6.2.3～6.2.4组合与组合数（八个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019选修三）

6.2.3~6.2.4组合与组合数 一、组合问题的判断 五、有限制的组合问题 二、组合数的化简求值及证明 六、多面手问题 三、组合数方程及不等式 七、相同元素的分配问题 四、组合数的性质 八、（不）平均分组问题 知识点1平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 知识点1组合的定义及组合数 1.组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 3.组合数的性质:（1） ;（2）. 重难点一、组合问题的判断 【例1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( ) （2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.( ) （3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．( ) （4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.( ) 【例2】从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【变式1-1】“”“”与“”是三种不同的组合．( ) 【变式1-2】判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 【变式1-3】判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 重难点二、组合数的化简求值及证明 【例3】（多选）已知n是正整数，则（   ） A． B． C． D． 【例4】下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】证明：． 【变式2-2】证明下列各等式． (1)＝； (2). 【变式2-3】（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点三、组合数方程及不等式 【例5】若，则的值为 ． 【例6】不等式的解集为 ． 【变式3-1】已知，求、的值． 【变式3-2】已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3-3】（1）求值： （2）求关于的不等式的解集． 重难点四、组合数的性质 【例7】若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【例8】解方程： (1)； (2)解方程：. 【变式4-1】满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【变式4-2】已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【变式4-3】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 知识点2组合数的应用 1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 2.多面手问题：对于多面手问题,在弄清楚多面手的人数后,只需按照多面手参加其中某项活动的人数来分类,剩余多面手在另一种活动中待选,这样可以做到不重不漏. 3.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 4.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 5.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 重难点五、有限制的组合问题 【例9】随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（   ） A．252 B．105 C．357 D．324 【例10】某校开设A类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有(    ) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 【变式5-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．若至多有2种假货在内，则不同的取法有多少种？ 【变式5-2】25人排成方队，现从中选3人，要求3人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种． 【变式5-3】从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 重难点六、多面手问题 【例11】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【例12】已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【变式6-1】“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【变式6-2】9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【变式6-3】某篮球队友12名队员，有6名只打前锋，4名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫），则出场阵容共有 种. 重难点七、相同元素的分配问题 【例13】将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【例14】《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【变式7-1】高二年级将10个优秀团员的名额分配给3个班级，一共有 种分法. 【变式7-2】已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对有 种可能． 【变式7-3】如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“好数”，则“好数”的个数为（    ） A．48618个 B．48619个 C．48620个 D．以上答案都不对 重难点八、（不）平均分组问题 【例15】为进一步了解学生的学习和生活，某校选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有 种． 【例16】2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 【变式8-1】随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事．现某城市举办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工作人员分组方法种数为 ． 【变式8-2】甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 . 【变式8-3】加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 种. 一、单选题 1．下面问题中，是排列问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 2．（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 3．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（   ） A．10种 B．12种 C．15种 D．18种 4．某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 5．已知x、y满足组合数方程，则xy的最大值是（    ） A．64 B．128 C．256 D． 6．使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 二、多选题 7．对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．从七个组合数，，，，，，中任取三个组合数，则（    ） A．三个组合数中含有最大的组合数的取法有种 B．三个组合数中含有最小的组合数的取法有种 C．三个组合数中同时含有最大与最小的组合数的取法有种 D．三个组合数中有相等的组合数的取法有种 三、填空题 9．若，则 ． 10．在棱长均相等的直三棱柱中，甲，乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为 . 11．现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 四、解答题 12．求值（用数字表示） (1) (2) (3) 13．某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 14．（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 15．第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3~6.2.4组合与组合数 一、组合问题的判断 五、有限制的组合问题 二、组合数的化简求值及证明 六、多面手问题 三、组合数方程及不等式 七、相同元素的分配问题 四、组合数的性质 八、（不）平均分组问题 知识点1平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 知识点1组合的定义及组合数 1.组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式：,这里,并且. 规定. 3.组合数的性质:（1） ;（2）. 重难点一、组合问题的判断 【例1】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( ) （2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.( ) （3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．