专题03 向量的数量积8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积8题型分类 一、向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 二、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 三、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 四、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 五、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 六、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 七、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 八、向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2024高一·北京顺义月考）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024高一·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·江西上饶月考）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2：求两向量的数量积 4．（2024·江苏南通模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 5．（2024·安徽模拟预测）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 6．（2024高二·山西·学业考试）已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·山东潍坊·期中）已知，则（    ） A． B．-24 C． D．16 题型3：向量数量积的最值 8．（2024高三·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 9．（2024高一·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 题型4：向量数量积的几何应用 10．（2024高一·上海黄浦月考）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024高一·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 12．（2024高二·甘肃临夏·期中）在中，若，则三角形ABC为 三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”） （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 13．（2024·四川甘孜模拟预测）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 14．（2024高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，满足，，，则 . 15．（2024高三·广东佛山月考）已知向量，满足，，与的夹角为，则 ． 16．（2024·全国模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 17．（2024高一·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 题型6：向量的夹角 18．（2024高三·贵州黔东南月考）已知向量，，，则 . 19．（2024高三·北京海淀月考）已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三·北京月考）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 21．（2024·宁夏模拟预测）已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一·全国月考）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 . 23．（2024高三·北京怀柔月考）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ． （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 24．（2024高一·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 25．（2024高三·黑龙江大庆月考）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 26．（2024高三·浙江月考）已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一·河南省直辖县级单位月考）已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：向量的投影 28．（2024高二·陕西西安月考）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高三·江西月考）已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 30．（2024高三·河北石家庄·期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．（2024高二·浙江·期中）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·全国模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 2．（2025·四川成都模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 3．（2025·福建宁德模拟预测）已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（    ） A．3 B．2 C． D． 4．（北京市朝阳外国语学校2024届高三学期10月质量检测（二）数学试题）若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （    ） A．2 B．5 C．2或5 D． 或 5．（2025高三·陕西榆林月考）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 6．（2025高三·河北保定·期末）已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 7．（2025·四川资阳模拟预测）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（2025高三·青海西宁·期中）已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·河南月考）已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·安徽·期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国月考）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 12．（2025高一·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·全国模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 15．（2025·贵州模拟预测）已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·四川甘孜模拟预测）已知平面向量满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·江苏徐州月考）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（    ） A．36 B．－36 C．－8 D．8 18．（2025高三·天津东丽月考）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 二、多选题 19．（2025高一·全国月考）（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 20．