4.1数列的概念(第1课时)数列的概念及通项公式-2024-2025学年高二数学下学期同步课件（人教A版2019选择性必修二）

第四章　数列 第1页 1 内容索引 数列的概念与分类 数列的通项公式 1 2 数列的函数性质 课后巩固 3 4 第1页 4．1　数列的概念 数列的概念及通项公式 第1页 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项，并能正确判断某数值是否为已知数列的项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 学习目标 第1页 同学们，我们都知道，我们生活中处处都离不开数学的，而大自然更是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？我们一起来探究这些问题吧！ 导 语 第1页 一 数列的概念与分类 第1页 观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为： 7，49，343，2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024，2 024，…，2 024； 问题1 第1页 (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； (5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，，-，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 问题1 第1页 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 第页 第1页 一列数 每一个数 第页 第1页 有限 无限 要点2　数列的分类 (1)根据数列的项数，可以将数列分为两类： ①有穷数列——项数_______的数列． ②无穷数列——项数______的数列． (2)数列还可以按照项与项之间的大小关系进行以下分类： ①递增数列．②递减数列．③摆动数列．④常数列． 第页 第1页 例1 下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)0，-1，2，-3，4，-5，…. 第页 第1页 12 【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)(5)是递减数列； (3)是常数列； (6)是摆动数列. 第页 第1页 13 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断. (2)判断数列的单调递增或递减时，一定要按照数列单调性的定义，即从第二项起，每一项均大于或小于它的前一项，不能有例外. 反思感悟1 第1页 思考题1 下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)-，，-，，…； (5)1，0，-1，…，sin ，…； (6)9，9，9，9，9，9. 第页 第1页 15 【解析】 (1)(6)是有穷数列； (2)(3)(4)(5)是无穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (6)是常数列； (5)是周期数列. 第1页 16 二 数列的通项公式 第1页 提示　对于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈； 对于(2)，an=，n∈N*； 对于(3)，an=2 024，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(5)，an=，n∈N*. 我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 问题2 第1页 按一定顺序 第页 第1页 要点4　数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}． 第页 第1页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 25 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 数列的函数性质 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第1页 √ 第1页 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 要点1　数列的概念 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的_______称为数列． (2)数列中的_________叫做这个数列的项． (3)数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1叫做首项． 要点3　数列的表示方法 (1)列举法：将每一项______________，一一列举出来． (2)图象法：由于数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})，因此，数列的图象是以(n，an)为坐标的无限(或有限)个孤立的点． (3)通项公式法：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 1．{an}与an有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而an表示数列的第n项． 2．数列与集合有何区别？ 答： 数列 集合 各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与3，2，1代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{3，2，1} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，…组成的集合只能写为{1} 3.是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯一？ 答：①不是，如eq \r(2)的不足近似值组成的数列1.4，1.41，1.414，…就没有通项公式． ②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝－(－1)n＋1，也可以写成an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1（n为奇数），,1（n为偶数）.)) 4．下列有关数列的说法是否正确？ (1)同一数列的任意两项均不可能相同； (2)数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列； (3)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}； (4)数列中的每一项都与它的序号有关． 答：(1)错误，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；(2)错误，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；(3)错误，{1，3，5，7}是一个集合；(4)正确． 例1　根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项． (1)an＝eq \f(n,n＋1)； 【解析】　(1)a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(3,4)，a4＝eq \f(4,5)，a5＝eq \f(5,6). (2)an＝eq \f(3＋（－1）n,n). 【解析】　(2)a1＝2，a2＝2，a3＝eq \f(2,3)，a4＝1，a5＝eq \f(2,5). 已知数列的通项公式，求数列中的项，只要用序号代替公式中的n，就可以写出数列中的任意一项． 思考题1　将数列{2n－1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a3＝________． 例2　写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…； 【思路分析】　考查数列各项的结构特点，联想基本数列． (1)分母依次是2，4，8，…，即2n，而分子比分母少1. 