2025届高考数学二轮复习专题训练-排列组合二项式定理（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练 9.2排列组合二项式定理 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有( ) A.288种 B.296种 C.362种 D.384种 2．若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为( ) A.54 B. C.108 D. 3．现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤萓老人”爱心志愿活动,若每家养老院安排2名同学,且每名同学只前往一家养老院,则共有安排方法( ) A.30种 B.60种 C.90种 D.120种 4．已知的展开式中的系数为17.则实数a的值为( ) A. B. C.1 D.2 5．在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢,氧,钠,嵄,铝,硅,磷,硫,氯,钾这10种,现从这10种元素中随机选取3种,若选取的3种元素中至少包含1种金属元素,则不同选取方法种数是( ) A.60 B.85 C.100 D.120 6．北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为( ) A.2880 B.1440 C.720 D.576 7．5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为( ) A. B. C. D. 8．定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是( ) A.35 B.32 C.29 D.20 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知展开式的所有二项式系数之和为256，若，则( ) A. B. C. D. 10．关于的展开式，下列判断正确的是( ) A.展开式共有7项 B.展开式的各二项式系数的和为64 C.展开式的第6项的系数为30 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 11．已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是( ) A.n的最小值为10 B.当n取最小值时，展开式的二项式系数的和为32 C.当时，展开式中的常数项为45 D.当时，展开式中没有项 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．展开式中的系数为_________.（用数字作答）. 13．在的展开式中,仅第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是_________. 14．已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为_________.（用最简分数作答） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究,历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将,,,…,共n个元素排列在,,,…,共n个位置上,其中有m个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为,,）.容易得到,,,,规定. （1）计算:,; （2）记,的前n项和为,证明:; （3）定义错排概率为随机将,,,…,共n个元素排列在,,,…,共n个位置上,其中恰有m个元素不在其对应位置上的概率,证明:. 16．某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按随机的顺序用绳子穿成“串”（穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位），再将绳子首尾相接连成“环”.小王现在选了6个红珠4个蓝珠穿成一个“串”. (1)如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求这两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠的概率； (2)在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两串.设4个装饰珠串里红珠的个数为随机变量X，求X的分布列与期望； (3)如果小王选了个红珠和个蓝珠以任意顺序连成一个“环”，求证：只需要在合适的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是m个红珠和n个蓝珠. 17．因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发,德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法.用二进制记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进一,例如:自然数1在二进制中就表示为,2表示为,3表示为,5表示为.发现若可表示为二进制表达式,, 则,其中,或. （1）记,,,求证: （2）记为整数n的二进制表达式中的0的个数,如,, (i)求的值; (ii)求的值. 18．已知,． (1)求的值; (2)求的值; (3)求的值． 19．的展开式中的系数为________.（用数字作答） 参考答案 1．答案：D 解析：首先4，5，6三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 2．答案：A 解析：方法一：令，可得，所以，则展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为.故选A. 方法二：令，可得，所以，展开式中的常数项为.故选A. 3．答案：C 解析：方法一：首先把6名同学分成3个小组,有（种）分组方法,再让3个小组分别前往不同的养老院, 因此共有安排方法（种）, 方法二：设3家养老院的编号依次为1、2、3,首先安排1号养老院, 有（种）,再安排2号养老院,有（种）,最后安排3号养老院,有（种）, 根据分步乘法计数原理,因此共有安排方法（种）, 故选：C. 4．答案：A 解析：根据题意，的展开式通项为， 所以的展开式中为： ， 则，解得. 故选：A 5．答案：C 解析：总的选取方法有种, 全是非金属元素的选取方法有种. 所以至少包含1种金属元素的选取方法有种. 故选：C. 6．