（2025高三·全国月考）设平面向量，满足，，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·黑龙江大庆模拟预测）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．在方向上的投影向量的模为 22．（2025高三·全国月考）已知平面向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 三、填空题 23．（2025高三·陕西咸阳月考）已知单位向量，的夹角为，则 . 24．（2025高三·内蒙古呼和浩特月考）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ． 25．（2025高三·全国月考）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 26．（2025高一·全国月考）在中，，则 ． 27．（2025高三·河北保定月考）已知向量满足，则 ． 四、解答题 28．（2025高一·全国月考）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 29．（2025高三·全国月考）如图，在中，，，D是边的中点，求：    (1)在上的投影向量； (2)在上的投影向量． 30．（2025高一·全国月考）已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 31．（2025高一·全国月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． (1)求； (2)设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 32．（2025高三·全国月考）已知，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 33．（2025高一·江苏宿迁月考）已知的夹角为，，，， (1)若，求实数t的取值范围； (2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题03 向量的数量积8题型分类 一、向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. 二、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 三、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 四、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 五、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 六、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 七、向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 八、向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：向量数量积的概念辨析 1．（2024高一·北京顺义月考）若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解. 【解析】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024高一·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【解析】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    故选：C． 3．（2024高一·江西上饶月考）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据向量夹角的概念结合等腰梯形的几何性质，即可判断出答案. 【解析】由题意可得与的夹角为，A错误； 如图，作，交与于E，则， 故与的夹角，B正确； 由于，故与的夹角等于与的夹角， 即为，C错误； 与的夹角为，D错误； 故选：B 题型2：求两向量的数量积 4．（2024·江苏南通模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：C. 5．（2024·安徽模拟预测）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积公式求得结果. 【解析】记，则，， ， ． 故选：A. 6．（2024高二·山西·学业考试）已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用向量的数量积公式计算得到答案. 【解析】 因为，且向量与的夹角为，所以， 故选：C． 7．（2024高三·山东潍坊·期中）已知，则（    ） A． B．-24 C． D．16 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积公式求解. 【解析】解：因为， 所以. 故选：. 题型3：向量数量积的最值 8．（2024高三·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值. 【解析】   ; 若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点， 设， ， 当时，取最小值，且为. 故答案为：；. 9．（2024高一·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【答案】/-0.75 【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值. 【解析】由题菱形边长为2， 则，，所以， 又因为， 所以， 所以， 令， 则， 所以， 则当时，取最小值为. 故答案为： 题型4：向量数量积的几何应用 10．（2024高一·上海黄浦月考）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解. 【解析】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件， 当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件. 故选：A 11．（2024高一·山西朔州·期末）在中，下列说法错误的是（    ） A．“”是“A为直角”的充要条件 B．“”是“A为锐角”的充要条件 C．“”是“是锐角三角形”的充分不必要条件 D．“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由，可得， 平方可得，解得， 所以，所以为直角，即充分性成立； 若为直角，可得，所以，则， 即，所以必要性也成立，所以A正确； 对于B中，由，可得，可得， 所以为锐角，所以充分性成立， 当为锐角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正确； 对于C中，由，可得为锐角，但不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误； 对于D中，由，可得为钝角，所以为钝角三角形，即充分性成立， 当为钝角三角形，不一定为钝角，即必要性不一定成立， 所以是是钝角三角形的充分不必要条件，所以D正确. 故选：C. 12．（2024高二·甘肃临夏·期中）在中，若，则三角形ABC为 三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】根据数量积的性质，判断出A的范围，可得结论. 【解析】解：因为， 故，而A为三角内角，故A为钝角， 所以是钝角三角形. 故答案为：钝角. （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型5：向量的模 13．（2024·四川甘孜模拟预测）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】C 【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可. 【解析】因为 ， 所以， 故选：C. 14．（2024高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确计算，即可求解. 【解析】由向量，满足，，且， 则，所以. 故答案为：. 15．（2024高三·广东佛山月考）已知向量，满足，，与的夹角为，则 ． 【答案】/ 【分析】将平方，结合数量积的运算律，即可求得答案. 【解析】由题意得， 故， 故答案为： 16．（2024·全国模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 【答案】1或 【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可. 【解析】将两边平方，得， 得，即，解得或． 故答案为：或. 17．