专题05 矩形的重难点题型归纳（十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题05矩形的重难点题型归纳（十二大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形中，点E、F为对角线上两点，，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先得出，根据矩形的性质得出，，再得出，进而求出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在边上，且平分，若，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案．本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：矩形中，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线求出，由此得到，再根据三角形外角性质求出答案． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 8．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，矩形的对角线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先求解，证明是等边三角形，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、含的直角三角形特征、勾股定理，解题关键是熟练掌握含的直角三角形特征． 结合矩形性质得到和，再由含的直角三角形特征得到、的长，最后由勾股定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， ，， ， ， ， ，， 中，． 故选：． 10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故答案为： ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由求得答案． 【详解】解：连接， ∵长方形中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在矩形中，的角平分线与交于点， 的角平分线与 交于点， 若，点 是 的中点，则 的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义得到，由勾股定理得到，如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质定理可证，得到，再证，得到，设，则，，由列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，，即，且， ∴，且， ∴， ∴， ∵点 是 的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴由得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 13．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 14.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 15．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等． 首先根据等腰直角三角形的性质证得，从而得到，，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 16．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 17．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 18．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 19．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 20．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 21．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 22．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故选B． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形中，， ，根据折叠的性质得到 设，则由勾股定理得到，，列方程即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，， 根据折叠的性质得到 设，则 由勾股定理得到，， 即 解得 即的长度为， 故选：D 24．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案． 【详解】解：根据题意得： 把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ，，，， ， ， 在矩形中，， ， 在中， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， 矩形的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 25．（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，一块矩形纸片的宽为，点E在上，如果沿图中的对折，点B的对应点为，若点恰好落在上，此时，则的长为 （）． 【答案】12 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由折叠可知，进而得到，由平行线的性质得，利用含30度角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处， ∴,由折叠可知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴,解得， ∴． 故答案为：． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 27．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结，    ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度． 【答案】34 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， ， ，， ， ，， ， ∵ ∴． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：16． 30．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴ 故答案为： ． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 31．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 33．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 故选：． 34．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 35．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 36．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形；理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． （1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件． （2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． （2）解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． 37．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三个角是直角的四边形是矩形． 根据题意得出，再根据平行四边形的性质证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 38．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键． （1）根据得出，再结合平行四边形的性质即可证明； （2）先推得，，再证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）证明：， 又四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． （2）解：若， 又， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 40．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 41．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 43．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 44．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再由，得， 则四边形是平行四边形，再证即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴的面积， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ． 45．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由在平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论；（2）由矩形的性质得到，进而求得，，由可求得，由勾股定理可求得∴，，由平行四边形性质得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 46.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取的中点E，连接，则，，当三点共线时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7； 故选：A． 47．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号， ∴的最大值为， 故选：D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 49．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，     的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为， 故选：C． 50．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 51．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 【答案】4 【分析】要想求出长度的最小值，把转化成，只需要求出的最小值即可，根据垂线段最短，当时最小，再根据含的直角三角形的性质即可解决此题． 【详解】取的中点F，连接，过点F作于点． 则． 当时最小，最小，此时点D与G重合． ∵ ． 设 在中 ∴ ∴， ∴ ， ∴线段长度的最小值为4． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是要想到把转化成． 52．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 53．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 54．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作于点E，连接，证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，由面积求得，当M运动到E位置时，，取得最小值，得的最小值为． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当M运动到E位置时，，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 56．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)存在，t的值为和4，详见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图， ∵动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）存在， 当为边时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为或4； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 58．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）作于点，由矩形的性质及得，，，，则，而，则，于是得到问题的答案； （2）作于点，由折叠得，，，因为，且，所以，求得，则，由，求得，则此时到直线的距离为6； （3）分两种情况讨论，①，作于点，则，且，由，且，得，求得；②，由，得，求得． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 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11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在矩形中，的角平分线与交于点， 的角平分线与 交于点， 若，点 是 的中点，则 的长为 ． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 13．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 14.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 15．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 16．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 17．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 18．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 19．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 20．（20-21八年级下·江苏扬州·期中）将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 21．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 24．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，一块矩形纸片的宽为，点E在上，如果沿图中的对折，点B的对应点为，若点恰好落在上，此时，则的长为 （）． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 27．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度． 29．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 30．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 31．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 35．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 36．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 37．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 38．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 40．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 41．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 42．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 43．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 44．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 45．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 46.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 47．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 49．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 50．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 51．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 52．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 53．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 54．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 55．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 56．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 57．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 58．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$