） 答：圆锥的高是9.6厘米。 点睛：此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【考点8】体积单位与容积单位的转换 1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。 易错点12：单位换算遗漏平方或立方关系 错误：1米=100厘米，直接得出1平方米=100平方厘米。 纠正：1平方米=10,000平方厘米。 ： 米＝( )厘米    312毫升＝( )升 答案： 60 0.312/ 分析：根据1米＝100厘米，1升＝1000毫升，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，据此解答。 详解：（厘米） 或（升） 米＝60厘米 312毫升＝0.312（或）升 1．1080立方分米＝( )立方米    2时15分＝( )时 答案： 1.08 2.25 分析：根据1立方米＝1000立方分米，1时＝60分，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 详解：1080÷1000＝1.08（立方米）；15÷60＝0.25（时）、2＋0.25＝2.25（时） 1080立方分米＝1.08立方米；2时15分＝2.25时 2．小时＝( )分    1升30毫升＝( )立方分米 答案： 35 1.03 分析：根据1小时＝60分，1升＝1立方分米，1立方分米＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 详解：×60＝35（分）；30÷1000＝0.03（立方分米）、1＋0.03＝1.03（立方分米） 小时＝35分；1升30毫升＝1.03立方分米 3．         答案：4300；；0.75（或） 分析：高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1L＝1000mL，1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3＝1000L，据此解答。 详解：4.3×1000＝4300，则4.3L＝4300mL； 80÷1000＝＝，则80cm3＝dm3； 750÷1000＝0.75，则750L＝0.75m3（或）。 4．1.03m2＝( )dm2    380dm3＝( )m3    0.72dm3＝( )cm3 960mL＝( )L    5.4dm3＝( )L＝( )mL 答案： 103 0.38 720 0.96 5.4 5400 分析：1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1L＝1dm3，高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率，据此解答。 详解：1.03×100＝103（dm2） 380÷1000＝0.38（m3） 0.72×1000＝720（cm3） 960÷1000＝0.96（L） 5.4×1000＝5400（mL） 所以，1.03m2＝103dm2，380dm3＝0.38m3，0.72dm3＝720cm3，960mL＝0.96L，5.4dm3＝5.4L＝5400mL。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第二单元 圆柱和圆锥 （圆柱和圆锥的侧面积、表面积、体积） 【考点1】圆柱与圆锥的几何特征 3 【考点2】表面积公式与特殊情境 5 【考点3】圆柱与圆锥的体积公式 6 【考点4】水中物体体积与切割问题 8 【考点5】圆锥侧面展开图的扇形半径 10 【考点6】圆柱侧面展开为正方形的条件 12 【考点7】已知体积求底面积或高 13 【考点8】体积单位与容积单位的转换 15 冰淇淋店里的数学魔法 "我能装更多的冰淇淋！"圆柱杯杯骄傲地挺着圆肚皮。圆锥尖尖不服气地晃了晃甜筒："我的造型才最受欢迎！" 老店长递来两个模具："你们各做10个甜筒，看谁先完成。"杯杯快速盛满圆柱模具，可奶油总是溢出来；尖尖小心翼翼填圆锥，却总填不满。 "试试交换模具？"路过的数学老师提议。杯杯把奶油倒入圆锥模具，三次刚好填满圆柱；尖尖用圆柱模具量奶油，一次就能装满三个圆锥。 "原来等底等高时，圆柱体积是圆锥的三倍！"两人异口同声。他们分工合作：杯杯负责精准量取奶油，尖尖专注塑形，很快做出了又快又好的甜筒。 夕阳下，杯杯和尖尖的影子在地面交织成完美的几何图形。"我们就像数学公式里的搭档，缺一不可！"他们望着橱窗里旋转的冰淇淋灯，开心地笑了。 【考点1】圆柱与圆锥的几何特征 圆柱：两全等圆形底面，侧面展开为长方形（长=底面周长，宽=高），无数条高。 圆锥：1个圆形底面，侧面展开为扇形，唯一高（顶点到底面圆心）。 易错点1：圆锥高的数量判断错误 错误：误认为圆锥有无数条高。 纠正：圆锥只有1条高。 易错点2：圆柱侧面展开图的长与宽混淆 错误：将长方形的宽误认为是底面直径。 纠正：长=底面周长（），宽=高。 ： 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 1．圆柱有( )个面是弯曲的，圆锥的侧面是一个( )面。 2．下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是( )，从左面看到的形状是( )。 3．（1）在下图中标出圆柱和圆锥各部分的名称。      （2）上面的圆柱，从前面看，看到的图形是一个（    ）形；从右面看，看到的图形是一个（    ）形；从上面看，看到的图形是一个（    ）。 【考点2】表面积公式与特殊情境 表面积 = 侧面积 + 2×底面积（）。 特殊情况：无盖水桶（1个底面）、通风管（无底面）。 易错点3：忽略实际情境中的“无盖”问题 错误：计算无盖水桶时仍加2个底面。 纠正：根据题意调整公式。 易错点4：单位不统一 错误：半径用cm、高用dm时直接计算。 纠正：先统一单位再代入公式。 ： 一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒（如图），至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带15厘米） 1．