14 专题突破七 电磁感应中的动力学、能量和动量问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教版2019）

专题突破七 电磁感应中的动力学、能量和动量问题 本专题主要研究三类问题，一是电磁感应中的动力学问题，二是电磁感应中的能量问题，三是电磁感应中的动量问题。电磁感应中的动力学问题要结合牛顿第二定律，进行受力分析；电磁感应中的能量问题要结合能量守恒定律，进行功能关系分析；电磁感应中的动量问题，要结合动量定理和动量守恒定律分析。 突破点一　电磁感应中的动力学问题 1．电磁感应问题中的两个研究对象及它们之间的相互制约关系。 2．电磁感应现象中涉及具有收尾速度的力学问题时，关键是做好受力情况和运动情况的动态分析。 处理此类问题的基本方法： (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向。 (2)求回路中感应电流的大小和方向。 (3)分析研究导体受力情况(包括安培力)。 (4)列动力学方程或平衡方程求解。 3．电磁感应现象中导体棒的匀加速直线运动 在如图所示的模型中，导体棒在光滑导轨上，受外力F作用，从静止开始做匀加速直线运动，加速度为a，则F必须随时间线性变化，且F＝t＋ma，其中L、m、r分别为导体棒的长度、质量和电阻。 证明：假设某时刻导体棒的速度为v，则由牛顿第二定律可知F－FA＝ma，又因为FA＝BIL，I＝，v＝at，所以联立解得F＝t＋ma。 【典例1】 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的定值电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 解析：(1)如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；电流方向由a→b，安培力F安，方向沿导轨向上。 (2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv 则此时电路中的电流I＝ ab杆受到的安培力F安＝BIL＝ 根据牛顿第二定律，有 mg sin θ－F安＝ma 联立各式解得a＝g sin θ－。 (3)当a＝0时，ab杆达到最大速度vm 即有mg sin θ＝ 解得vm＝。 答案：(1)见解析图　(2)　g sin θ－　(3) [规律方法]用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下： 【针对训练1】 (多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是(　　 ) 解析：选ACD。设ab杆的有效长度为l，S闭合时，金属杆受重力mg、安培力F安＝，若＞mg，杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，－mg＝ma中的a不恒定，故B项不可能。 突破点二　电磁感应中的能量问题 1．电磁感应现象中的能量转化 2．求解焦耳热Q的三种方法 【典例2】 如图所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0 m，下端连接R＝1.6 Ω的定值电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T。质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直放置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0 N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行且始终与导轨接触良好，当金属棒滑行x＝2.8 m后速度保持不变(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)。求： (1)金属棒匀速运动时的速度大小v； (2)金属棒从静止开始到做匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR。 解析：(1)金属棒匀速运动时产生的感应电流为I＝ 由平衡条件有F＝mg sin θ＋ILB 联立并代入数据解得v＝4 m/s。 (2)设整个电路中产生的热量为Q，由动能定理得Fx－mgx sin θ－W安＝mv2 而Q＝W安，QR＝Q 联立并代入数据解得QR＝1.28 J。 答案：(1)4 m/s　(2)1.28 J [规律方法]求解电磁感应现象中能量问题的两个关键点 (1)画出等效电路图，确定感应电动势的大小和方向，求出回路中消耗的电能、热能等表达式。 (2)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械能的改变与回路中产生的电能的关系方程。 【针对训练2】 (多选)如图所示，光滑平行金属轨道平面与水平面成θ角，两轨道上端用一电阻R相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为m的金属杆ab以初速度v0从轨道底端向上滑行，滑行到某一高度h后又返回到底端。若运动过程中，金属杆始终保持与轨道垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计，重力加速度为g，则(　　) A．金属杆返回到底端时的速度大小为v0 B．金属杆上滑到最高点的过程中克服安培力做功与克服重力做功之和等于 C．上滑到最高点的过程中电阻R上产生的热量等于－mgh D．