专题06 平面向量数量积的坐标表示7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题6 平面向量数量积的坐标表示7题型分类 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . (3)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (4)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（2025高三·湖北武汉·期中）在边长为2的正六边形中，（    ） A．6 B．-6 C．3 D．-3 2．（2025高三·上海松江·期末）已知向量，，则 3．（2025高三·北京房山月考）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁模拟预测）已知向量，则（    ） A．10 B．18 C． D． 5．（2025高三·天津·期中）在直角梯形中，，且，若，则 . 6．（2025·四川绵阳模拟预测）已知向量，，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 7．（2025高二·广西河池月考）已知平面向量，则实数 ． 题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 8．（2025高三·广东深圳·期末）已知是边长为2的正六边形的一个顶点，则的最小和最大值分别是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·陕西咸阳月考）已知点在的斜边上（包含端点），若，，则的取值范围为 . （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 10．（2024·海南海口模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．40 11．（2025高三·广东广州月考）已知向量，满足，，，则等于 ． 12．（2025高二·河南月考）已知向量，若，且，则 ． 题型4：平面向量模的最值问题 13．（2025高一·内蒙古呼和浩特月考）已知，，则的取值范围是 ． 14．（2025高三·全国月考）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 15．（2025·全国模拟预测）已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江西模拟预测）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·安徽月考）已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 18．（2025高一·全国·单元测试）已知，分别确定实数的值或取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角. 19．（2025高三·安徽月考）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·辽宁朝阳月考）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值 (2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围 21．（2025高一·河南焦作·期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型6：平面向量的垂直问题 22．（2025高一·江西萍乡·期末）已知向量，． (1)若，试判断向量与是否垂直； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 23．（2025高三·黑龙江鸡西月考）已知平面向量，，． (1)①若，求；②若，求； (2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 24．（2025高一·全国月考）已知向量，，． (1)若与向量垂直，求实数的值； (2)若向量，且与向量平行，求实数的值． 25．（2025高一·江苏盐城·期中）已知向量，，． (1)若，求实数k； (2)设满足，且，求的坐标． 26．（2025高三·河北张家口月考）已知，若实数满足，则 ． 27．（2025·全国模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型7：平面向量的投影问题 28．（2025·全国模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．（2025高三·上海静安月考）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 30．（2025·上海杨浦模拟预测）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 31．（2025高三·云南月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 一、单选题 1．（2025·山东聊城模拟预测）在平面直角坐标系中，已知且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明模拟预测）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国月考）已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·单元测试）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 5．（2025高三·全国月考）已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．3 C．－ D．－3 6．（2025高三·安徽马鞍山月考）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025高三·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西模拟预测）若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 9．（2025高三·全国月考）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二·云南西双版纳·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025高三·广东深圳月考）已知向量，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔模拟预测）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 13．（2025高三·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 14．（2025高三·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2025高二·四川达州月考）若向量，，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 17．（2025高一·江苏南京月考）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 18．（2025·陕西宝鸡模拟预测）已知向量，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角是，则 D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 19．（2025高三·全国月考）已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影向量为 C． D．mn的最大值为2 20．（2025高三·重庆月考）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 三、填空题 21．（2025高三·上海青浦月考）已知，，则在上的数量投影是 . 22．（2025高一·云南文山月考）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 23．（2025高三·福建月考）已知，则的面积为 ． 24．（2025高三·全国月考）在中，，，且的一个内角为直角，则k的值为 . 25．（2025高三·全国月考）已知向量，，且，则 . 26．