4.1数列的概念(第2课时)数列的函数特性和递推公式-2024-2025学年第二学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）（全国通用）

4.2数列的概念(第2课时)数列的函数特性和递推公式 第1页 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 4.了解数列是一种特殊函数. 学习目标 第1页 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式。我们了解到，数列与现代生活是密不可分的。其实，数列的起源可以追溯到人类祖先需要有序地表达一组数据、记录某个变化过程的时候。正是在这样的需求下，数列应运而生。因此，数列的应用非常广泛。大家先来看本课时的例1。 导 语 第1页 课内导航 数列的递推公式 an与Sn的关系 1 2 由递推公式求通项公式 数列的单调性与最值 3 4 书读百遍 其其义自现 5 第1页 一 数列的递推公式 第1页 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 问题1 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2≤n≤7). 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 55 第页 第1页 反思感悟1 第1页 28 第页 第1页 √ 第页 第1页 二 an与Sn的关系 第1页 如果已知数列{an}的前n项和，如何求a4呢？ 问题2 提示　用{an}的前4项和减去前3项和. 第页 第1页 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn= . 2.an= . a1+a2+…+an 注意： (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n=1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得. 知识梳理 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第1页 第页 第1页 2×3n－1 第页 第1页 三 由递推公式求通项公式 第1页 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 一个式子 注意： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 知识梳理 第页 第1页 22 √ 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 数列的单调性与最值 第1页 由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 问题3 提示　函数. 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟4 第1页 5 第页 第1页 89 第页 第1页 五 书读百遍 其义自现 第页 一个式子 第页 第页 a1＋a2＋…＋an S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2 第页 第页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第页 第页 第页 第页 第页 第页 第页 第页 课 后 巩 固 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 9，10 第页 第1页 an＝2n＋1 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第页 例1　(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，则a5＝(　　) A.eq \f(2,5)　　　　　　　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2) 【解析】　由题意可知a2＝eq \f(2×1,1＋2)＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq \f(1,2)，a4＝eq \f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq \f(2,5)，a5＝eq \f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2)＝eq \f(1,3). (2)数列{an}满足an＋1＝1－eq \f(1,an)，且a1＝2，则a2 024的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．1 【思路分析】　由递推关系计算数列的前几项，得出数列的周期，从而易得结论． 【解析】　由an＋1＝1－eq \f(1,an)及a1＝2，得a2＝eq \f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列． 而2 024＝674×3＋2，故a2 024＝a2＝eq \f(1,2). (3)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，写出{an}的前5项，并归纳出该数列的一个通项公式． 【解析】　∵a1＝0，an＋1＝an＋2n－1， ∴a2＝a1＋2×1－1＝0＋1＝1； a3＝a2＋2×2－1＝1＋3＝4； a4＝a3＋2×3－1＝4＋5＝9； a5＝a4＋2×4－1＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2. (4)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年树的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________． 【解析】　因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以前10年树的分枝数分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即第10年树的分枝数为55. 根据首项或前几项及递推公式可以写出数列的前几项，从而求出所要求的项，还可以归纳、猜想数列的通项公式，对于没给出递推公式的需要自己观察得到递推关系式，然后再求某一项；对于求角标比较大的某些项，要么能求出数列的通项公式，然后代入角标n的值求项，要么就是周期数列，利用数列的周期性求项． 思考题1　(1)图中星星图案的个数构成数列{an}，则a7＝________． 【解析】　由题图可知an＝an－1＋n，n≥2，∴a5＝a4＋5＝15，a6＝a5＋6＝21，a7＝a6＋7＝28. (2)数列{an}满足a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，其前n项的积为Tn，则T2 025＝(　　) A．1 B．－6 C．2 D．3 【思路分析】　由递推关系计算数列的前几项，得出数列的周期，从而易得结论． 【解析】　由题意a1＝2，an＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，故a2＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，因此数列{an}是周期数列，且周期是4，而a1a2a3a4＝1，所以T2 025＝T2 024×a2 025＝a1＝2. 一、利用an与Sn的关系求通项公式 例2　已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n＋1； 【解析】　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1； 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3.∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（n＝1），,2n－1（n≥2）.)) (2)Sn＝n2＋n. 【解析】　(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n. 当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，即a1能合并到an＝2n中去．∴an＝2n(n∈N*)． 由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情形可否用统一的表达式表示，若不能统一，则分段表示，即an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))解题过程简称：赋值，作差，验证． 思考题2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝ ______________________． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2)) 【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.)) (2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝eq \f(a1（3n－1）,2)，且a4＝54，则数列{an}的通项公式为an＝________． 【解析】　因为a4＝S4－S3＝eq \f(a1（34－1）,2)－eq \f(a1（33－1）,2)＝eq \f(a1,2)(81－27)＝27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1. 而2×31－1＝2＝a1，故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 二、利用递推关系求通项公式 例3　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 【解析】　方法一(迭代法)：a2＝a1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))，a3＝a2＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))，…，an＝an－1＋ln(1＋eq \f(1,n－1))(n≥2)，则an＝a1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)×\f(3,2)×\f(4,3)×…×\f(n,n－1)))＝2＋ln n(n≥2)． 又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 方法二(累加法)：an＋1－an＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝lneq \f(1＋n,n)＝ln(1＋n)－ln n， a1＝2， a2－a1＝ln 2， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …， an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 以上各式相加得an＝2＋ln 2＋ln 3－ln 2＋…＋ln n－ln(n－1)． 