( ) （4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.( ) 【答案】 正确 正确 错误 错误 【详解】（1）因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． （2）由组合数的定义可知正确． （3）因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题． （4）由于4张票是相同的，故相当于从5人中选4人的组合问题． 故答案为：正确；正确；错误；错误. 【例2】从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】B 【详解】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 但是由于，等， 所以相加问题不是组合问题，只有相乘问题是组合问题． 故选：B． 【变式1-1】“”“”与“”是三种不同的组合．( ) 【答案】错误 【详解】由于组合与顺序无关，所以“”“”与“”是一种情况，故错误. 故答案为：错误. 【变式1-2】判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题 (5)组合问题 【详解】（1）因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题． （2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题． （3）因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． （4）因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题． （5）因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题． 【变式1-3】判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)组合问题 (2)选出正、副班长各一名是排列问题，选代表参加会议是组合问题． 【详解】（1）由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题． （2）选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题． 重难点二、组合数的化简求值及证明 【例3】（多选）已知n是正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】正确； ，正确， ，错误， 由可知，D错误， 故选：AB 【例4】下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 【变式2-1】证明：． 【答案】证明见解析 【详解】由题意可得： ， 所以. 【变式2-2】证明下列各等式． (1)＝； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由，知右边 所以，左边右边，故原式成立． （2）由组合数的性质，知左边 所以，左边右边，故原式成立． 【变式2-3】（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确； 若，则，所以B错误； 若，则，所以C正确； 因为， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 重难点三、组合数方程及不等式 【例5】若，则的值为 ． 【答案】140 【详解】因为，所以， 解得，负值舍去， 则． 故答案为：140 【例6】不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式化为：，整理得，解得，而， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3-1】已知，求、的值． 【答案】， 【详解】由，得，则，即， 由，得，即， 整理得，即，因此，. 【变式3-2】已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【详解】即为，所以， 是正整数且，因此解得， 故选：C． 【变式3-3】（1）求值： （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）466；（2） 【详解】解：（1）由可得： ，解得， 则； （2）不等式， 即不等式， 解得， 又因， 所以关于的不等式的解集为. 重难点四、组合数的性质 【例7】若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【答案】C 【详解】因为，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 【例8】解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 【变式4-1】满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【答案】 【详解】由， 得，或， 解得：或 故答案为： 【变式4-2】已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【详解】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或 【变式4-3】若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【答案】B 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 知识点2组合数的应用 1.有限制条件的组合问题：①直接法：“特殊元素优先选取”的原则；②间接法：先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法 2.多面手问题：对于多面手问题,在弄清楚多面手的人数后,只需按照多面手参加其中某项活动的人数来分类,剩余多面手在另一种活动中待选,这样可以做到不重不漏. 3.平均分组问题：一般先分堆，再除以. 4.不平均分组问题：先分堆，其中有组个数一样，再除以 5.相同元素的“分配”问题：“隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 重难点五、有限制的组合问题 【例9】随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉限的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，每类场景至多选2张，则8张照片中恰有两类照片是2张的不同的选择方案种数为（   ） A．252 B．105 C．357 D．324 【答案】B 【详解】由题，先从7类照片中选2类，有种方法； 再选剩下4张，有种方法，则共有种方法. 故选：B 【例10】某校开设A类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有(    ) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 【答案】B 【详解】从A类选修课中选两门有种选法，从类选修课中选两门有种选法， 因此，共有种选法. 故选：B. 【变式5-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．若至多有2种假货在内，则不同的取法有多少种？ 【答案】6090种． 【详解】法一：（间接法）选取3种的总数为， 因此共有选取方式（种）． ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种． 法二：（直接法）选取3种真货有种，选取2种真货有种，选取1种真货有种， 因此共有选取方式（种）． ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种． 【变式5-2】25人排成方队，现从中选3人，要求3人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种． 【答案】600 【详解】将这个问题退化成“9人排成方队，现从中选3人，要求3人既不在同一行也不在同一列， 有多少种不同的选法”的问题．这样每行必选1人，从其中的一行中选取1人后， 把这个人所在的行列都划掉，如图所示为其中一种情况．    如此继续下去，从方队中选3人的方法共有种． 再从方队中选出方队便可解决问题．从方队中选取3行3列有种选法， 所以从方队中选取既不在同一行也不在同一列的3人， 不同的选法有（种）． 故答案为：600 【变式5-3】从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 【答案】96 【详解】若所有相对的棱涂同一种颜色，共用3种颜色，有种方法， 若所有相对的3对棱中有2对对棱涂同色，共用4种颜色，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为： 重难点六、多面手问题 【例11】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 【例12】已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【答案】 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 【变式6-1】“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【答案】C 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 【变式6-2】9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【答案】 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 【变式6-3】某篮球队友12名队员，有6名只打前锋，4名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫），则出场阵容共有 种. 【答案】636 【详解】按甲乙二人打后卫的人数分三类： （1）甲乙二人都不打后卫：； （2）甲乙二人有一人打后卫：； （3）甲乙二人都打后卫：. 