（2025高一·全国月考）已知向量，，.若中A为钝角，则实数k应满足的条件是 . 27．（2025高三·北京月考）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 四、解答题 28．（2025高一·北京房山·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量满足，求向量； (3)在（2）的条件下，若，求实数的值. 29．（2025高二·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 30．（2025高一·全国月考）已知． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 31．（2025高一·江苏南京月考）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 32．（2025高一·全国月考）已知，且． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 33．（2025高一·全国月考）已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 34．（2025高一·全国·单元测试）已知，． (1)当x，y为何值时，与共线？ (2)是否存在实数x，y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题6 平面向量数量积的坐标表示7题型分类 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . (3)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (4)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（2025高三·湖北武汉·期中）在边长为2的正六边形中，（    ） A．6 B．-6 C．3 D．-3 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出的坐标，求出即可得出答案． 【解析】正六边形中，每个内角都是，，有， 以为原点，为轴， 为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，，，则有， 所以，，， ，， 由平面向量数量积的运算可得. 故选：B． 2．（2025高三·上海松江·期末）已知向量，，则 【答案】0 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【解析】∵，，∴， ∴. 故答案为：0. 3．（2025高三·北京房山月考）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量减法和数量积的坐标表示求解即可. 【解析】设，则由题意可得， 解得， 所以， 故选：D 4．（2024·四川遂宁模拟预测）已知向量，则（    ） A．10 B．18 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可. 【解析】因为向量， 所以， 故选:A. 5．（2025高三·天津·期中）在直角梯形中，，且，若，则 . 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设（），用向量数量积的坐标表示求解. 【解析】如图，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（）， 则， ， ，所以（负值舍去）， 即有， 故答案为：. 6．（2025·四川绵阳模拟预测）已知向量，，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【解析】向量，，则，解得， 所以实数m等于. 故选：D 7．（2025高二·广西河池月考）已知平面向量，则实数 ． 【答案】0 【分析】由向量的坐标运算列出等式，即可计算出答案. 【解析】由题意可得， 故， 即， 故答案为：0 题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 8．（2025高三·广东深圳·期末）已知是边长为2的正六边形的一个顶点，则的最小和最大值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在正六边形中建立直角坐标系，求得各顶点的坐标，根据数量积的坐标运算计算即可． 【解析】由题意，在边长为2的正六边形中，建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 则，，， ，，， ，， ，， 显然为最大值，为最小值， 故选：C． 9．（2025高三·陕西咸阳月考）已知点在的斜边上（包含端点），若，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将所求数量积表示为关于的一次函数的形式，结合的范围可求得结果. 【解析】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ，又， ，即的取值范围为. 故答案为：. （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 10．（2024·海南海口模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．40 【答案】B 【分析】利用向量垂直的性质和模长求出即可. 【解析】由已知可得， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 11．（2025高三·广东广州月考）已知向量，满足，，，则等于 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解. 【解析】因为向量，满足，，， 所以，解得， 所以， 故答案为: . 12．（2025高二·河南月考）已知向量，若，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示和向量的模长组成方程组，求出结果即可. 【解析】因为， 所以，① 又因为，， 所以，② 由①②解得；或， 所以或， 故答案为：. 题型4：平面向量模的最值问题 13．（2025高一·内蒙古呼和浩特月考）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量的三角形不等式求解作答. 【解析】由，得，而， 于是，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．（2025高三·全国月考）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而求得.利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【解析】因为，所以，即，得， 所以． 由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为5， 当时，取得最大值，最大值为25， 故的取值范围为． 故答案为：； （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 15．（2025·全国模拟预测）已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可求解. 【解析】由向量，可得，所以， 所以与的夹角为. 故选：C. 16．（2024·江西模拟预测）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出x，得出，再由向量夹角的公式求出结果即可. 【解析】由题意知，解得， 所以， 所以 故选：D. 17．（2025高三·安徽月考）已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出． 【解析】，，， 显然， 故有：，解得或． 故选：B． 18．（2025高一·全国·单元测试）已知，分别确定实数的值或取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）与的夹角为直角，由得到结果； （2）与的夹角为钝角，则，且与不反向； （3）与的夹角为锐角，则，且与不同向. 【解析】（1）已知与的夹角为直角，所以，解得. （2）已知与的夹角为钝角，则，且与不反向， 即，解得. 当与共线时，，即，此时. 所以. （3）当与的夹角为锐角时，则，且与不同向， 即，解得. 当与共线时，，， 所以且. 19．（2025高三·安徽月考）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角关系得到且与不共线，即可求解. 