拓展5-4利用导数研究零点问题-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展5-4利用导数研究零点问题 一、证明零点的个数 五、利用比值代换解决双零点问题 二、讨论零点的个数 六、利用同构解决零点 三、已知零点个数求参数 七、与三角函数有关的零点问题 四、已知存在零点求参数 八、隐零点问题 方法点拨：一、求零点的个数或已知零点求参的常用方法： ①将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题; ②利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质进而画出其图像; ③结合图像判断零点或根据零点分析参数 二、证明双零点不等式的基本思路: 首先进行变量的转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,或者通过比值代换(令)利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式,化简后根据其结构特点构造函数,再借助导数,判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式. 一、证明零点的个数 1．已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 2．已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 3．已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 4．已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，求证：函数有两个零点． 5．已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点. 二、讨论零点的个数 6．已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 7．已知函数，讨论函数的零点的个数. 8．已知函数，，试讨论函数的零点个数. 9．设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 10．已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 三、已知零点个数求参数 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内有且只有一个零点，求的值． 12．（多选）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 13．已知是函数的极值点． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围． 14．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 15．为正实数，已知函数. (1)若时，求函数的极值. (2)若函数有且仅有2个零点，求的值； 四、已知存在零点求参数 16．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 17．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 18．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 五、利用比值代换解决双零点问题 21．已知函数．若有两个零点，且，证明：． 22．设，函数，若有两个相异零点，求证：. 23．设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 24．已知函数分别是函数的两个零点，求证：. 25．已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，且，证明：. 六、利用同构解决零点 26．已知函数的零点为，则 ． 27．已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 七、与三角函数有关的零点问题 31．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 32．已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 33．设函数f（x）=xsinx+cosx-ax2. (1)当a=时，讨论f（x）在（-π，π）上的单调性； (2)当a时，证明：f（x）有且仅有两个零点. 34．已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线. (1)求的值； (2)判断函数在上零点的个数，并说明理由. 35．已知. (1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值； (2)当时，讨论函数的零点个数. 八、隐零点问题 36．已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点. 37．已知函数在上不单调，则的取值范围是 . 38．已知函数. (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由. 39．函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 40．已知函数，，且函数的零点是函数的零点． (1)求实数a的值； (2)证明：有唯一零点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展5-4利用导数研究零点问题 一、证明零点的个数 五、利用比值代换解决双零点问题 二、讨论零点的个数 六、利用同构解决零点 三、已知零点个数求参数 七、与三角函数有关的零点问题 四、已知存在零点求参数 八、隐零点问题 方法点拨：一、求零点的个数或已知零点求参的常用方法： ①将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题; ②利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质进而画出其图像; ③结合图像判断零点或根据零点分析参数 二、证明双零点不等式的基本思路: 首先进行变量的转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,或者通过比值代换(令)利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式,化简后根据其结构特点构造函数,再借助导数,判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式. 一、证明零点的个数 1．已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2)见详解 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 且，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点，使， 又当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）因为，， 若，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点； 若，则，，则， 即在上没有零点； 若，因为，，所以， 即在上没有零点； 综上，函数在只有一个零点. 2．已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以切点为. 因为，所以， 所以切线方程为. 因为切线经过原点，所以，所以. 