【解析】　(1)an＝eq \f(2n－1,2n). (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…； 【思路分析】　(2)将分母统一为2，分子恰为平方数． 【解析】　(2)an＝eq \f(n2,2). (3)0，1，0，1，0，1，…； 【思路分析】　(3)这是个摆动数列，可寻找其平衡位置，并用(－1)n去调节． 【解析】　(3)an＝eq \f(1＋（－1）n,2)(或an＝eq \f(1＋cos nπ,2)或an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数)))． (4)－1，eq \f(3,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(3,4)，－eq \f(1,5)，eq \f(3,6)，…； 【思路分析】　(4)此数列的每一项都分为三部分：分子、分母、符号．奇数项都为负，且分子都是1，偶数项为正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，…，正负号可以用(－1)n调节． 【解析】　(4)an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)（n＝2k－1），,\f(3,n)（n＝2k）))(其中k∈N*)，由于1＝2－1，3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成an＝(－1)n·eq \f(2＋（－1）n,n). (5)9，99，999，9 999，99 999，…. 【思路分析】　(5)与数列各项关系最密切的数列为10，100，1 000，10 000，100 000，…. 【解析】　(5)an＝10n－1. 由前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略： (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等． (2)具体策略： ①应注意分式中分子和分母的特征、相邻项的变化特征、拆项后的特征、各项的符号特征和绝对值特征等； ②化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ③对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*处理． 思考题2　写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)1，－3，5，－7，9，…； 【解析】　(1)an＝(－1)n＋1(2n－1)． (2)eq \f(22－1,3)，eq \f(32－2,5)，eq \f(42－3,7)，eq \f(52－4,9)，…； 【解析】　(2)an＝eq \f(（n＋1）2－n,2n＋1). (3)5，55，555，5 555，…； 【解析】　(3)an＝eq \f(5,9)(10n－1)． (4)eq \f(1,3)，1，eq \f(9,5)，eq \f(8,3)，…. 【解析】　(4)an＝eq \f(n2,n＋2). 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ 【解析】　(1)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝eq \f(34,3)或n＝－2. 因为eq \f(34,3)∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项． (2)数列{an}中有多少个负数项？ 【解析】　(2)an＝n(3n－28)，令an<0，又n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． (3)求该数列中的最小项． 【解析】　(3)an＝3n2－28n，令f(x)＝3x2－28x，其图象的对称轴为x＝eq \f(14,3)，又∵n∈N＋.∴当n＝5时，an取得最小值，最小值为a5＝－65. 判断某一数是否为数列中的项，先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程，若方程的解为正整数，则是数列的某一项，若方程无解或是解不是正整数，则不是该数列的一项．亦即只需看这个数能否表示为通项公式的形式，谨记数列为特殊的函数，自变量只能取正整数，(n，an)为通项公式所对应的函数图象上离散的点． 思考题3　若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？ 【解析】　因为{an}为递增数列，所以an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn.则λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3. 1．给出下列四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数； ②数列用图象表示时，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列的通项公式是唯一的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①②③ C．②③ D．①②③④ 解析　数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，数列的通项公式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是an＝sineq \f(nπ,2)，也可以是an＝coseq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋3))π,2).故①②正确，③④错误．故选A. 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n) 解析　A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 3．数列eq \f(1,3)，－eq \f(1,2)，eq \f(3,5)，－eq \f(2,3)，…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)neq \f(1,4－n) B．an＝(－1)n－1eq \f(1,4－n) C．an＝(－1)neq \f(n,n＋2) D．an＝(－1)n－1eq \f(n,n＋2) 解析　方法一：将n＝1，2，3，4代入各选项验证易得答案． 方法二：将数列eq \f(1,3)，－eq \f(1,2)，eq \f(3,5)，－eq \f(2,3)，…变为eq \f(1,3)，－eq \f(2,4)，eq \f(3,5)，－eq \f(4,6)，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an＝(－1)n－1eq \f(n,n＋2). 4．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n是奇数，,2n－2，n是偶数，)) 则a2·a3＝(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 解析　因为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n是奇数，,2n－2，n是偶数，))所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 5．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，第n项an是一次函数当x＝n时的函数值． (1)求数列{an}的通项公式，并画出它的图象； 解析　(1)设an＝an＋b(a≠0)，∴a1＝2＝a＋b，a17＝17a＋b＝66. ∴a＝4，b＝－2.∴an＝4n－2(n∈N＋)．图象如图所示． (2)88是否是数列{an}中的项？ 解析　 (2)令4n－2＝88，得n＝eq \f(45,2)∉N＋，故88不是{an}中的项． $$