【解析】由题意得： 且与不共线， 即，解得：且， 所以实数的范围是， 故选：C. 20．（2025高一·辽宁朝阳月考）已知向量，． (1)若向量与垂直，求k的值 (2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由垂直关系列出方程，求出k的值； （2）根据两向量夹角为锐角，得到不等式，求出k的取值范围. 【解析】（1）依题意得：，， ∵向量与垂直， ∴，解得． （2）由（1），， ∵向量与的夹角为锐角， ∴且． 解得且. ∴k的取值范围是． 21．（2025高一·河南焦作·期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) 【答案】A 【分析】由题且不共线，据此可得答案. 【解析】因向量的夹角为锐角，则， 且不共线，即. 综上可知，或. 故选：A （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型6：平面向量的垂直问题 22．（2025高一·江西萍乡·期末）已知向量，． (1)若，试判断向量与是否垂直； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)向量与不垂直； (2) 【分析】（1）求出的坐标，利用坐标法求出即可判断； （2）依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【解析】（1）若，则，， 故， ∴，所以当时，向量与不垂直； （2）由题意知，， 向量与的夹角为钝角，∴，解得， 当与反向时，有，解得， 所以向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围是． 23．（2025高三·黑龙江鸡西月考）已知平面向量，，． (1)①若，求；②若，求； (2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 【答案】(1)①或；②或 (2) 【分析】 （1）根据向量平行，垂直可构造方程求得； （2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果. 【解析】（1），， ①若，则，即，解得或； ②若，则，解得或. （2）由，解得或， 又时，或， 若向量与的夹角为钝角，则或或， 故的取值范围为. 24．（2025高一·全国月考）已知向量，，． (1)若与向量垂直，求实数的值； (2)若向量，且与向量平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值. （2）根据向量平行列方程，化简求得的值. 【解析】（1）向量，，． ，， 与向量垂直， ， 解得． （2）向量，， 与向量平行， ， 解得． 25．（2025高一·江苏盐城·期中）已知向量，，． (1)若，求实数k； (2)设满足，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值； （2）先设，再利用题给条件关于实数的方程组，解之即可求得实数的值，进而得到的坐标. 【解析】（1）因为向量，，， 则，． 因为， 所以，解得． （2）设，由题意，，， 由于，且，则， 解得或．因此或． 26．（2025高三·河北张家口月考）已知，若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示求解. 【解析】，则， 由，所以，解得． 故答案为： 27．（2025·全国模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】确定，，根据计算得到答案. 【解析】，，， 解得. 故选：A. （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型7：平面向量的投影问题 28．（2025·全国模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解． 【解析】因为，，所以， 则在上的投影向量的模为 ， 则在上的投影向量为. 故选：A． 29．（2025高三·上海静安月考）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算可得. 【解析】因为，， 则，， 又，所以， 即，解得， 所以， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 30．（2025·上海杨浦模拟预测）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】直接利用向量的投影公式计算即可. 【解析】向量，， 则在方向上的投影为. 故答案为： 31．（2025高三·云南月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【解析】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·山东聊城模拟预测）在平面直角坐标系中，已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，得可求出的值，从而可求出. 【解析】因为，所以 所以，故 故选：D. 2．（2025·云南昆明模拟预测）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【解析】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 3．（2025高三·全国月考）已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面向量的夹角公式的坐标表示即可求解. 【解析】由题意得，，则， 故选：C． 4．（2025高一·全国·单元测试）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示计算. 【解析】由已知得，，， 则． 故选：A. 5．（2025高三·全国月考）已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．3 C．－ D．－3 【答案】D 【分析】代入投影向量公式计算即可. 【解析】因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为＝＝－3. 故选：D. 6．（2025高三·安徽马鞍山月考）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断. 【解析】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 7．（2025高三·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【解析】由题意：. 故选：C 8．（2025·江西模拟预测）若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出，从而进一步求出. 【解析】因为，所以，解得， 故， 故. 故选：C. 9．（2025高三·全国月考）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式计算得解. 【解析】由，，得，， 由，得， 因此，整理得， 所以. 故选：C 10．（2025高二·云南西双版纳·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】由，，得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．（2025高三·广东深圳月考）已知向量，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式求解. 【解析】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：C 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔模拟预测）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解析】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 13．（2025高三·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（    ） A． B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果. 【解析】∵，∴， ∵，∴，解得. 故选：D. 14．（2025高三·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得. 