（2024高一·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【解析】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 题型6：向量的夹角 18．（2024高三·贵州黔东南月考）已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量模长可求得，再利用向量夹角的公式即可求得结果. 【解析】由可得， 即，即， 所以，又， 所以. 故答案为： 19．（2024高三·北京海淀月考）已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析可知为等边三角形，结合向量的几何意义分析求解. 【解析】设， 因为，， 可知三点不共线，且既是的重心也是的外心， 所以为等边三角形， 则， 所以. 故选：C. 20．（2024高三·北京月考）已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积的定义，再根据条件得到，从而得到，再去掉与共线同向时，的取值，即可求出结果. 【解析】因为与的夹角为锐角，又， 所以， 又，，，所以， 解得，又因， 当时，也满足，此时不合题意， 当与共线同向时，有，从而得到，解得， 又，所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 21．（2024·宁夏模拟预测）已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【解析】因为，且，所以，即， 所以， 设与的夹角为，则，因为， 所以，即与的夹角为. 故选：D 22．（2024高一·全国月考）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由，可得，结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式求解即可. 【解析】因为且为非零向量，设，则， 又，所以，则， 所以， 设向量的夹角为，则， 即向量夹角的余弦值为. 故答案为：. 23．（2024高三·北京怀柔月考）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】由题意可得且这两个向量不共线，再结合数量积的运算律及平面向量共线定理即可得解. 【解析】因为，与的夹角为， 所以， 因为与的夹角为钝角， 所以且这两个向量不共线， ，解得， 当时， 存在唯一实数，使得， 所以，所以， 又不共线，所以， 综上所述，， 所以满足条件的的值可以为. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型7：与垂直有关的向量问题 24．（2024高一·浙江宁波·期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 【答案】/-0.4 【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案. 【解析】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直， 故，即， 故，解得， 故答案为： 25．（2024高三·黑龙江大庆月考）已知向量，的夹角为，，且向量与垂直，则实数（    ） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据垂直向量的数量积建立方程，结合题意，可解得答案. 【解析】由，则， 即， 解得. 故选：D. 26．（2024高三·浙江月考）已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用数量积的定义求出,再根据垂直关系的向量表示列式解方程即可. 【解析】因为，，与的夹角为，所以. 由， 得， 解得. 故选:C. 27．（2024高一·河南省直辖县级单位月考）已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【解析】（1），，与的夹角是， 则， 即有； （2）由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. （四） 投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 题型8：向量的投影 28．（2024高二·陕西西安月考）已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件平方求得，然后根据投影向量公式可得. 【解析】因为， 所以，即，得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 29．（2024高三·江西月考）已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【解析】依题意，，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 30．（2024高三·河北石家庄·期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【解析】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：B 31．（2024高二·浙江·期中）已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据投影向量的定义即可得结果. 【解析】在方向上的投影向量为， 故选：D. 一、单选题 1．（2025·全国模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【解析】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 2．（2025·四川成都模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【解析】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 3．（2025·福建宁德模拟预测）已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】运用平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可. 【解析】， 当时，有最小值， 故选：C 4．（北京市朝阳外国语学校2024届高三学期10月质量检测（二）数学试题）若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （    ） A．2 B．5 C．2或5 D． 或 【答案】C 【分析】 根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得. 【解析】平面向量两两夹角相等，则或， 当时，即向量同向共线，则， 当时， . 故选：C 5．（2025高三·陕西榆林月考）已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可. 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：B 6．（2025高三·河北保定·期末）已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【分析】先根据，求出，再求，即可求. 【解析】因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 7．（2025·四川资阳模拟预测）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意，，，与的夹角为，可得，代入可得关于的方程，解方程可得答案. 【解析】解：, 又， ， ， ， ， 即， 得或（舍去）， 故的值为2. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的相关知识，考查学生的基础知识与基本计算能力，属于基础题. 8．（2025高三·青海西宁·期中）已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解. 【解析】由可得，所以， 同理由和可得 所以， 故， 故选：D 9．（2025高三·河南月考）已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可. 【解析】由已知可得，即， 又因为，所以， 所以夹角为. 故选：C 10．（2025高一·安徽·期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【解析】由题意，非零向量的夹角为，且， 则， 不等式对任意恒成立， 所以，即， 整理得恒成立， 因为，所以，即，可得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】求平面向量的模的两种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 11．