答案：A 解析：先将4名女生排在一起，有种方法， 再将4名女生作为一个整体和4名男生排列， 有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 7．答案：D 解析：每个毕业生都有4种不同选法， 所以不同选法的种数为. 故选：D 8．答案：A 解析：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”. 故选：A. 9．答案：ABD 解析：由题意知，所以，故选项A正确； 由二项式的展开式通项为， 令，得， 所以，故选项B正确； 令，得； 令，得，所以，故选项C错误； 二项式的展开式通项为， 所以x的奇数次幂的系数均为负数， 偶数次幂的系数均为正数，即，，，为负数， ，，，，，为正数， 令，得， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 10．答案：ABD 解析：对于A，展开式共有7项，故A正确； 对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 对于C，展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 对于D，展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：ABD 11．答案：BCD 解析：展开式的通项，要使展开式中存在常数项，则. 选项A：所以n的最小值为5，故A错误. 选项B：由A知当n取最小值时，二项式系数的和为，故B正确. 选项C：当时，常数项为，故C正确. 选项D：令，得，不符合题意，所以当时，展开式中没有项，故D正确. 12．答案：-28 解析：因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为-28. 故答案为：-28 13．答案：和 解析：若展开式中仅第5项的二项式系数最大,则展开式中共9项, 所以,展开式的通项为, 令,解得,当时系数最大的项是, 当时系数最大的项是. 14．答案： 解析：设等比数列的首项为，公比为，则. 当公比为q时，设取出来的四项为，，，，， 由，，则解得， 所以，此时有17种情况； 当公比为时，设取出来的四项为，，，，， 由，，则解得， 所以，此时有14种情况；…； 当公比为时， 设取出来的四项为，，，，， 由，，则 解得，，所以， 此时有种情况； 这是一个首项，公差的等差数列， 那么按原来顺序仍然成等比数列的组合数的总和种. 在的前20项中随机抽取4项，共有种取法， 故这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为. 15．答案：（1）9,44 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）可以排在,,上,有种排法. 不妨设排在上,接下来讨论. 当排在上时,剩下两个元素,的排法有（种）. 当不排在上时,可以排在,上,有种情况. 若排在上,剩下两个元素,只有1种排法. 所以. 可以排在,,,上,有种情况. 不妨设排在上,接下来讨论, ①当排在上时,剩下三个元素,,分别不排在,,上, 则,,的不同排法有（种）. ②当不排在上时,可以排在,,上,有种排法, 若排在上,接下来讨论. （ⅰ）当排在上时,剩下两个元素,的排法有（种）; （ⅱ）当不排在上时,可以排在,上,有种排法, 剩下两个元素,只有1种排法. 故. （2）当时,,满足. 当时,要证明,只需证明, 所以只需证明,. 当时,,成立. 回到定义,当时,对于,不妨从开始排列, 设排在上,有种排法. 接下来讨论, ①当排在上时,剩下,,…,,,…,共个元素 分别不在,,…,,,…,上, 共有种排法. ②当不排在上时, 因为,,…,,,…,分别不在,,…,,,…,上, 所以,,…,,,…,共个元素 分别不在,,…,,,…,上, 共有种排法. 所以. 所以,, 即,. 综上,成立. （3）根据定义, 先从n个元素中选出m个元素,再对它们进行排列,并使它们均不排在对应位置上, 所以. 所以. 不妨记, 则,且,,, 得, 则, 故是等比数列,且公比为, 又,所以, 变形得, 则当时,,, ,, 累加得 经检验,也符合上式, 所以, 所以. 16．答案：(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 解析：(1)设两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠为事件A， 则. (2)随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以，. (3)编号：任选一个红珠记其编号为1， 并按顺时针方向依次给每个装饰珠编号2，3，4，5，6，，； 编组：1号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠， 共个装饰珠编为一组，称为1号组； 2号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠， 共个装饰珠编为一组，称为2号组；， 共组，每组均有个装饰珠. 有以下结论： ①不可能每组中红珠都多于或少于m个. 因为每个装饰珠都同时在组中， 所以每组中的红珠数目之和为， 若每组中红珠都多于（或少于）m个，因为共组， 则此时红珠总数会多于（或少于）， 与每组中的红珠数目之和为矛盾. ②相邻两组中红珠数量最多相差1. 因为后一组的装饰珠为前一组的装饰珠去掉第一个并在最后加上一个， 所以它们之间只有2个装饰珠有区别， 前一组装饰珠的第一个可能为红珠或蓝珠， 最后加上的这一个也可能为红珠或蓝珠， 所以有以下四种情形：去掉红珠，加上红珠； 去掉红珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上红珠. 不论哪种情况，相邻两组中红珠数量只能相差1或0. 现假设没有任何一组中的红珠数量为m， 由①知，必存在两相邻号组A，B，A中红珠数 B中红珠数，即二者红珠数至少相差2，与②矛盾. 因此，必有某号组恰好有m个红珠，n个蓝珠， 在该号组的两侧各剪一刀，即可满足条件. 17．答案：（1）证明见解析 （2）（ⅰ）5; （ⅱ）9841 解析：（1）根据题意有 , , , , ; （2）（ⅰ）, , （ⅱ）, ,故从到中, 有、、…、共9个, 有个,由,即共有个 有个,由,即共有个 …, 有个, . 18．答案：(1) (2)0(3) 解析：(1)二项式展开式的通项为：(且), 所以,所以． (2)令,得, 令,得, 所以． (3)因为展开式的通项为(且), 所以当k为奇数时,项的系数为负数． 所以, 令,得, ． 19．答案：-40 解析：的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：-40. 学科网（北京）股份有限公司 $$