由定义域为，故， 所以在上单调递增. （2）设（）， 则. 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 因为，且当时，单调递减，所以 所以当时，， 所以函数在时没有零点， 所以当时，函数的图象与直线没有交点. 当时，，单调递增， 又因为，且函数的图象是不间断的， 所以当时，函数有且只有一个零点， 函数的图象与直线有且只有一个交点. 综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点. 3．已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 【答案】(1)没有极大值，极小值为-2022． (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 所以． 由，得． 因为是增函数， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 所以函数没有极大值，只有极小值， 且当时，取得极小值， 所以的极小值为． （2）证明：因为，， 所以， 所以． 由，， 解得， 所以当时， ，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 最大值为． 因为，所以，所以． 所以当时，函数没有零点． 4．已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，求证：函数有两个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值点，即，无极大值， 综上可得：当时无极值，当时，无极大值. （2）当时， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 且， 又，所以在上有且仅有一个零点，且， 又，令，所以， 令，则， 所以（）在上单调递增，且，即， 所以在上单调递增，所以， 所以， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时， 所以在上有且仅有一个零点，且， 综上可得，当时，函数有两个零点. 5．已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点. 【答案】证明见解析 【详解】设， 当时，，所以在上单调递减， 又因为， 所以在上存在唯一的零点，命题得证． 二、讨论零点的个数 6．已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)在上有两个零点 【详解】（1）因为， 所以在区间上单调递减， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值. （2）先讨论在上的零点个数， 由（1）可知，在上递减，， 所以在上递减，因为， 所以在上有唯一零点， 又因为， 所以是偶函数，所以在上有两个零点. 7．已知函数，讨论函数的零点的个数. 【答案】答案见解析 【详解】由得， 设，   则， 令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减， 即当时，g(x)取得极大值即， 由，单调递增，可得与x轴只有一个交点， 由，单调递减，可得与x轴没有交点， 画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点. 综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点； 当m>时，没有零点. 8．已知函数，，试讨论函数的零点个数. 【答案】当时， 有唯一零点；当时， 没有零点；当时， 有两个零点. 【详解】解：由题意得： 的定义域为 当时，， 故在上无零点. 当时， 令，则 令可知： 当时， 当时， 在上单调递减，在上单调递增 故当时，，是的唯一零点； 当时，， 没有零点； 当时， 令， 故有两个零点. 9．设函数． (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设是曲线上任意一点，由题得， 所以曲线在点处的切线方程为， 依题意满足上式，因此对于任意均成立， 因此，，得． （2）易知， 若，则，（当且仅当时等号成立） 函数单调递增，且，则其在上有且仅有1个零点． 若，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 此时的极大值，的极小值． 令，解得， 则当时，的极小值大于0，有1个零点； 当时，的极小值等于0，有2个零点； 当时，的极小值小于0，有3个零点． 综上，当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点． 【点睛】结论点睛：一般地，设三次函数，则其导函数为，．设的两个根分别为， （1）若，则恰有一个零点； （2）若，且，则恰有一个零点； （3）若，且，则恰有两个零点； （4）若，且，则恰有三个零点． 恰有三个零点． 10．已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设函数，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)单调性见解析；极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 【详解】（1），则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，且，无极小值. （2）由题意知， 要求函数的零点个数，即求方程的根的个数， 即求直线与函数图象的交点个数. 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，当时， 如图， 由图可知当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. 三、已知零点个数求参数 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内有且只有一个零点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）， 当时，，得或，，得， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，，得或，，得， 函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，恒成立，函数在单调递增. 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间. （2）由条件可知，， 由（1）可知，当时，若函数在有且只有一个零点， 则，解得：， 当时，函数在单调递增，所以无零点， 所以. 12．（多选）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时， 时，，， 故函数在区间上单调递增， 因，当时，，故函数在区间上有1个零点 时，开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，且， 故函数在上无零点，在有一个零点， 故时，函数有2个不同的零点，符合题意； 当时， 时，，， 当时，，当时，， 故时，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上无零点， 故函数无零点，不符合题意； 当时，， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，得， 故函数有1个零点，不符合题意； 当时， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上有2零点， 故函数有2个零点，符合题意； 综上可知，的取值范围为， 故选：BC 13．已知是函数的极值点． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，又由是函数的极值点， 有，可得，有， 有， 令，有或，可得函数的减区间为，增区间为，， 又由， 又由函数的图象可知，函数在区间上的值域为； （2）由函数的减区间为，增区间为， 又由， 若函数有3个零点，则实数的取值范围为． 14．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以方程有且仅有一个根， 所以曲线与有且仅有一个交点， 函数的定义域为， 函数的导函数为， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 当时，， 当时，， 当时，， 当，且时，， 画出函数，的图象如下， 观察图象可得或． 故答案为：. 15．为正实数，已知函数. (1)若时，求函数的极值. (2)若函数有且仅有2个零点，求的值； 【答案】(1)极大值，极小值； (2)或. 【详解】（1）当时，，则， 故时，，时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 即有极大值，有极小值； （2）， 由为正实数，当时，恒成立，故单调递增， 此时不可能有两个零点，不符， 当时，时，，时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 即有极大值， 有极小值， 由函数有且仅有2个零点，故或， 即或或，又，故时成立； 当时，时，，时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 即有极大值， 有极小值， 由函数有且仅有2个零点，故或， 即或或，又，故时成立； 综上所述，或. 四、已知存在零点求参数 16．若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在区间上恒为正可得，函数在区间上为增函数， 依题意，函数在区间上存在零点，则由零点存在定理可得， 且，解得. 故选：C. 17．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 18．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 19．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在两个零点，则有两个不同的实数根， 当时，只有一个零点，不符合题意，故， 即有两个不同的实数根， 记， 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值， 又当时，，如图为的图象 要使有两个不同的实数根，则，所以， 故选：C 20．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)，没有极小值 (2) (3) 【详解】（1）当时，，定义域是，则， 令，得，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 所以，没有极小值. （2）当时，，， 则. 令，， 则， 则在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 则. 故当时，在上的最小值是； （3），， . 令，，， 当时，，则在上是减函数，则. ①当时，，则在上是减函数，，不合题意； ②当时，，，，则存在，使， 即，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 极大值 则， 因为在上有零点， 所以，解得. 所以，的取值范围是. 五、利用比值代换解决双零点问题 21．已知函数．若有两个零点，且，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】若有两个零点，则，得． ，令，则，故，则，， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，则在上单调递增，，即， 故. 22．设，函数，若有两个相异零点，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由已知得，， 所以， 所以要证，即证， 即证， 设，令，， 则，所以在上单调递增， 所以，即，即，即 所以原题得证. 23．设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)当时，在为增函数， 当时，在上是减函数，在上为增函数； (2)；详见证明过程． 【详解】（1）的定义域为，且， 当时，成立，所以在为增函数， 当时， ①当时，，所以在上为增函数， ②当时，，所以在上为减函数； 综上：当时，在为增函数， 当时，在上是减函数，在上为增函数， （2）结合（1），当时，取得极小值， 又∵函数有两个零点，∴，可得， 综上所述，； 下面证明结论成立： 不妨设， 设，， 可得，， ∴在上单调递增， ∴，即，，， ∴当时， ， 又∵，，∴， 又∵当时，单调递增， ∴，即， 设，，则，两式相比得， 即，∴， 又∵， 令，则， 令，则， 则在内单调递减，即，即， 故，故在上单调递减， ∴， ∴，即； 综上所述，． 24．已知函数分别是函数的两个零点，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】因为， 分别是函数的两个零点， 所以 两式相减，得， 所以. 因为， 所以. 要证，即证. 因，故又只要证. 令，则即证明. 令，，则. 这说明函数在区间上单调递减，所以， 即成立. 由上述分析可知成立. 25．已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)证明见解析 【详解】（1）解：依题意，. 令，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）证明：要证，即证. 依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令， 因为，故， 两式相加可得， 两式相减可得， 消去，整理得，故， 令，故只需证明，即证明， 设，故，故在上单调递增， 从而，因此. 故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 六、利用同构解决零点 26．已知函数的零点为，则 ． 【答案】 【详解】为函数零点， ． 令， 显然时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，， 显然时，，即在上单调递增， 则，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：先将零点代入函数解析式通过同型构造得，之后判定函数的单调性得出，再根据的单调性计算即可. 27．已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 28．已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 29．已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在区间上恰有2个零点， 令，可得， 令，则在区间上恰有2个实根， 因为在上单调递增，所以即在区间上恰有2个实根， 所以函数与的图象在区间上恰有2个交点， 又由，当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，且，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 30．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （3）不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 七、与三角函数有关的零点问题 31．