【解析】，故， 则，故. 故选：A. 15．（2025高三·全国月考）已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量数量积的运算律及模长坐标表示可得，再应用向量夹角公式求夹角. 【解析】因为，所以， 又，，所以，得， 所以， 因为，所以， 故选：C 二、多选题 16．（2025高二·四川达州月考）若向量，，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】ABC 【分析】利用向量模与数量积的坐标表示判断AB，利用投影向量公式判断C，利用向量夹角公式判断D，从而得解. 【解析】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，又，所以，故B正确； 对于C，易得， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 又，所以，故D错误. 故选：ABC. 17．（2025高一·江苏南京月考）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【解析】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 18．（2025·陕西宝鸡模拟预测）已知向量，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角是，则 D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 【答案】ABC 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D. 【解析】因为向量， 若，则，解得，A说法正确； 若，则，解得，B说法正确； 若与的夹角是，因为，， 所以， 所以，C说法正确； 若与的方向相反，所以， 所以在上的投影向量为，D说法错误； 故选：ABC 19．（2025高三·全国月考）已知向量，其中m，n均为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影向量为 C． D．mn的最大值为2 【答案】CD 【分析】对于A：根据数量积的符号分析向量夹角；对于B：根据投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量共线运算求解即可；对于D：利用基本不等式运算求解即可. 【解析】对于A，向量，则， 又因为，可知不共线， 所以的夹角为锐角，故A错误； 对于B，因为， 所以向量在上的投影向量为，B错误； 对于C，因为，， 若，则，整理可得，C正确； 对于D，因为，且m，n均为正数， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以mn的最大值为2，D正确． 故选：CD. 20．（2025高三·重庆月考）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【解析】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 21．（2025高三·上海青浦月考）已知，，则在上的数量投影是 . 【答案】 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案. 【解析】依题意，在上的数量投影是. 故答案为： 22．（2025高一·云南文山月考）若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量夹角的定义建立不等式，再排除向量平行的特殊情况，求解参数范围即可. 【解析】设为与的夹角，则， 因为为钝角，所以，解得， 而此时与一定不平行，得到，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 23．（2025高三·福建月考）已知，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【解析】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 24．（2025高三·全国月考）在中，，，且的一个内角为直角，则k的值为 . 【答案】，， 【分析】根据题意，分或或讨论，结合向量垂直的数量积关系运算得解. 【解析】当时，则，所以.所以. 当时，则，， 所以.所以. 当时，则，所以.所以. 综上所述：或或. 故答案为：或或. 25．（2025高三·全国月考）已知向量，，且，则 . 【答案】 【分析】根据求得m，从而得到的坐标求解. 【解析】因为，所以， 又，， 所以，所以， 则， 所以. 故答案为： 26．（2025高一·全国月考）已知向量，，.若中A为钝角，则实数k应满足的条件是 . 【答案】 【分析】根据向量线性坐标运算得，，然后根据向量夹角为钝角的坐标运算列不等式求解即可. 【解析】因为，，， 所以，. 因为A为钝角，所以，所以，即，解得. 又，共线时，，解得.不符合. 则实数k应满足的条件是. 故答案为： 27．（2025高三·北京月考）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【解析】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 四、解答题 28．（2025高一·北京房山·期末）已知向量，． (1)求； (2)若向量满足，求向量； (3)在（2）的条件下，若，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长； （2）利用向量坐标的运算解向量方程即得； （3）将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得. 【解析】（1）因为向量，， 所以. 所以. （2）因为， 所以. 所以. （3）因为，由（2）知，. 所以. 所以即 29．（2025高二·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【分析】（1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【解析】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 30．（2025高一·全国月考）已知． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 【答案】(1) (2)为直角三角形，且B为直角，证明见解析 【分析】（1）应用平面向量平行的坐标运算计算求参； （2）应用平面向量垂直的坐标运算计算判断即可证明. 【解析】（1）， ∵A，B，M三点共线，∴与共线， 所以，解得． （2）是直角三角形，B为直角．证明如下： ∴， ∴，即为直角三角形，且B为直角． 31．（2025高一·江苏南京月考）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【解析】（1）由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. （2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 32．（2025高一·全国月考）已知，且． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)；． 【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性列不等式求解单调递减区间即可. （2）整体法换元结合正弦函数的图象性质确定函数的最值即可求解. 【解析】（1） 令，解得， ∴的单调递减区间为． （2）∵，∴． 当，即时，； 当，即时，． 33．（2025高一·全国月考）已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. 【解析】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 34．（2025高一·全国·单元测试）已知，． (1)当x，y为何值时，与共线？ (2)是否存在实数x，y，使得，且？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，y为任意实数 (2)存在，或． 【分析】（1）根据共线列方程，解方程即可； （2）根据垂直和模相等列方程，解方程即可. 【解析】（1）因为与共线，所以存在实数，使得， 所以，解得， 所以当，y为任意实数时，与共线． （2）由．① 由．② 联立①②解得或，所以或． 所以存在实数x，y，使得，且， 此时或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$