所以an＝2＋ln n(n≥2)． 因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n. 常见的递推关系类型及解题方法： (1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． (2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． 思考题3　已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)．求数列{an}的通项公式． 【解析】　方法一(累乘法)：∵an＝n(an＋1－an)，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,n)， ∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,1)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(3,2)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(4,3)，…，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,n－1)(n≥2)． 以上各式两边分别相乘，得eq \f(an,a1)＝eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×eq \f(4,3)×…×eq \f(n,n－1)＝n. 又a1＝1，∴an＝n(n≥2)． ∵a1＝1也适合上式，∴an＝n. 方法二(迭代法)：由题意易得an＋1＝an·eq \f(n＋1,n)，则a2＝a1×eq \f(2,1)，a3＝a2×eq \f(3,2)，a4＝a3×eq \f(4,3)，…，an＝an－1×eq \f(n,n－1)(n≥2)， ∴an＝a1×eq \f(2,1)×eq \f(3,2)×eq \f(4,3)×…×eq \f(n－1,n－2)×eq \f(n,n－1)＝n(n≥2)．又a1＝1也适合上式，∴an＝n. 例4　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(eq \f(7,8))n(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． 【解析】　假设{an}有最大项，且最大项为第n项，则当n≥2时有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋2）×（\f(7,8)）n≥（n＋1）×（\f(7,8)）n－1，,（n＋2）×（\f(7,8)）n≥（n＋3）×（\f(7,8)）n＋1，)) 解得5≤n≤6.又n∈N*，所以n＝5或6. 故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝eq \f(76,85). 求数列最大(小)项的方法： (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项，不妨设an最大，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 思考题4　(1)已知数列{an}满足an＝eq \f(n＋1,3n－16)(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项． 【思路分析】　借助数列的单调性求解． 【解析】　an＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3n＋3,3n－16)))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(19,3n－16))). 易知当n＞5时，an＞0，且{an}为递减数列，当n≤5时，an＜0，且{an}为递减数列，∴当n＝5时，an最小． (2)数列{an}满足an＝eq \f(n－\r(2 023),n－\r(2 024))，若ap最大，aq最小，则p＋q＝________． 【解析】　an＝eq \f(n－\r(2 023),n－\r(2 024))＝1＋eq \f(\r(2 024)－\r(2 023),n－\r(2 024)). 由于44<eq \r(2 024)<45，则当n≤44时，an＝1－eq \f(\r(2 024)－\r(2 023),\r(2 024)－n)<1且数列{an}为递减数列； 当n≥45时，an＝1＋eq \f(\r(2 024)－\r(2 023),n－\r(2 024))>1且数列{an}为递减数列． 所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89. 要点1　数列的单调性 与函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列． 要点2　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 要点3　an与Sn的关系 (1)把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝___________________． (2)an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(____________,________________))eq \a\vs4\al(,,,,.) 1．类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？ 答：(1)作差比较法： ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列． (2)作商比较法： ①若an>0，则当eq \f(an＋1,an)>1恒成立时，数列{an}是递增数列，当eq \f(an＋1,an)<1恒成立时，数列{an}是递减数列； ②若an<0，则当eq \f(an＋1,an)<1恒成立时，数列{an}是递增数列，当eq \f(an＋1,an)>1恒成立时，数列{an}是递减数列． (3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性． 2．如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？ 答：数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项an，则an应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1))(n≥2)．若求最小项an，则an应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1))(n≥2)．另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件． 3．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 答：确定了，理由如下： 已知数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn之间的关系如下： 当n＝1时，S1＝a1； 当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，　① Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，　② ①－②，得Sn－Sn－1＝an. 综上可知an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 此公式建立了an与前n项和Sn的等量关系，是用Sn的递推公式给出的．使用此公式求解时，要注意此公式是一个分段的形式，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an，是一个递推公式，由它推得的an不含第一项a1，所以在求通项公式时，所得的通项公式能否包含a1，必须对其检验． 1．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an).若a1＝eq \f(1,2)，则a10＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　　 B．2 C．1 D．－1 解析　由an＋1＝eq \f(1,1－an)，且a1＝eq \f(1,2)，可得a2＝eq \f(1,1－a1)＝eq \f(1,1－\f(1,2))＝2，a3＝eq \f(1,1－a2)＝eq \f(1,1－2)＝－1，a4＝eq \f(1,1－a3)＝eq \f(1,1－（－1）)＝eq \f(1,2)，所以an＋3＝an(n∈N*)，即数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a10＝a1＝eq \f(1,2).故选A. 2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N*，n≥2 B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解析　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2. 3．若数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项是第________项． 解析　令f(x)＝x＋eq \f(90,x)(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥6eq \r(10)，当且仅当x＝3eq \r(10)时等号成立．因为n∈N*，所以an＝eq \f(1,n＋\f(90,n))＜eq \f(1,6\r(10))，所以当n＝9，n＝10时，an＝eq \f(1,19)最大． 4．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是____________． 解析　由题图可知，图中火柴棒数依次为3，5，7，9，…，三角形个数依次为1，2，3，…，则an与n之间的关系式可以是an＝2n＋1. 5．若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式． 解析　因为Sn＝－2n2＋10n，所以Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，n≥2，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12(n≥2)． 当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12， 此时满足an＝－4n＋12，所以an＝12－4n. $$