一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 2．如图所示，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶。这个水桶的表面积是多少？（接头处忽略不计） 3．如图，将一块长分米的大长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以和左侧的小长方形焊接成一个无盖水桶（接头处忽略不计）。在这个水桶的桶壁和底面涂防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是多少？ 【考点3】圆柱与圆锥的体积公式 圆柱体积 。 圆锥体积 。 易错点5：圆锥体积漏乘 错误：直接用底面积×高计算圆锥体积。 纠正：必须乘以。 易错点6：忽略“等底等高”的前提 错误：认为任意圆柱体积都是圆锥的3倍。 纠正：仅当等底等高时成立。 ： 下面哪个杯里的饮料最多？ 1．张师傅要把一根圆柱形木料（如图）加工成圆锥形。 （1）圆锥的体积最大是多少立方分米？ （2）你还能提出什么问题？ 2．有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面直径是4米，高是1.5米。如果每立方米稻谷大约重0.55吨，这堆稻谷大约重多少吨？（得数保留整数） 3．南京某景区推出系列文创冰激凌，商家设计了和两种包装（每种包装都刚好装满），两种包装及定价如图所示。 （1）两种包装的体积各是多少立方厘米？ （2）你认为这样的定价合理吗？说明理由。 【考点4】水中物体体积与切割问题 物体体积 = 容器底面积 × 水面变化高度。 平行切圆柱：每切一次增加2个底面积。 易错点7：水中物体体积的错误转换 错误：将圆锥体积直接代入，未理解“上升水的体积等于物体体积”。 纠正：用容器底面积计算水位变化。 易错点8：切割后表面积增加量计算错误 错误：平行切圆柱3段，认为增加3个底面积。 纠正：切2次，增加4个底面积。 ： 把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？ 1．小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 2．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 3．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 【考点5】圆锥侧面展开图的扇形半径 扇形半径是圆锥的母线长（顶点到底面圆周的距离）。 易错点9：圆锥侧面展开图的扇形半径混淆 错误：认为扇形半径等于底面半径。 纠正：母线长需通过勾股定理计算（母线²=半径²+高²）。 ： 如图，一张扇形薄铁片，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，试求圆锥的容积．（接缝处忽略不计） 1．半径是10，圆心角216°的扇形围成一个圆锥体，圆锥体的体积是多少？ 2．⊙O的半径为8厘米，扇形OAA′是⊙O的四分之一，（如图1）．把扇形OAA′卷成圆锥面（如图2），取母线OA中点B及AB中点M．从M拉一绳子，围绕圆锥面转到下底面A点，（如图2），试求此绳的最短长度． 【考点6】圆柱侧面展开为正方形的条件 底面周长 = 高（）。 易错点10：圆柱侧面展开为正方形的条件误判 错误：误认为高与直径相等。 纠正：需满足。 ： 一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 1．一个圆柱的侧面展开是正方形，这个圆柱的高是6.28厘米，它的表面积和体积分别是多少？（得数保留两位小数） 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的底面直径与高的比。 3．学校有一个圆柱形储水箱，它的侧面由一块边长6.28分米的正方形铁皮围成。这个储水箱最多能储水多少升？（得数保留一位小数，接缝处所用材料略去不计） 【考点7】已知体积求底面积或高 圆柱：，圆锥：。 易错点11：公式变形中的运算顺序错误 错误：计算圆锥底面积时漏乘3。 纠正：先乘3再除以高。 ： 一个长方体铁块长4分米，宽3分米，高5分米，把它熔铸成一个高6分米的圆柱，这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 1．一个圆柱形水杯的容积是1.8升，从里面量，底面积是1.2平方分米。用这个水杯装杯水，水面高多少分米？ 2．向下面的容器（上面圆柱，下面长方体组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示 （1）把下面的长方体注满需（    ）小时。 （2）上面的圆柱高（    ）米。 （3）如果下面的长方体底面积是24平方米，那么它的体积是多少立方米？上面圆柱的底面积是多少平方米？ 3．将底面积相等的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，圆锥高是圆柱高的2倍，水面变化情况如图所示。已知圆锥形铁块的底面积为15平方厘米。 （1）圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【考点8】体积单位与容积单位的转换 1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。 易错点12：单位换算遗漏平方或立方关系 错误：1米=100厘米，直接得出1平方米=100平方厘米。 纠正：1平方米=10,000平方厘米。 ： 米＝( )厘米    312毫升＝( )升 1．1080立方分米＝( )立方米    2时15分＝( )时 2．小时＝( )分    1升30毫升＝( )立方分米 3．         4．1.03m2＝( )dm2    380dm3＝( )m3    0.72dm3＝( )cm3 960mL＝( )L    5.4dm3＝( )L＝( )mL 学科网（北京）股份有限公司 $$