金属杆两次通过轨道上的同一位置时电阻R的热功率相同 解析：选BC。金属杆从轨道底端滑上轨道某一高度至又返回到出发点时，由于电阻R上产生热量，故金属杆的机械能减小，即返回到底端时速度小于v0，选项A错误；金属杆上滑到最高点的过程中，动能转化为重力势能和电阻R上产生的热量(即克服安培力所做的功)，选项B、C正确；金属杆两次通过轨道上同一位置时的速度大小不同，电路中的电流不同，故电阻的热功率不同，选项D错误。 突破点三　电磁感应中的动量问题 1．动量定理的应用 以如图所示的模型为例。导体棒AB置于光滑“U”形水平导轨上，导轨处于竖直方向的匀强磁场中。用恒定的外力F拉着导体棒向右运动，在导体棒的速度由v0变为v的过程中，由动量定理可得：Ft－Blt＝mv－mv0。 (1)求电荷量q：若恒力F与运动时间t已知，则结合q＝·t可求该过程通过导体AB的电荷量q。 (2)求运动时间：若恒力F与电荷量q已知，则可求该过程导体AB运动的时间t。 (3)求位移：若恒力F与运动时间t已知，则结合B可求该过程导体AB运动的位移x。 2．动量守恒定律在电磁感应中的应用 以如图所示的模型为例。水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨所处空间存在竖直向下的匀强磁场，导轨上放有金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0。 (1)运动特点：金属棒a在向左的安培力作用下做加速度逐渐减小的减速运动，金属棒b在向右的安培力作用下做加速度逐渐减小的加速运动。当两棒的速度相等时，回路的总电动势E＝Bl(va－vb)＝0，两金属棒稳定，此后均做匀速直线运动。 (2)遵循规律：两金属棒所受安培力冲量始终等大、反向，系统的合外力为零，两棒组成的系统动量守恒。(类比“完全非弹性碰撞”模型) 设最终达到的共同速度为v，则有mav0＝(ma＋mb)v。根据能量守恒定律可知，整个过程系统产生的焦耳热Q＝·v2。 [说明]若选某个金属棒为研究对象，利用动量定理还可进一步确定通过金属棒的电量、两金属棒距离的变化等问题。 角度1 动量定理在电磁感应中的应用 【典例3】 相距为L＝0.5 m的竖直平行金属轨道，上端接有一阻值为R＝2 Ω的电阻，导轨间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，一根质量为m＝0.03 kg、长度也为L、电阻r＝1 Ω的金属杆，从轨道的上端由静止开始下落，下落过程中始终与导轨接触良好并保持水平，经过一段时间后金属杆匀速运动。(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2) (1)求金属杆匀速运动时通过的电流大小； (2)求金属杆最终匀速运动的速度大小； (3)在金属杆开始下落至刚好匀速的过程中流过电阻的电荷量为q＝0.033 C，求此过程经历的时间。 解析：(1)经分析可知，当金属杆所受重力等于安培力的时候，金属杆做匀速运动，则有mg＝BIL 解得I＝＝0.3 A。 (2)根据BLv＝IR＋Ir，解得v＝0.9 m/s。 (3)对金属杆，根据动量定理可得 mgt－BL·t＝mv－0 又由q＝t，代入数据解得t＝0.2 s。 答案：(1)0.3 A　(2)0.9 m/s　(3)0.2 s 【针对训练3】 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　 ) A．ab杆将做匀减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 解析：选BD。ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA＝，加速度大小为a＝，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，安培力大小为FA′＝，所以加速度大小为a′＝，故B正确；对ab杆，由动量定理得－BL·Δt＝m－mv0，又q＝Δt，得BLq＝mv0，解得q＝，所以通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q＝，解得ab杆通过的位移x＝，故D正确。 角度2 动量守恒定律在电磁感应中的应用 【典例4】 如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、阻值均为R的金属棒ab、cd垂直放置在导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，某一时刻同时给ab、cd以平行于导轨的水平向右的初速度v0、2v0，则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中(　　) A．ab中的最大电流为 B．ab达到稳定速度时，其两端的电压为0 C．ab速度为时，其加速度比cd的小 D．ab、cd间距增加了 解析：选D。根据右手定则，回路产生顺时针方向(从上往下看)的感应电流，根据左手定则，cd棒所受安培力向左做减速运动，ab棒所受安培力向右做加速运动，稳定时以相同的速度运动。初始时刻电流最大，且Im＝，A错误；根据动量守恒定律得mv0＋m·2v0＝2mv，解得v＝v0，稳定时ab棒两端电压为U＝BLv＝B错误；稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相反，C错误；对ab根据动量定理得BLΔt＝m·Δt，对回路，ΔΦ＝BLx，解得x＝，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$