18.2.1 第1课时 矩形的性质（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十八章　平行四边形 18.2.1　矩形 18.2.1　矩　形 第1课时　矩形的性质 目 录 CONTENTS 01 A 基础巩固 02 B 综合运用 03 C 拓广探索 知识点一　矩形的性质 1. （2024·成都中考）如图，在矩形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （　C　） A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠ACB＝∠ACD C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. （2024·甘肃中考）如图，在矩形ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2， 则AC的长为（　C　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第2题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. （2024·西安雁塔区模拟）如图，矩形ABCD的对 角线AC，BD交于点O，点E，F分别为OC，BC 的中点.若EF＝3，则AC的长为 ⁠. 第3题图 12　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点 O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F. 若 AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ⁠. 第4题图 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 图形变式 如图，矩形ABCD中，过对角线上一点O作 GH∥BC，EF∥AB. 若AB＝4，BC＝5，则图中 的阴影部分的面积为 ⁠. 10　 变式题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 5. （2024·陕西中考）如图，四边形ABCD是矩形， 点E和点F在边BC上，且BE＝CF. 求证：AF＝ DE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE. ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE. ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴AF＝DE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　直角三角形斜边上的中线的性质 6. （2024·盐城二模）一技术人员用刻度尺（单位： cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知 ∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应 的刻度为1，7，则CD＝（　B　） A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm 第6题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为 ⁠. 第7题图 70°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 变式设问 同上图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线.若 ∠B＝30°，则△ACD的形状是 三角形. 等边　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. （2024·长治二模）如图，在矩形AOBD中，若点 D的坐标为（1，3），则对角线AB的长为（　C　） A. 4 B. 5 C. D. 2 第8题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. （2024·北京大兴区月考）如图，△ABC中，AB ＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点 D，点E为AC的中点，连接DE， 则△CDE的周长为 ⁠. 16　 第9题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角 线AC，BD交于点O，P为边AD上一点，作 PE⊥AC，PF⊥BD，则PE＋PF的值是 ⁠. 第10题图 4.8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 方法点拨 思考：△AOD的面积可通过几种方式进行表示呢？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝ AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵BD＝AD，DG＝DC， ∴△BDG≌△ADC（SAS）. ∴BG＝AC，∠BGD＝∠ACD. ∵∠ADB＝∠ADC＝90°， 点E，F分别是BG，AC的中点， （1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵BD＝AD，DG＝DC， ∴△BDG≌△ADC（SAS）. ∴BG＝AC，∠BGD＝∠ACD. ∵∠ADB＝∠ADC＝90°， 点E，F分别是BG，AC的中点， （1）求证：DE＝DF，DE⊥DF； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴DE＝ BG＝EG，DF＝ AC＝AF. ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD＝∠ACD， ∠FDA＝∠FAD. ∴∠EDG＋∠FDA＝∠ACD＋ ∠FAD＝90°. ∴DE⊥DF. ∴DE＝ BG＝EG，DF＝ AC＝AF. ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD＝∠ACD， ∠FDA＝∠FAD. ∴∠EDG＋∠FDA＝∠ACD＋ ∠FAD＝90°. ∴DE⊥DF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （2）连接EF，若AC＝10，求EF的长. （2）解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5. 由勾股定理得EF＝ ＝5 . （2）解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5. 由勾股定理得EF＝ ＝5 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. （2024·台州椒江区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AD 上，且EF⊥AC于点O，OE＝OF. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO. 在△AOF和△COE中， （1）求证：OA＝OC； ∴△AOF≌△COE（AAS）.∴OA＝OC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴△AOF≌△COE（AAS）.∴OA＝OC. （2）方程思想求AF的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （2）解：如图，连接CF，∵四边 形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8， ∠D＝90°. 设AF＝x，则DF＝AD－AF＝8 －x. 由（1）知OA＝OC，又 ∵EF⊥AC于点O， （2）解：如图，连接CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8， ∠D＝90°. 设AF＝x，则DF＝AD－AF＝8－x. 由（1）知OA＝OC， 又∵EF⊥AC于点O， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴EF是AC的垂直平分线.∴CF＝AF＝x. 在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2＝DF2＋CD2. ∴x2＝（8－x）2＋62.解得x＝ ， 即AF的长是 . ∴EF是AC的垂直平分线.∴CF＝AF＝x. 在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2＝DF2＋CD2. ∴x2＝（8－x）2＋62.解得x＝ ， 即AF的长是 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点 M是射线DC上一动点，点P在线段AM上（不与点 A重合），OP＝ AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （1）判断△ABP的形状，并说明理由； （1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O 是AB的中点，∴AO＝OB＝ AB. ∵OP＝ AB， ∴OP＝OA＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝ ∠APO. ∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠BPO＝ 180°，∴∠APO＋∠BPO＝90°. ∴∠APB＝90°.∴△ABP是直角三角形. （1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O 是AB的中点，∴AO＝OB＝ AB. ∵OP＝ AB， ∴OP＝OA＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝ ∠APO. ∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠BPO＝ 180°，∴∠APO＋∠BPO＝90°. ∴∠APB＝90°.∴△ABP是直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （2）当点M为边DC的中点时，连接CP并延长交 AD于点N，求证：PN＝AN. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 （2）证明：如图，延长AM，BC交于点Q. ∵点 M是CD的中点，∴DM＝CM. ∵∠D＝∠MCQ ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM （ASA）.∴∠DAM＝∠Q，AD＝CQ＝BC. 由 （1）易得∠BPQ＝90°，∴PC＝ BQ＝CQ. ∴∠Q＝∠CPQ. ∵∠CPQ＝∠APN，∴∠APN ＝∠PAN. ∴PN＝AN. （2）证明：如图，延长AM，BC交于点Q. ∵点M是CD的中点，∴DM＝CM. ∵∠D＝∠MCQ ＝90°， ∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA）. ∴∠DAM＝∠Q，AD＝CQ＝BC. 由1）易得∠BPQ＝90°，∴PC＝ BQ＝CQ. ∴∠Q＝∠CPQ. ∵∠CPQ＝∠APN，∴∠APN ＝∠PAN. ∴PN＝AN. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $$