07 专题突破三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教版2019）

物理选择性 必修第二册 专题突破三 带电粒子在有界 匀强磁场中的运动 第一章 安培力与洛伦兹力 突破点一　带电粒子在有界匀强磁 场中的运动 突破点二　带电粒子在磁场中运动的 临界极值问题 突破点三　带电粒子在磁场中运动 的多解问题 专题突破（三）带电粒子在有界匀强磁场中的运动 带电粒子在有界匀强磁场中的运动主要有两大类：一是临界问题，二是多解问题。解决这两大类问题的关键是：认真分析带电粒子的运动过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含条件的几何关系，综合运用数学和物理知识求解。 1．直线边界 (1)从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，轨迹具有对称性，如图所示。 (2)图(a)中，粒子垂直边界进入磁场时，出射点与入射点的距离最大，且最大距离d＝2R。 2．平行边界 (1)寻找粒子运动的轨道半径R与磁场宽度d的几何关系是求解此类问题的关键。 (2)当粒子恰好不从另一边界射出时，轨迹圆与边界相切。 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向的反向延长线与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 (3)圆形边界磁场问题实质是轨迹圆和边界圆的相交问题，运动具有对称性，对称轴为两圆圆心的连线。 4．三角形边界 如图所示是等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 【典例1】 (多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则( ) A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 解析：选BD。作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示， 根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP<RQ，故由R＝可知，从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝得，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示，可知两轨迹对应的圆心角相等，由t＝T得两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。 【针对训练1】 如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k，则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( ) A．kBl B．kBl C．kBl D．kBl 解析：选B。作出两电子的运动轨迹如图所示， 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m，又＝k，解得va＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有＝l2＋2，解得rd＝，同理可得vd＝，选项B正确。 【典例2】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动所用的时间t。 解析：(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，从C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m， 则粒子的比荷。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝ r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝。 答案：(1)负电荷　　(2)B　 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1．临界条件 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2．几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 (2)磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 【典例3】 中国环流器二号M装置(HL­2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，半径为R和R两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核和氘核均以相同的速度从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　) A．R B．R C．R D．R 解析：选A。依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m得r＝，由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核和氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得2＝＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝R，所以氕核在磁场中运动的最大半径为rmax′＝rmax＝R，故A正确。 [规律方法]分析带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的关键是找出临界情景，挖掘临界条件，常用的方法有： (1)放缩法——粒子的速度方向不变、大小改变时，可通过轨迹圆的放缩寻找临界点； (2)旋转法——粒子的速度大小不变、方向改变时，可通过轨迹圆的旋转寻找临界点； (3)平移法——粒子的速度大小、方向都不变，只是入射点发生变化时，可通过轨迹圆的平移寻找临界点。 【针对训练2】如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　 ) 解析：选C。粒子在磁场中运动时有qvB＝，所以粒子运动的轨迹半径R＝d。由左手定则可知，粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L1＝d；当运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端， A.1∶1 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 距A点的竖直距离L2＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d。因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝d。两射出区域的长度之比为L∶L′＝d∶∶2，故C正确。 1．带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲 ，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 2．磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。如图乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。 4．运动的周期性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。 【典例4】(多选)(2022·湖北高考)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) 解析：选BC。若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲，根据几何关系则有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°； 当离子运动轨迹如图乙所示时，因为两部分磁场的磁感应强度均为B，则根据对称性有R′＝L， 【典例4】 (多选)(2022·湖北高考)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，60° D．2kBL，60° 根据洛伦兹力提供向心力有qv′B＝m，可得v′＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知，当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。故可知B、C正确，A、D错误。 【针对训练3】 如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E，屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么： (1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ 解析：(1)在电场中，电子从A→O， 由动能定理得eEs＝ 在磁场中，电子做匀速圆周运动，有 qv0B＝m 据题意，有(2n＋1)r＝L 所以s＝(n＝0，1，2，3，…)。 (2)在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间 t＝(2n＋1) 其中a＝ 整理后得 t＝＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)。 答案：(1)s＝(n＝0，1，2，3，…)　(2)＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…) 【基础应用题】 1．如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A．B> B．B< C．B> D．B< 解析：选D。由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示， 此时圆周运动的半径R＝a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝有>a，即B<，D项正确。 2．如图所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　) A． B． C． D． 解析：选A。若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝，由qv1B＝m可得v1＝；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝m可得v2＝。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度v<v1＝或v>v2＝，故A正确。 3．(2024·山东青岛期末)长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足(　　) A．v0> B．v0< C．<v0< D．v0>或v0< 解析：选C。电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B＝，解得R＝，根据题图分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能打到水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示， 根据几何关系可知Rmin＝，Rmax＝，解得v0min＝或v0max＝，则有<v0<，故C正确。 4．如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　 ) A．v1 B．v1 C．v1 D．v1 解析：选C。画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示， 由题意知，同一粒子在磁场中运动时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝R tan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝v1，A、B、D错误，C正确。 【综合提升题】 5．(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　 ) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 解析：选BD。当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，解得r1＝s，又由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，离子恰好与OP相切的轨迹为其临界轨迹，如图乙所示，切点为N，由几何关系可知s＝＋r2，解得r2＝，又由r2＝可得B2＝。综合以上分析可知，选项B、D正确。 6．(2024·山东济宁阶段练习)如图所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，许多相同的离子，以相同的速率v，由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域。不计离子所受重力，不计离子间的相互影响，图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM＝ON＝L，由此可判断(　　) A．这些离子是带负电的 B．这些离子运动的轨道半径为 C．这些离子的比荷为 D．当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过ON的中点 解析：选B。离子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知，沿x轴正方向射入的离子将经过M点，沿y轴正方向射入的离子将经过N点，由左手定则可知，离子带正电，故A、D错误；沿x轴正方向和y轴正方向射入的离子将分别经过M、N点，已知OM＝ON＝L，则由几何关系可知这些离子运动的轨道半径为r＝，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得，故C错误。 7．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场，若粒子射入的速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一的圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　) A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶ 解析：选C。设圆形区域磁场的半径为r，当粒子从P点射入的速度大小为v1时，粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M，如图1，此时PM的长度为轨迹圆的直径。 由题意知∠POM＝60°，根据几何关系得轨迹圆的半径为R1＝；当粒子从P点射入的速度大小为v2时，粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N，如图2，此时PN的长度为轨迹圆的直径，由题意知∠PON＝120°，根据几何关系得轨迹圆的半径为R2＝r；再根据洛伦兹力充当向心力可知qvB＝m，解得v＝，故速度与半径成正比，因此v2∶v1＝R2∶R1＝∶1，C正确。 8．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A． B． C． D． 解析：选B。根据牛顿第二定律和圆周运动规律有qvB＝m，可得粒子做匀速圆周运动的周期为T＝，如图所示， 解析：选B。根据牛顿第二定律和圆周运动规律有qvB＝m，可得粒子做匀速圆周运动的周期为T＝，如图所示， 过c点做半圆边界的切线，切点为e，设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′，根据几何关系可知，当粒子从e点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设ac＝2x，则Oa＝Oe＝3x、Oc＝Oa＋ac＝5x，可得sin ∠Oce＝，所以∠OO′e＝2∠Oce＝74°，即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为t＝，故B正确。 9．如图所示，空间充满了磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的刚性等边三角形框架△DEF，DE边中点S处有一带正电的粒子，电荷量为q，质量为m，现给粒子一个垂直于DE边向下的速度，若粒子每一次与三角形框架碰撞时，速度方向都垂直于被碰的边，且碰撞均为弹性碰撞，当速度的大小取某些特殊数值时可使由S点发出的粒子最终又回到S点。 (1)若粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点，求粒子的速度大小。 (2)若S点不在DE边的中点，而是到D点的距离DS＝，仍然使粒子能回到S点，求满足条件的粒子的速度大小。 解析：(1)粒子从S点垂直于DE边射出后，做匀速圆周运动，其圆心必在DE线上，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m解得R＝ 若粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点，则圆心在三角形顶点，由几何关系得R＝联立解得v＝。 (2)要使粒子能回到S点，要求粒子每次与△DEF碰撞时，v都垂直于边，且通过三角形顶点处时，圆心必为三角形顶点，故 DS＝(2n－1)R(n＝1，2，3，…)即R＝(n＝1，2，3，…) 由qvB＝解得v＝(n＝1，2，3，…)。 答案：(1)　(2)(n＝1，2，3，…) 【创新拔高题】 10．如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN＝L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L。粒子重力不计，电荷量保持不变。 (1)求粒子运动速度的大小v； (2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； (3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM＝d，QN＝d，求粒子从P到Q的运动时间t。(结果用L、d、m、q、B等物理量表示) 解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝ 在磁场中做圆周运动的半径r＝d 联立，代入数据得v＝。 (2)如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切，此时入射点到M的距离最大，由几何关系得dm＝d(1＋sin 60°) 解得dm＝d。 (3)粒子做匀速圆周运动，有 T＝ 由题意可知粒子垂直打到水平薄板上，设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t′，则粒子从P到Q的运动时间 t＝＋t′(n＝1，3，5…) (a)当L＝nd＋d时，粒子斜向上射出磁场，粒子从最后一次碰撞到射出磁场转过的夹角为，故t′＝ 联立代入数据，得t＝； (b)当L＝nd＋d时，粒子斜向下射出磁场，粒子转过夹角为π，故t′＝T 联立代入数据，得t＝。 答案：(1)　(2)d　(3)见解析 $$