专题04 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题04 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级下·江西·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 12．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 【题型3 利用平行四边形求面积】 14．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 15．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 16．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线交于点P．则点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知在平行四边形中，点A，B，C的坐标分别是，，，则点D的坐标是 ． 22．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D在坐标轴上，若点A的坐标为，，，则点C的坐标为 ． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____． 29．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【题型6 平行四边形中的折叠问题】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 32．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 2．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质可知，再结合求出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）平行四边形中，若比小，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质确定，把代入即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形中，比小， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 7．（24-25八年级下·江西·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30度的特殊直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．，作于点，由作图可知，平分，可求，再证明，得，从而，然后求出、的长即可求解． 【详解】解：如图，作于点， 由作图可知，平分 四边形是平行四边形 ， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 【答案】15 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， ， 的周长． 故答案为：15． 【题型3 利用平行四边形求面积】 14．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的面积，可知，根据是中点，可知，最后根据平行四边形的对角线互相平分，推出是中点，从而得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形且面积为8 ， 又为中点 故选：C． 15．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质易得，进而得到，又由 即可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的面积为20， ∴， 故答案为：5． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 17．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平移的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，再由平移的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴向点的平移方向与距离与点向的平移方向与距离一样， ∵A，C，D的坐标分别是， ∴由平移的性质得到 故选：D． 18．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 19．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴上，点A坐标为，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点F，作射线交于点P．则点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与计算，等腰三角形的判定，理解题意，证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解 再证明 从而可得答案． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴ ∵， 由作图可得：平分 ∴， 故选：C 20．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质和平移，根据题意先确定点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，根据相同的平移方式即可得到N点坐标. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到， ∴点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，即N点坐标是， 故选：B 21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知在平行四边形中，点A，B，C的坐标分别是，，，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形， 根据平行四边形的性质得到，，进而求解即可． 【详解】∵在平行四边形中，点A，B，C的坐标分别是，，， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故答案为：． 22．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D在坐标轴上，若点A的坐标为，，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，先求出，再证明推出，进一步求出，由平行四边形的性质得到，即轴，由此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线，理解当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大是解题关键．连接，由G，H分别为的中点，结合三角形中位线定理可知．最后根据当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵G，H分别为的中点， ∴． 当时，最短，即此时最小，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 当点F与点C重合时，最长，即此时最大，如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：，． 26．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出，再根据垂线段最短可得当时，的长的最小；再根据平行四边形的性质可知,即的长的最小值就是线段长的最小值，据此即可解答即． 【详解】解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，中，，P是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，由垂线段最短可得当时，最短，由平行四边形对角线互相平分得，根据勾股定理得, 根据等积关系得，从而可求出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点在上， ∴当时，最小， ∵是对角线， ∴是的中点， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质于判定，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，取的中点，取中点，连接，则由三角形中位线定理，据此可得三点共线，则点在上运动，故当时，最小；再证明，由三线合一定理得到，则，即当点G与点重合时，最小，设交于H，则，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即最小值为． 【详解】解：如图所示：连接，取的中点，取中点，连接， ∴分别是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知三点共线， 点在上运动， ∴当时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴当点G与点重合时，最小， 设交于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 29．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 过点F作交于点P，则四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 延长到点，使连接则 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小，为 ∴的最小值为 在中， ∴四边形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 32．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质得，先证明为等腰直角三角形，求出 ，在中，求出，，在中，求出，在中，即可求． 【详解】解：∵将沿若所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ， ∴， 由勾股定理得： 解得：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处， ，， 四边形纸片为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 【答案】/126度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，由折叠得，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断． 【详解】解：如图， A、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； C、， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、 ，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定性质，三角形全等的判定与性质，．由平行四边形性质得，，，证明，，进而推出，证明，得，进而可得，又因为，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理．根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得出，进而证明四边形是平行四边形，则，在中，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 又∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则 ∵ ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴四边形的面积为 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点． （1）由平行四边形的性质得出，且，由中点的定义得出，结合已知条件即可得出，进一步证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出． （2）过点C作于点H．由平行线的性质得出，则，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图，过点C作于点H． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得： ． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$