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 【答案】(1)； (2)在上单调递增； (3)1个. 【详解】（1）解：由题意知的定义域为R. ①当时，由得，设，则， 当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增， 所以，因此. ②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立. ③当时，，此时. 综上可得，a的取值范围是. （2）解：设，，则，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以. 又由（1）知， 所以当时，， 所以在上单调递增. （3）解：由得， . 由（2）知在上单调递增. ①当时，，，为在上的1个零点； ②当时，，故，所以在上不存在零点； ③当时，，故，所以在上不存在零点； ④当时，，，所以在上不存在零点； 综上可得，在上的零点个数为1. 【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解，常用的有三种方法：（1）方程法：直接解方程得解；（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；（3）方程+图象法：令得到，再分析函数的图象的交点即得解. 32．已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【详解】，则， 则，， 则，可得，则， 令，则恒成立，即函数在单调递增， 所以， 即在区间内无实根． 故选：D． 33．设函数f（x）=xsinx+cosx-ax2. (1)当a=时，讨论f（x）在（-π，π）上的单调性； (2)当a时，证明：f（x）有且仅有两个零点. 【答案】(1)在（-π，-），（0，）上单调递增，在（-，0），（，π）上单调递减 (2)证明见解析 【详解】（1）当a=时，f（x）=xsinx+cosx-x2， 则=x（cosx-），x∈（-π，π）， 令=0，得x=-或x=0或x=， 当-π<x<-时，>0，当-<x<0时，<0， 当0<x<时，>0，当<x<π时，<0， 所以f（x）在（-π，-），（0，）上单调递增，在（-，0），（，π）上单调递减. （2）f（x）的定义域为（-∞，+∞）， 因为f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）-a（-x）2=xsinx+cosx-ax2=f（x），所以f（x）为偶函数. 因为f（0）=1>0，所以当a时，f（x）有且仅有两个零点等价于当a时，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点. =x（cosx-a）， 当a≥1时，若x>0，则<0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减， 因为f（π）=-1-aπ2<0，由零点存在性定理知，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点 综上，当a时，f（x）有且仅有两个零点. 34．已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线. (1)求的值； (2)判断函数在上零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)1 (2)1个零点，理由见解析 【详解】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以． 曲线和在原点处有相同的切线. ， ． （2）由（1）可知，，所以； 当时，，，此时无零点． 当时， 令 则，显然在上单调递增， 又，，所以存在使得， 因此可得时，，单调递减； 时，，单调递增；又， 所以存在，使得， 即时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 又，，所以在上有一个零点． 综上，在上有1个零点． 35．已知. (1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得：， 设切点坐标为， 则切线斜率为，即， 可得切线方程为， 将，代入可得， 整理得， 因为在内单调递增， 则在定义域内单调递增，且当时，， 可知关于的方程的根为1，即， 所以. （2）因为， 则， 可知在内单调递减， 且，则，且在内单调递减， 可知在内单调递减，所以在内单调递减， 且， （i）若，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，当且仅当时，等号成立， 所以在内有且仅有1个零点； （ⅱ）若，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递减，则，当且仅当时，等号成立， 所以在内有且仅有1个零点； （ⅲ）若，即时，则在内存在唯一零点， 可知当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 且，可知，可知在内有且仅有1个零点， 且， ①当，即时，则在内有且仅有1个零点； ②当，即时，则在内没有零点； 综上所述：若时，在内有且仅有1个零点； 若时，在内有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 八、隐零点问题 36．已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由，得，令，， 求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递减， 而，，则， 由零点存在性定理可知，函数在上有且只有一个零点， 所以函数在上有且只有一个零点. 37．已知函数在上不单调，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，， 令， 因为，所以，则在单调递减， 所以， 若，则恒成立，即恒成立， 则函数在上单调递减，不满足题意; 若，则， 因为，, 所以， 所以由零点的唯一性定理可知，在必定存在唯一的零点记为， 所以当时，即， 时，即， 所以在时单调递增，时单调递减，满足题意; 综上得， 故答案为: . 38．已知函数. (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)2个零点，理由见解析. 【详解】（1）由， 而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为： ； （2）函数的定义域为， 由（1）可知：， 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点； 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点， 所以函数f（x）有个零点. 39．函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增 【详解】（1）∵，∴单调递增， 当时，，∵，又，∴，． ∴使，∴有且仅有一个零点． （2） ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 40．已知函数，，且函数的零点是函数的零点． (1)求实数a的值； (2)证明：有唯一零点． 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【详解】（1）由易判断在单调递增， 且，， 所以可令， 得， 所以， 由题意，即， 所以； （2），则， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以， 结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点. 【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$