所以，出场阵容共有种. 故答案为：. 重难点七、相同元素的分配问题 【例13】将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【答案】35 【详解】先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种. 故答案为：35. 【例14】《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【答案】D 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 【变式7-1】高二年级将10个优秀团员的名额分配给3个班级，一共有 种分法. 【答案】66 【详解】本题相当于10个名额和2个虚名额分配给3个班级，利用隔板法解决， 从12个位置中选2个位置放隔板，共有种分配方法. 故答案为：66 【变式7-2】已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对有 种可能． 【答案】126 【详解】先将拆成个，并排成一排，于是正整数，，，，表示在这个中占有的个数， 然后用四个隔板把这一列分为五组，由于这一列数中间有个空， 因此四个隔板的放置方法种数为（种）．因此不同的有序实数对有种可能． 故答案为： 【变式7-3】如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“好数”，则“好数”的个数为（    ） A．48618个 B．48619个 C．48620个 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】设好数，则， 设，则，且， 考虑的非负整数解的个数，去掉对应的一组解，所求个数为个． 故选：B. 重难点八、（不）平均分组问题 【例15】为进一步了解学生的学习和生活，某校选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有 种． 【答案】 【详解】选派6名老师去A，B，C三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：； 不同的安排方式有：(种) 故答案为： 【例16】2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 【答案】B 【详解】将6名志愿者按和分成3组，不同分组方法种数为， 再将每一种分法的3组安排到三个站点有种， 则不同安排的方法数为（种）. 故选：B. 【变式8-1】随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事．现某城市举办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工作人员分组方法种数为 ． 【答案】18 【详解】志愿者分组情况有（种），搭配3名医生有（种）． 故答案为：. 【变式8-2】甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 . 【答案】18 【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步： 第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组， 则有种分组方法； 第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况； 则由分步计数原理可得， 甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法. 故答案为：18. 【变式8-3】加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 种. 【答案】90 【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生， 要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生， 则把五位同学分3组，且三组人数为，然后分配给3位专家， 所以不同的安排方法共有种. 故答案为：90. 一、单选题 1．下面问题中，是排列问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【答案】A 【详解】解：对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 则共有种排法，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题. 故选：A. 2．（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【详解】 . 故选：C 3．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（   ） A．10种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】A 【详解】四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盛亮灯，即不同的开灯方案有（种） 故选：A 4．某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 【答案】B 【详解】题意将7名护士分成5个小组，每组人数分别为，共有种安排方法， 则医生被安排到只有1名护士的组别，故不同的安排方法共有（种），故选：B． 5．已知x、y满足组合数方程，则xy的最大值是（    ） A．64 B．128 C．256 D． 【答案】B 【详解】解：，满足组合数方程， ，或， ，， 或，即． 综上，当时，取最大值128． 故选：B 6．使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（    ） A．66 B．78 C．72 D．70 【答案】C 【详解】解：因为且， 所以，，，共12组整数解， 对应12个整点，即，，，，， ，，，，，，. 又因为表示不经过原点的直线， 所以当直线与圆相交于两个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 当直线与圆相切于一个整点时，共有条直线， 且对应有实数对的个数为； 综上符合要求的实数对的个数为. 故选：C. 二、多选题 7．对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A. 由组合数公式知：，故错误； B. 由组合数公式知：，，则，故正确； C. 由组合数公式知：，，，所以，故正确； D. 由排列数公式知：，所以，故错误； 故选：BC 8．从七个组合数，，，，，，中任取三个组合数，则（    ） A．三个组合数中含有最大的组合数的取法有种 B．三个组合数中含有最小的组合数的取法有种 C．三个组合数中同时含有最大与最小的组合数的取法有种 D．三个组合数中有相等的组合数的取法有种 【答案】ABD 【详解】七个组合数，，，，，，即，，，，，，， 最大的组合数为，最小的组合数为， 相等的组合数有，，， 对于A，从七个组合中任取三个组合数，含有最大的组合数的取法有种结果，正确； 对于B，从七个组合中任取三个组合数，含有最小的组合数的取法有种结果，正确； 对于C，从七个组合中任取三个组合数，同时含有最大与最小的组合数的取法有种结果， 错误； 对于D，从七个组合中任取三个组合数含有相等的组合数的取法有种结果，正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．若，则 ． 【答案】5 【详解】已知， 根据组合数性质可得或. 当时，可得.但因为，舍去； 当时，解得，则成立，也满足的条件. 故答案为：5 10．在棱长均相等的直三棱柱中，甲，乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为45°的概率为 . 【答案】 【详解】如图，夹角为的两条直线只能是侧面的一条对角线和这个侧面的四条边或是另一条侧棱， 例如直线与直线，，，，的夹角均为， 其中面对角线有6条，共对， 甲，乙两人的所有取法为，故其概率为. 故答案为：. 11．现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 . ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 四、解答题 12．求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【答案】(1)64 (2)15 (3)或 【详解】（1） ； （2）； （3）依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时，. 13．某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. （2）从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得，   因为，所以，所以的最小值为. 14．（1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式 （2）由展开得，因， 故可化简得：， 解得或（舍），故. 15．第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 【答案】(1)63 (2)540 【详解】（1）由题意知可去名裁判， 所以共有（种）不同的安排方法. （2）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下： ①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法； ②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法； ③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法. 综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判， 共有（种）不同的安排方法. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$