（2025高三·全国月考）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【分析】根据，利用向量数量积的计算公式，展开计算求的值. 【解析】由题意可得：， ， 化简得，解得. 故选：B. 12．（2025高一·陕西渭南·期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果. 【解析】的夹角为锐角，且不同向， ，解得：且， 实数的取值范围为. 故选：B. 13．（2025高一·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【解析】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 14．（2025·全国模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果. 【分析】由题意，得， 所以， ． 而， 所以． 整理，得，解得或（舍去）． 故选：C． 15．（2025·贵州模拟预测）已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，，然后由模长公式、数量积的运算公式分别表示出，最终列出方程求解即可. 【解析】由题意，而， ， 又向量与的夹角为， 所以，即, 又，所以解得. 故选：A. 16．（2025·四川甘孜模拟预测）已知平面向量满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得，即可求夹角. 【解析】由题设，而， 所以，， 所以. 故选：B 17．（2025高三·江苏徐州月考）线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（    ） A．36 B．－36 C．－8 D．8 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义和运算律即可得到答案. 【解析】，， 所以 因为AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），， 所以 ， 故选：C.    18．（2025高三·天津东丽月考）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【解析】根据题意可得，， 所以， 又因为， 所以,， 设,则， 所以， ， 所以 ， 令， 当单调递增，单调递减， 当，取最大值为. 故选：D 二、多选题 19．（2025高一·全国月考）（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 【答案】AD 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【解析】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 20．（2025高三·全国月考）设平面向量，满足，，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据投影向量的定义与数量积的计算公式，逐个选项计算分析，即可判断. 【解析】设与的夹角为θ， 对于A，当θ∈时，，，不一定相等，故A错误； 对于B，当θ∈时，，，故成立， 当θ∈时，，，故成立， 当θ＝时，成立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当θ∈时，，故D错误． 故选：BC. 21．（2025·黑龙江大庆模拟预测）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．在方向上的投影向量的模为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据条件，利用数量积的定义，即可判断正误；对于B，利用向量相等的条件，即可求解；对于C，根据条件，利用数量积的运算律，可得，即可求解；对于D，利用投向量及模长的定义，即可求解. 【解析】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确， 对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误， 对于选项C，由，得，即，所以，所以选项C正确， 对于选项D，由投影向量定义可知，在方向上的投影向量为， 所以其模长为，故选项D正确． 故选：ACD． 22．（2025高三·全国月考）已知平面向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【解析】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 三、填空题 23．（2025高三·陕西咸阳月考）已知单位向量，的夹角为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得. 【解析】由单位向量，的夹角为，得， 所以. 故答案为： 24．（2025高三·内蒙古呼和浩特月考）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ． 【答案】2 【分析】利用向量数量积的定义、数量积的运算律计算得解. 【解析】由向量，的模相等且夹角为，得， 由向量与向量垂直，得， 而，所以. 故答案为：2 25．（2025高三·全国月考）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由条件结合投影向量定义可得，根据模的性质求，利用向量夹角公式求结论. 【解析】由题意可得，， 所以，又， 所以， 所以， 故与的夹角为． 故答案为：. 26．（2025高一·全国月考）在中，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解. 【解析】解析  如图，延长CB至点D，使，连接AD． 在中，，，． 即，展开得到， 将代入，解得．所以． 故答案为：. 27．（2025高三·河北保定月考）已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解. 【解析】因为， 所以，化简得． 又因为， 所以． 故答案为：2 四、解答题 28．（2025高一·全国月考）在中，已知，求： (1)； (2)在方向上的投影的数量； (3)在方向上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3)-4 【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可； （2）应用投影数量的公式计算即可； （3）应用投影数量的公式计算即可. 【解析】（1）． 为直角三角形，且． ． （2）． （3） 29．（2025高三·全国月考）如图，在中，，，D是边的中点，求：    (1)在上的投影向量； (2)在上的投影向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的定义求解； （2）根据投影向量的定义求解. 【解析】（1）如图，连接，因为，， 所以是等腰直角三角形．又D是边的中点， 所以，，所以. 延长到，使，则与的夹角为.   在上的投影向量为. （2）在上的投影向量为. 30．（2025高一·全国月考）已知，，与的夹角.求： (1)在方向上的投影向量； (2)； (3). 【答案】(1) (2)88 (3)156 【分析】（1）应用投影向量公式计算即可； （2）应用数量积公式及运算律计算求解； （3）应用数量积公式及运算律计算求解. 【解析】（1）在方向上的投影向量为. （2） . （3） . 31．（2025高一·全国月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． (1)求； (2)设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意可得，结合数量积求模长即可； （2）根据题意可得，结合数量积列式求解即可. 【解析】（1）由题意可知：， 因为， 所以． （2）因为，． 若是以AB为斜边的直角三角形，则， 即， 可得， 即，化简得，解得， 所以存在满足条件． 32．（2025高三·全国月考）已知，. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再求出. （2）利用投影向量的意义，结合向量模的定义求解. 【解析】（1）由，得，而， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为. 33．（2025高一·江苏宿迁月考）已知的夹角为，，，， (1)若，求实数t的取值范围； (2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由列式求得值； （2）利用共线向量定理列式求解即可. 【解析】（1），的夹角为，且，， . 由，得 ，解得； （2）由，得， 即，解得 所以存在实数，使得. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$